Baccalauréat Général
Épreuve de mathématiques
Mercredi 11 mai 2022
Sujet de Métropole Exercice 1
7 points
 Dans le cadre d'un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d'une maladie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.
Les parties A et B sont indépendantes.  Partie A : Étude du premier protocole Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction ff définie sur l'intervalle [0;10][0\,;10] par f(t)=3te−0,5t+1,f(t)=3t\text{e}^{-0,5t+1}, où tt désigne le temps, exprimé en heures, écoulé depuis la prise du comprimé.
    1. On admet que la fonction ff est dérivable sur l'intervalle [0;10][0\,;10] et on note f′f' sa fonction dérivée.
      Montrer que, pour tout nombre réel tt de [0;10][0\,;10], on a f′(t)=3(−0,5t+1)e−0,5t+1f'(t)=3(-0,5t+1)\text{e}^{-0,5t+1}.
      2. Correction
      La fonction ff est la forme u×vu\times v avec :
      u(t)=3tu(t)=3t et u′(t)=3u'(t)=3
      v(t)=e−0,5t+1v(t)=\text{e}^{-0,5t+1} et v′(t)=−0,5e−0,5t+1v'(t)=-0,5\text{e}^{-0,5t+1}.

      Ainsi, pour tout t∈[0;10]t\in[0\,;10] :
      f′(t)f'(t) == u′(t)v(t)+u(t)v′(t)u'(t)v(t)+u(t)v'(t)
      == 3e−0,5t+1+3t×(−0,5)e−0,5t+13\text{e}^{-0,5t+1}+3t\times(-0,5)\text{e}^{-0,5t+1}
      == 3e−0,5t+1(1−0,5t)3\text{e}^{-0,5t+1}\left(1-0,5t\right)
      == 3e−0,5t+1(−0,5t+1)3\text{e}^{-0,5t+1}\left(-0,5t+1\right).
      ✕
    2. En déduire le tableau de variations de la fonction ff sur l'intervalle [0;10][0\,;10].
      3. Correction
      Puisque pour tout t∈[0;10]t\in[0\,;10],   3e−0,5t+1>03\text{e}^{-0,5t+1} >0, f′(t)f'(t) est donc du signe de (−0,5t+1)(-0,5t+1). Or,
      −0,5t+1-0,5t+1 ≥\geq 00
      ssi −0,5t-0,5t ≥\geq −1-1
      ssi tt ≤\leq −1−0,5\dfrac{-1}{-0,5} car −0,5<0-0,5<0
      ssi tt ≤\leq 22.
      On obtient alors le tableau de variations suivant :
      tt
      f′(t)f'(t)
      f(t)f(t)
      00
      22
      1010
      ++
      00
      −-
      00
      66
      ≈0,55\approx0,55
      En effet :
      f(0)f(0) == 3×0×e13\times 0 \times\text{e}^{1} == 00.
      f(2)f(2) == 3×2×e03\times 2\times \text{e}^0 == 6×16\times1 == 66.
      f(10)f(10) == 30e−430\text{e}^{-4} ≈\approx 0,5490,549.
      ✕
    3. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
      4. Correction
      D'après le tableau de variations la quantité de médicament sera maximale au bout de 22 heures et sera alors de 66 mg.
      ✕
    1. Montrer que l'équation f(t)=5f(t)=5 admet une unique solution sur [0;2][0\,;2], noté α\alpha, dont on donnera une valeur approchée à 10−210^{-2} près.
      2. Correction
      Sur l'intervalle [0;2][0\,;2] :
      • ff est continue, car dérivable,
      • ff est strictement croissante,
      • f(0)=0<5f(0)=0 <5 et f(2)=6>5f(2)=6 >5.
