Baccalauréat Général
Épreuve de mathématiques
Mercredi 11 mai 2022
Sujet de Métropole
7 points
 Dans le cadre d'un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d'une maladie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.
Les parties A et B sont indépendantes. 1Partie A : Étude du premier protocole Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;10]$ par $$f(t)=3t\text{e}^{-0,5t+1},$$ où $t$ désigne le temps, exprimé en heures, écoulé depuis la prise du comprimé.
    1. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0\,;10]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
      Montrer que, pour tout nombre réel $t$ de $[0\,;10]$, on a $f'(t)=3(-0,5t+1)\text{e}^{-0,5t+1}$.
      2. La fonction $f$ est la forme $u\times v$ avec :
      $u(t)=3t$ et $u'(t)=3$
      $v(t)=\text{e}^{-0,5t+1}$ et $v'(t)=-0,5\text{e}^{-0,5t+1}$.

      Ainsi, pour tout $t\in[0\,;10]$ :
      $f'(t)$ $=$ $u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$
      $=$ $3\text{e}^{-0,5t+1}+3t\times(-0,5)\text{e}^{-0,5t+1}$
      $=$ $3\text{e}^{-0,5t+1}\left(1-0,5t\right)$
      $=$ $3\text{e}^{-0,5t+1}\left(-0,5t+1\right)$.
    2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;10]$.
      3. Puisque pour tout $t\in[0\,;10]$, 1 $3\text{e}^{-0,5t+1} >0$, $f'(t)$ est donc du signe de $(-0,5t+1)$. Or,
      $-0,5t+1$ $\geq$ $0$
      ssi $-0,5t$ $\geq$ $-1$
      ssi $t$ $\leq$ $\dfrac{-1}{-0,5}$ car $-0,5<0$
      ssi $t$ $\leq$ $2$.
      On obtient alors le tableau de variations suivant :
      En effet :
      $f(0)$ $=$ $3\times 0 \times\text{e}^{1}$ $=$ $0$.
      $f(2)$ $=$ $3\times 2\times \text{e}^0$ $=$ $6\times1$ $=$ $6$.
      $f(10)$ $=$ $30\text{e}^{-4}$ $\approx$ $0,549$.
    3. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
      4. D'après le tableau de variations la quantité de médicament sera maximale au bout de $2$ heures et sera alors de $6$ mg.
    1. Montrer que l'équation $f(t)=5$ admet une unique solution sur $[0\,;2]$, noté $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
      2. Sur l'intervalle $[0\,;2]$ :
      • $f$ est continue, car dérivable,
      • $f$ est strictement croissante,
      • $f(0)=0 <5$ et $f(2)=6 >5$.
      Ainsi, d'après le théorème de la bijection l'équation $f(t)=5$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0\,;2]$.
      Par balayage à la calculatrice on obtient :
      $1$ $<$ $\alpha$ $<$ $2$
      $1$ $<$ $\alpha$ $<$ $1,1$
      $1,02$ $<$ $\alpha$ $<$ $1,03$.
      $1,022$ $<$ $\alpha$ $<$ $1,023$.
      Ainsi, $\alpha \approx 1,02$.       On admet que l'équation $f(t)=5$ admet une unique solution sur l'intervalle $[2\,;10]$, noté $\beta$, et qu'une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est $3,46$.
    2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5$ mg.
      Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
      3. D'après les questions précédentes, on peut affirmer que le médicament est efficace sur l'intervalle de temps $[\alpha\,;\beta]$, soit sur une durée de :
      $\beta-\alpha$ $=$ $3,46-1,02$ $=$ $2,44$ heures.
      Or, $0,44$ heure représente $0,44\times 60$ $=$ $26,4$ minutes. Le médicament est donc efficace pendant à peu près $2$ heures et $26$ minutes.
1Partie B : Étude du deuxième protocole Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminuté de $30$ % par rapport à la quantité présente immédiatement après injection.
On modélise cette situation à l'aide d'une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure. On a donc $u_0=2$.
  1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$ de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injectio de la première heure.
    2. La quantité initiale $u_0$ a diminué de $30$ % après la première heure. Elle est alors de $u_0\times0,7$, car une diminution de $30$ % correspond à un coefficient multiplicateur de $0,7$. On injecte ensuite $1,8$ mg et on a donc :
    $u_1=0,7\times u_0+1,8$ $=$ $0,7\times2+1,8$ $=$ $3,2$ mg.
  2. Justifier quue, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$.
    3. Après la $n$-ième injection, la quantité $u_n$ diminue de $30$ % au bout d'une heure. Elle est alors de $u_n\times0,7$, car une diminution de $30$ % correspond à un coefficient multiplicateur de $0,7$. On injecte ensuite $1,8$ mg et on a donc :
    $u_{n+1}=0,7\times u_n+1,8$.
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leq u_{n+1} < 6$.
      2. Initialisation
      On a $u_0=2$ et $u_1=3,2$, ainsi on a bien : $u_0 \leq u_1 <6$.