      Ainsi, d'après le théorème de la bijection l'équation f(t)=5f(t)=5 admet une unique solution α\alpha sur [0;2][0\,;2].
      Par balayage à la calculatrice on obtient :
      11 << α\alpha << 22
      11 << α\alpha << 1,11,1
      1,021,02 << α\alpha << 1,031,03.
      1,0221,022 << α\alpha << 1,0231,023.
      Ainsi, α≈1,02\alpha \approx 1,02.
      ✕
      On admet que l'équation f(t)=5f(t)=5 admet une unique solution sur l'intervalle [2;10][2\,;10], noté β\beta, et qu'une valeur approchée de β\beta à 10−210^{-2} près est 3,463,46.
    2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 55 mg.
      Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
      3. Correction
      D'après les questions précédentes, on peut affirmer que le médicament est efficace sur l'intervalle de temps [α;β][\alpha\,;\beta], soit sur une durée de :
      β−α\beta-\alpha == 3,46−1,023,46-1,02 == 2,442,44 heures.
      Or, 0,440,44 heure représente 0,44×600,44\times 60 == 26,426,4 minutes. Le médicament est donc efficace pendant à peu près 22 heures et 2626 minutes.
      ✕
 Partie B : Étude du deuxième protocole Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de 22 mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de 1,81,8 mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminuté de 3030 % par rapport à la quantité présente immédiatement après injection.
On modélise cette situation à l'aide d'une suite (un)(u_n) où, pour tout entier naturel nn, unu_n désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la nn-ième heure. On a donc u0=2u_0=2.
  1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité u1u_1 de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injectio de la première heure.
    2. Correction
    La quantité initiale u0u_0 a diminué de 3030 % après la première heure. Elle est alors de u0×0,7u_0\times0,7, car une diminution de 3030 % correspond à un coefficient multiplicateur de 0,70,7. On injecte ensuite 1,81,8 mg et on a donc :
    u1=0,7×u0+1,8u_1=0,7\times u_0+1,8 == 0,7×2+1,80,7\times2+1,8 == 3,23,2 mg.
    ✕
  2. Justifier quue, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=0,7un+1,8u_{n+1}=0,7u_n+1,8.
    3. Correction
    Après la nn-ième injection, la quantité unu_n diminue de 3030 % au bout d'une heure. Elle est alors de un×0,7u_n\times0,7, car une diminution de 3030 % correspond à un coefficient multiplicateur de 0,70,7. On injecte ensuite 1,81,8 mg et on a donc :
    un+1=0,7×un+1,8u_{n+1}=0,7\times u_n+1,8.
    ✕
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, on a : un≤un+1<6u_n \leq u_{n+1} < 6.
      2. Correction
      Initialisation
      On a u0=2u_0=2 et u1=3,2u_1=3,2, ainsi on a bien : u0≤u1<6u_0 \leq u_1 <6.

      Hérédité
      On suppose que pour un certain entier naturel nn, un≤un+1<6u_n \leq u_{n+1} < 6 et on cherche à montrer alors que un+1≤un+2<6u_{n+1} \leq u_{n+2} < 6.
      Par hypothèse de récurrence on a :
      unu_n ≤\leq un+1u_{n+1} << 66
      ssi 0,7un0,7u_n ≤\leq 0,7un+10,7u_{n+1} << 0,7×60,7\times6 car 0,7>00,7>0
      ssi 0,7un+1,80,7u_n+1,8 ≤\leq 0,7un+1+1,80,7u_{n+1}+1,8 << 0,42+1,80,42+1,8
      ssi un+1u_{n+1} ≤\leq un+2u_{n+2} << 0,60,6.


      Conclusion
      D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel nn, on a : un≤un+1<6u_n \leq u_{n+1} < 6.
      ✕
    2. En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente. On note ℓ\ell sa limite.
      3. Correction
      D'après la question précédente on a que la suite (un)(u_n) est croissante puisque pour tout entier nn, un≤un+1u_n\leq u_{n+1}, et qu'elle est majorée par 66.
      Ainsi, d'après le théorème de convergence monotone la suite (un)(u_n) converge.
      ✕
    3. Déterminer la valeur de ℓ\ell. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
      4. Correction
      La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=0,7x+1,8f(x)=0,7x+1,8 est continue sur R\mathbb{R}. De plus, puisque pour tout entier nn, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et que (un)(u_n) converge vers le réel ℓ\ell, on a, d'après le cours que : ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).
      On résout alors l'équation :
      ℓ\ell == f(ℓ)f(\ell)
      ℓ\ell == 0,7ℓ+1,80,7\ell+1,8
      ℓ−0,7ℓ\ell-0,7\ell == 1,81,8
      0,3ℓ0,3\ell == 1,81,8
      ℓ\ell == 1,80,3\dfrac{1,8}{0,3}
      ℓ\ell == 66.
      La suite (un)(u_n) converge donc vers 66, ce qui veut dire qu'après un certain nombre d'heures la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera proche de 66 mg.
      ✕
  4. On considère la suite (vn)(v_n) définie, pour tout entier naturel nn, par vn=6−unv_n=6-u_n.
    1. Montrer que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrie de raison 0,70,7 dont on précisera le premier terme.
      2. Correction
      Pour tout entier nn on a :
      vn+1v_{n+1} == 6−un+16-u_{n+1}
      == 6−(0,7un+1,8)6-(0,7u_n+1,8)
      == 6−0,7un−1,86-0,7u_n-1,8
      == 4,2−0,7un4,2-0,7u_n
      == 0,7(4,20,7−un)0,7\left(\dfrac{4,2}{0,7}-u_n\right)
      == 0,7(6−un)0,7\left(6-u_n\right)
      == 0,7vn0,7v_n.
      Ainsi, (vn)(v_n) est bien géométrique de raison 0,70,7 et de premier terme v0=6−u0v_0=6-u_0 == 44.
      ✕
    2. Déterminer l'expression de vnv_n en fonction de nn, puis de unu_n en fonction de nn.
      3. Correction
      Puisque (vn)(v_n) est géométrie de raison 0,70,7, pour tout entier nn on a : vn=v0×(0,7)nv_n=v_0\times(0,7)^n == 4×(0,7)n4\times(0,7)^n.

      Par ailleurs, pour tout entier nn, vn=6−unv_n=6-u_n et donc un=6−vnu_n=6-v_n.
      Ainsi, pour tout entier nn, on a : un=6−4×(0,7)nu_n=6-4\times(0,7)^n.
      ✕
    3. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,55,5 mg.
      Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.
      4. Correction
      On résout l'inéquation :
      unu_n ≥\geq 5,55,5
      ssi 6−4×0,7n6-4\times0,7^n ≥\geq 5,55,5
      ssi −4×0,7n-4\times0,7^n ≥\geq 5,5−65,5-6
      ssi −4×0,7n-4\times0,7^n ≥\geq −0,5-0,5
      ssi 0,7n0,7^n ≤\leq −0,5−4\dfrac{-0,5}{-4} car −4<0-4<0
      ssi 0,7n0,7^n ≤\leq 0,1250,125
      ssi ln⁡(0,7n)\ln\left(0,7^n\right) ≤\leq ln⁡(0,125)\ln(0,125) car ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0;+∞[]0\,;+\infty[
      ssi nln⁡(0,7)n\ln\left(0,7\right) ≤\leq ln⁡(0,125)\ln(0,125)
      ssi nn ≥\geq ln⁡(0,125)ln⁡(0,7)\dfrac{\ln(0,125)}{\ln\left(0,7\right)} car ln⁡(0,7)<0\ln\left(0,7\right)<0.
      Or, ln⁡(0,125)ln⁡(0,7)≈5,8\dfrac{\ln(0,125)}{\ln\left(0,7\right)}\approx5,8, donc il faut réaliser 77 injections (de 00 jusqu'à 66) pour appliquer ce protocole.
      ✕
Exercice 2
7 points
 Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,;\vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k}), on considère : On admet que le point AA n'appartient pas à la droite D\mathscr{D}.
    1. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur u⃗\vec{u} de la droite D\mathscr{D}.
      2. Correction
      D'après la paramétrisation de la droite D\mathscr{D} on a que u⃗(2−12)\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} dirige cette droite.
      ✕
    2. Montrer que la point B(−1;3;0)B(-1\,;3\,;0) appartient à la droite D\mathscr{D}.
      3. Correction
      À partir de la paramétrisation de D\mathscr{D} on cherche la valeur de tt correspondant à l'abscisse de BB. On résout donc l'équation :
      1+2t=−11+2t=-1 ssi t=−1t=-1.
      On remplace alors tt par −1-1 dans les autres égalités de la paramétrisation et on regarde si on obtient les coordonnées de BB.
      Pour l'ordonnée : 2−(−1)=32-(-1)=3 == yBy_B.
      Pour la cote : 2+2×(−1)=02+2\times(-1)=0 == zBz_B.

      Ainsi, BB est bien un point de la droite D\mathscr{D}.
      ✕
    3. Calculer le produit scalaire AB→⋅u⃗\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}.
      4. Correction
      AB→⋅u⃗\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} == (xB−xAyB−yAzB−zA)⋅(2−12)\begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} == (02−3)⋅(2−12)\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} == 0×2+2×(−1)+(−3)×20\times2+2\times(-1)+(-3)\times2 == −8-8.
      ✕
  2. On note P\mathscr{P} le plan passant par le point AA et orthogonal à la droite D\mathscr{D}, et on appelle HH le point d'intersection du plan P\mathscr{P} et de la droite D\mathscr{D}. Ainsi, HH est le projeté orthogonal de AA sur la droite D\mathscr{D}.
    1. Montrer que la plan P\mathscr{P} admet pour équation cartésienne : 2x−y+2z−3=02x-y+2z-3=0.
      2. Correction
      La droite D\mathscr{D} étant orthogonale au plan P\mathscr{P}, le vecteur directeur u⃗\vec{u} de D\mathscr{D} est un vecteur normal à P\mathscr{P}. Une équation cartésienne de P\mathscr{P} est donc de la forme : 2x−y+2z+d=0,2x-y+2z+d =0, avec d∈Rd\in\mathbb{R} à déterminer.
      Or AA appartient au plan, ses coordonnées vérifient donc l'équation :
      2xA−yA+2zA+d=02x_A-y_A+2z_A+d=0 ssi −2−1+6+d=0-2-1+6+d=0 ssi 3+d=03+d=0 ssi d=−3d=-3.
      Une équation cartésienne de P\mathscr{P} est donc 2x−y+2z−3=02x-y+2z-3=0.
      ✕
    2. En déduire que le point HH a pour coordonnées (79;199;169)\left( \dfrac{7}{9}\,; \dfrac{19}{9}\,; \dfrac{16}{9} \right).
      3. Correction
      Les coordonnées du point HH vérifient à la fois l'équation cartésienne de P\mathscr{P} et la paramétrisation de D\mathscr{D}. En injectant cette dernière dans l'équation cartésienne on obtient :
      2(1+2t)−(2−t)+2(2+2t)−32(1+2t)-(2-t)+2(2+2t)-3 == 00
      9t+19t+1 == 00
      tt == −19-\dfrac{1}{9}.

      Pour obtenir les coordonnées de HH il suffit alors que remplacer tt par −19-\dfrac{1}{9} dans la paramétrisation de D\mathscr{D}.

      xH=1−29x_H = 1-\dfrac{2}{9} == 79\dfrac{7}{9}.

      yH=2+19y_H = 2+\dfrac{1}{9} == 199\dfrac{19}{9}.

      zH=2−29z_H = 2-\dfrac{2}{9} == 169\dfrac{16}{9}.

      Les coordonnées du point HH sont bien (79;199;169)\left( \dfrac{7}{9}\,; \dfrac{19}{9}\,; \dfrac{16}{9} \right).
      ✕
    3. Calculer la valeur de AHAH. On donnera une valeur exacte.
      4. Correction
      AH2AH^2 == (xH−xA)2+(yH−yA)2+(zH−zA)2(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2+(z_H-z_A)^2
      == (79+1)2+(199−1)2+(169−3)2\left(\dfrac{7}{9}+1\right)^2+\left(\dfrac{19}{9}-1\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}-3\right)^2
      == (169)2+(109)2+(−119)2\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{9}\right)^2
      == 25681+10081+12181\dfrac{256}{81}+\dfrac{100}{81}+\dfrac{121}{81}
      == 47781\dfrac{477}{81}.
      Ainsi, AH=47781AH=\sqrt{\dfrac{477}{81}} == 4779\dfrac{\sqrt{477}}{9} == 9×539\dfrac{\sqrt{9\times53}}{9} == 3539\dfrac{3\sqrt{53}}{9} == 533\dfrac{\sqrt{53}}{3}.
      ✕
  3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point HH, projeté orthogonal du point AA sur la droite D\mathscr{D}, par une autre méthode.
    On rappelle que le point B(−1;3;0)B(-1\,;3\,;0) appartient à la droite D\mathscr{D} et que le vecteur u⃗\vec{u} est un vecteyr directeur de la droite D\mathscr{D}.
    1. Justifier qu'il existe un nombre réel kk tel que HB→=ku⃗\overrightarrow{HB} = k \vec{u}.
      2. Correction
      Les points HH et BB sont sur la droite D\mathscr{D}, le vecteur HB→\overrightarrow{HB} est donc colinéaire au vecteur directeur u⃗\vec{u} de D\mathscr{D}.
      Ainsi, il existe bien un nombre réel kk tel que HB→=ku⃗\overrightarrow{HB} = k \vec{u}.
      ✕
    2. Montrer que k=AB→⋅u⃗∣∣u⃗∣∣2k = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2}.
      3. Correction
      On a : AB→=AH→+HB→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}.
      Ainsi :
      AB→⋅u⃗\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} == (AH→+HB→)⋅u⃗(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB})\cdot\vec{u}
      AB→⋅u⃗\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} == AH→⋅u⃗+HB→⋅u⃗\overrightarrow{AH}\cdot\vec{u}+\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}
      AB→⋅u⃗\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} == 0+HB→⋅u⃗0+\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u} car D\mathscr{D} est orthgonale à P\mathscr{P}
      AB→⋅u⃗\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} == ku⃗⋅u⃗k \vec{u}\cdot\vec{u} car HB→=ku⃗\overrightarrow{HB} = k \vec{u}
      AB→⋅u⃗\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} == k∣∣u⃗∣∣2k ||\vec{u}||^2
      AB→⋅u⃗∣∣u⃗∣∣2\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2} == kk .
      ✕
    3. Calculer la valeur du nombre réel kk et retrouver les coordonnées du point HH.
      4. Correction
      D'après la question 1.c on a AB→⋅u⃗=−8\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} = -8.
      De plus ∣∣u⃗∣∣2||\vec{u}||^2 == 22+(−1)2+222^2+(-1)^2+2^2 == 99.
      Ainsi, k=−89k = -\dfrac{8}{9}.

      On a alors :
      HB→\overrightarrow{HB} == ku⃗k\vec{u}
      (xB−xHyB−yHzB−zH)\begin{pmatrix}x_B-x_H \\ y_B-y_H \\ z_B-z_H \end{pmatrix} == −89(2−12)-\dfrac{8}{9}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
      (−1−xH3−yH−zH)\begin{pmatrix}-1-x_H \\ 3-y_H \\ -z_H \end{pmatrix} == (−16989−169)\begin{pmatrix}-\dfrac{16}{9} \\ \dfrac{8}{9} \\ -\dfrac{16}{9} \end{pmatrix}
      Or, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. Ainsi :

      −1−xH=−169-1-x_H = -\dfrac{16}{9} ssi xH=−1+169x_H=-1+\dfrac{16}{9} == 79\dfrac{7}{9}.

      3−yH=893-y_H = \dfrac{8}{9} ssi yH=3−89y_H=3-\dfrac{8}{9} ssi yH=199y_H=\dfrac{19}{9}.

      −zH=−169-z_H = -\dfrac{16}{9} ssi zH=169z_H = \dfrac{16}{9} .

      Nous retrouvons bien les coordonnées du point H(79;199;169)H\left(\dfrac{7}{9} \,; \dfrac{19}{9} \,; \dfrac{16}{9} \right).
      ✕
  4. On considère un point CC appartenant au plan P\mathscr{P} tel que le volume du tétraèdre ABCHABCH soit égal à 89\dfrac{8}{9}.
    Calculer l'aire du triangle ACHACH.
    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : V=13×B×hV=\dfrac{1}{3}\times\mathscr{B}\times h où B\mathscr{B} désigne l'aire d'une base et hh la hauteur relative à cette base.
    5. Correction
    Le triangle ACHACH est dans le plan P\mathscr{P}, et puisque (BH)(BH) est orthogonale à P\mathscr{P} alors BHBH correspond à la hauteur relative à la face ACHACH du tétraèdre ABCHABCH.
    On a alors :
    VABCHV_{ABCH} == 13AACH×BH\dfrac{1}{3}A_{ACH}\times BH
    89\dfrac{8}{9} == 13AACH×BH\dfrac{1}{3}A_{ACH}\times BH
    AACHA_{ACH} == 3×89BH\dfrac{3\times \dfrac{8}{9}}{BH}
    AACHA_{ACH} == 83BH\dfrac{\dfrac{8}{3}}{BH}
    AACHA_{ACH} == 83BH\dfrac{8}{3BH}.
    Or :
    BH2BH^2 == (xH−xB)2+(yH−yB)2+(zH−zB)2(x_H-x_B)^2+(y_H-y_B)^2+(z_H-z_B)^2
    == (79+1)2+(199−3)2+(169)2\left(\dfrac{7}{9}+1\right)^2+\left(\dfrac{19}{9}-3\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2
    == (169)2+(−89)2+(169)2\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2
    == 25681+6481+25681\dfrac{256}{81}+\dfrac{64}{81}+\dfrac{256}{81}
    == 57681\dfrac{576}{81}.
    Ainsi BH=57681BH=\sqrt{\dfrac{576}{81}} == 83\dfrac{8}{3}.
    On peut alors conclure :
    AACHA_{ACH} == 83BH\dfrac{8}{3BH} == 83×83\dfrac{8}{3\times\frac{8}{3}} == 11.
    ✕
Exercice 3
7 points
 Le directeur d'une grande entreprise a proposé à l'ensemble de ses salariés un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel.
Ce stage a été suivi par 2525 % des salariés.
  1. Dans cette entreprise, 5252 % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles 4040 % ont suivi le stage.
    On interroge au hasard un salarié de l'entreprise et on considère les événements : F‾\overline{F} et S‾\overline{S} désignent respectivement les événements contraires des événements FF et SS.
    1. Donner la probabilité de l'événement SS.
      2. Correction
      Le stage ayant été suivi par 2525 % des salariés on a P(S)=0,25P(S)=0,25.
      ✕
    2. Recopier et compléter les pointillés de l'arbre pondéré ci-contre sur les quatre branches indiquées.
      3. F
      F
      —
      S
      S
      —
      S
      —
      S
      ...
      ...
      ...
      ...
      Correction
      F
      F
      —
      S
      S
      —
      S
      —
      S
      0,52
      0,48
      0,4
      0,6
      ✕
    3. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à 0,2080,208.
      4. Correction
      On cherche P(F∩S)P(F\cap S) == 0,52×0,40,52\times 0,4 == 0,2080,208.
      ✕
    4. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
      5. Correction
      On cherche PS(F)=P(F∩S)P(S)P_S(F)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)} == 0,2080,25\dfrac{0,208}{0,25} == 0,8320,832.
      ✕
    5. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l'entreprise, moins de 1010 % ont suivi le stage.
      Justifier l'affirmation du directeur.
      6. Correction
      D'après la formule des probabilités totales on a :
      P(F∩S)+P(F‾∩S)P(F\cap S)+P(\overline{F}\cap S) == P(S)P(S)
      0,208+P(F‾∩S)0,208+P(\overline{F}\cap S) == 0,250,25
      P(F‾∩S)P(\overline{F}\cap S) == 0,25−0,2080,25-0,208
      P(F‾∩S)P(\overline{F}\cap S) == 0,0420,042.
      On a alors PF‾(S)=P(F‾∩S)P(F‾)P_{\overline{F}}(S)=\dfrac{P(\overline{F}\cap S)}{P(\overline{F})} == 0,0420,48\dfrac{0,042}{0,48} == 0,08750,087\,5.
      Ainsi, parmi les hommes salariés 8,758,75 % ont suivi le stage, ce qui est bien inférieur à 1010 %.
      ✕
  2. On note XX la variable aléatoire qui à un échantillon de 2020 salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l'effectif des salariés de l'entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire XX.
      2. Correction
      Le fait de choisir un salarié et de regarder si il a suivi le stage ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,250,25. On la répète 2020 fois de manière indépendante (car tirage avec remise).
      Ainsi, XX suit la loi binomiale de paramètres 2020 et 0,250,25.
      ✕
    2. Déterminer, à 10−310^{-3} près, la probabilité que 55 salariés dans un échantillon de 2020 aient suivi le stage.
      3. Correction
      P(X=5)=(205)0,255×0,7515P(X=5)= \binom{20}{5}0,25^5\times 0,75^15 ≈\approx 0,2020,202.
      ✕
    3. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale(i,n,p) créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité P(X=i)P(X=i) dans le cas où la variable aléatoire XX suit une loi binomiale de paramètres nn et pp.
      Déterminer, à 10−310^{-3} près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit proba(5) dans la console Python. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercie.
      4. Correction
      La boucle for de l'algorithme permet d'ajouter toute les probabilités P(X=i)P(X=i) pour ii alant de 00 jusqu'à kk.
      Ainsi, l'instruction proba(5) permet de calculer P(X=0)+P(X=1)+⋯+P(X=5)P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=5) soit P(X≤5)P(X\leq 5).
      À la calculatrice on obtient P(X≤5)≈0,617P(X\leq 5) \approx 0,617 ce qui correspond à la valeur renvoyée.
      ✕
    4. Déterminer, à 10−310^{-3} près, la probabilité qu'au moins 66 salariés dans un échantillon de 2020 aient suivi le stage.
      5. Correction
      À la calculatrice on a P(X≥6)≈0,383P(X\geq 6)\approx0,383.
      ✕
  3. Cette question est indépendante des questions 1 et 2.
    Pour inciter les salariés à suivre le stage, l'entreprise avait décidé d'augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de 55 %, contre 22 % d'augmentation pour les salariés n'ayant pas suivi le stage.
    Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?
    4. Correction
    Si on note SS la somme de tous les salaires on a que 2525 % des salaires de SS augmentent de 55 % et 7575 % augmentent de 22 %.
    La nouvelle masse salariale est donc de :
    0,25×S×1,05+0,75×S×1,020,25\times S\times 1,05+0,75\times S\times 1,02 == 1,0275S1,0275S.
    La masse salariale a donc augmenté de 2,752,75 % ce qui correspond à l'augmentation moyenne des salaires.
    ✕
Exercice 4
7 points
 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les six questions sont indépendantes.
  1. La courbe représentative de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−2x2+3x−1x2+1f(x)=\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1} admet pour asymptote la droite d'équation :
    1. x=−2x=-2 ;
    2. y=−1y=-1 ;
    3. y=−2y=-2
    4. y=0y=0.
    2. Correction
    La fonction ff est définie sur R\mathbb{R}, on s'intéresse donc aux asymptotes horizontales. On peut éliminer la réponse a.
    On regarde alors les limites en −∞-\infty ou +∞+\infty. Puisqu'aucune justification n'est demandée on peut se servir de la calculatrice, soit en traçant la courbe de la fonction ff soit en calculant une image pour xx très grand.
    On a par exemple f(109)≈−2f(10^9)\approx -2 et la droite d'équation y=−2y=-2 semble être asymptote horizontale à la courbe de la fonction ff.
    C'est donc la réponse cc.
    ✕
  2. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xex2f(x)=x\text{e}^{x^2}.
    La primitive de FF de ff sur R\mathbb{R} qui vérifie F(0)=1F(0)=1 est définie par :
    1. F(x)=x22ex2F(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^{x^2} ;
    2. F(x)=12ex2F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2} ;
    3. F(x)=(1+2x2)ex2F(x)=(1+2x^2)\text{e}^{x^2} ;
    4. F(x)=12ex2+12F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}+\dfrac{1}{2}.
    3. Correction
    En calculant F(0)F(0) pour chaque proposition on peut exclure la aa et la bb car on obtient un résultat différent de 11.
    On peut alors dériver F(x)F(x) pour les propositions cc et dd, en notant (ex2)′\left( \text{e}^{x^2}\right)' == 2xex22x\text{e}^{x^2}.
    On peut voir alors facilement que la bonne réponse est la dd.
    ✕
  3. On donne ci-dessous la représentation graphique Cf\mathcal{C}_f, de la fonction dérivée f′f' d'une fonction ff définie sur R\mathbb{R}.
    01234567890.5−0.5−1−1.5−2−2.5−3−3.5−4−4.5
    Cf′\mathcal{C}_f'
    On peut affirmer que la fonction ff est :
    1. concave sur ]0;+∞[]0\,;+\infty[ ;
    2. convexe sur ]0;+∞[]0\,;+\infty[ ;
    3. convexe sur [0;2][0\,;2] ;
    4. convexe sur [2;+∞][2\,;+\infty].
    Correction
    Sur le graphique nous voyons que f′f' est croissante sur [0;2][0\,;2], la fonction ff est donc convexe sur cet intervalle.
    La bonne réponse est la cc.
    ✕
  4. Parmi les primitives de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3e−x2+2f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2 :
    1. toutes sont croissantes sur R\mathbb{R} ;
    2. toutes sont décroissantes sur R\mathbb{R} ;
    3. certaines sont croissantes sur R\mathbb{R} et d'autres décroissantes sur R\mathbb{R};
    4. toutes sont croissantes sur ]−∞;0]]-\infty\,;0] et toutes sont décroissantes sur [0;+∞[[0\,;+\infty[.
    Correction
    Pour tout réel xx on a e−x2>0\text{e}^{-x^2}>0 et donc la fonction ff, dérivée de ses primitives, est strictement positives sur R\mathbb{R}. Les primitives de ff sont donc toutes croissantes sur R\mathbb{R}.
    C'est la réponse aa.
    ✕
  5. La limite en +∞+\infty de la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+∞[]0\,;+\infty[ par f(x)=2ln⁡(x)3x2+1f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{3x^2+1} est égale à :
    1. 23\dfrac{2}{3} ;
    2. +∞+\infty ;
    3. −∞-\infty ;
    4. 00.
    Correction
    Puisqu'aucune justification n'est demandée on calcule l'image de 109910^{99} par ff à la calculatrice et on obtient une valeur proche de 00.
    Par ailleurs, on sait déjà par croissance comparée que ln⁡(x)x\dfrac{\ln(x)}{x} converge vers 00 en +∞+\infty, ceci conforte le résultat.
    C'est la réponse dd.
    ✕
  6. L'équation e2x+ex−12=0\text{e}^{2x}+\text{e}^x-12=0 admet dans R\mathbb{R} :
    1. trois solutions ;
    2. deux solutions ;
    3. une seule solution ;
    4. aucune solution.
    Correction
    Nous sommes ici en présence d'une équation classique avec les exponentielles. En posant X=exX=\text{e}^x l'équation devient :
    e2x+ex−12\text{e}^{2x}+\text{e}^x-12 == 00
    (ex)2+ex−12\left(\text{e}^{x}\right)^2+\text{e}^x-12 == 00
    X2+X−12X^2+X-12 == 00.
    On calcule le discriminant Δ\Delta de cette dernière équation :
    Δ=1−4×(−12)\Delta=1-4\times(-12) == 4949.
    On a donc deux solutions potentielles :
    X1=−1−72X_1 = \dfrac{-1-7}{2} == −4-4,
    et
    X2=−1+72X_2 = \dfrac{-1+7}{2} == 33.

    Or, X=exX=\text{e}^x, on cherche donc xx tel que :
    ex=−4\text{e}^x= -4, ce qui est impossible car −4<0-4<0.
    ou
    ex=3\text{e}^x = 3, ce qui donne x=ln⁡(3)x=\ln(3).

    L'équation possède donc une unique solution. Réponse cc.

    Remarque : on aurait pu tracer la courbe de la fonction x↦e2x+ex−12x\mapsto \text{e}^{2x}+\text{e}^x-12 pour avoir une idée mais sans les variations on ne peut être sûr du nombre exact de fois où la courbe coupe l'axe des abscisses.
    ✕