      Hérédité
      On suppose que pour un certain entier naturel $n$, $u_n \leq u_{n+1} < 6$ et on cherche à montrer alors que $u_{n+1} \leq u_{n+2} < 6$.
      Par hypothèse de récurrence on a :
      $u_n$ $\leq$ $u_{n+1}$ $<$ $6$
      ssi $0,7u_n$ $\leq$ $0,7u_{n+1}$ $<$ $0,7\times6$ car $0,7>0$
      ssi $0,7u_n+1,8$ $\leq$ $0,7u_{n+1}+1,8$ $<$ $0,42+1,8$
      ssi $u_{n+1}$ $\leq$ $u_{n+2}$ $<$ $0,6$.


      Conclusion
      D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leq u_{n+1} < 6$.
    2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
      3. D'après la question précédente on a que la suite $(u_n)$ est croissante puisque pour tout entier $n$, $u_n\leq u_{n+1}$, et qu'elle est majorée par $6$.
      Ainsi, d'après le théorème de convergence monotone la suite $(u_n)$ converge.
    3. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
      4. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0,7x+1,8$ est continue sur $\mathbb{R}$. De plus, puisque pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ et que $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$, on a, d'après le cours que : $\ell = f(\ell)$.
      On résout alors l'équation :
      $\ell$ $=$ $f(\ell)$
      $\ell$ $=$ $0,7\ell+1,8$
      $\ell-0,7\ell$ $=$ $1,8$
      $0,3\ell$ $=$ $1,8$
      $\ell$ $=$ $\dfrac{1,8}{0,3}$
      $\ell$ $=$ $6$.
      La suite $(u_n)$ converge donc vers $6$, ce qui veut dire qu'après un certain nombre d'heures la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera proche de $6$ mg.
  4. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=6-u_n$.
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrie de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
      2. Pour tout entier $n$ on a :
      $v_{n+1}$ $=$ $6-u_{n+1}$
      $=$ $6-(0,7u_n+1,8)$
      $=$ $6-0,7u_n-1,8$
      $=$ $4,2-0,7u_n$
      $=$ $0,7\left(\dfrac{4,2}{0,7}-u_n\right)$
      $=$ $0,7\left(6-u_n\right)$
      $=$ $0,7v_n$.
      Ainsi, $(v_n)$ est bien géométrique de raison $0,7$ et de premier terme $v_0=6-u_0$ $=$ $4$.
    2. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
      3. Puisque $(v_n)$ est géométrie de raison $0,7$, pour tout entier $n$ on a : $v_n=v_0\times(0,7)^n$ $=$ $4\times(0,7)^n$.

      Par ailleurs, pour tout entier $n$, $v_n=6-u_n$ et donc $u_n=6-v_n$.
      Ainsi, pour tout entier $n$, on a : $u_n=6-4\times(0,7)^n$.
    3. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg.
      Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.
      4. On résout l'inéquation :
      $u_n$ $\geq$ $5,5$
      ssi $6-4\times0,7^n$ $\geq$ $5,5$
      ssi $-4\times0,7^n$ $\geq$ $5,5-6$
      ssi $-4\times0,7^n$ $\geq$ $-0,5$
      ssi $0,7^n$ $\leq$ $\dfrac{-0,5}{-4}$ car $-4<0$
      ssi $0,7^n$ $\leq$ $0,125$
      ssi $\ln\left(0,7^n\right)$ $\leq$ $\ln(0,125)$ car $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$
      ssi $n\ln\left(0,7\right)$ $\leq$ $\ln(0,125)$
      ssi $n$ $\geq$ $\dfrac{\ln(0,125)}{\ln\left(0,7\right)}$ car $\ln\left(0,7\right)<0$.
      Or, $\dfrac{\ln(0,125)}{\ln\left(0,7\right)}\approx5,8$, donc il faut réaliser $7$ injections (de $0$ jusqu'à $6$) pour appliquer ce protocole.
7 points
 Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})$, on considère : On admet que le point $A$ n'appartient pas à la droite $\mathscr{D}$.
    1. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathscr{D}$.
      2. D'après la paramétrisation de la droite $\mathscr{D}$ on a que $\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dirige cette droite.
    2. Montrer que la point $B(-1\,;3\,;0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
      3. À partir de la paramétrisation de $\mathscr{D}$ on cherche la valeur de $t$ correspondant à l'abscisse de $B$. On résout donc l'équation :
      $1+2t=-1$ ssi $t=-1$.
      On remplace alors $t$ par $-1$ dans les autres égalités de la paramétrisation et on regarde si on obtient les coordonnées de $B$.
      Pour l'ordonnée : $2-(-1)=3$ $=$ $y_B$.
      Pour la cote : $2+2\times(-1)=0$ $=$ $z_B$.

      Ainsi, $B$ est bien un point de la droite $\mathscr{D}$.
    3. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}$.
      4. $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}$ $=$ $\begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=$ $0\times2+2\times(-1)+(-3)\times2$ $=$ $-8$.
  2. On note $\mathscr{P}$ le plan passant par le point $A$ et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$, et on appelle $H$ le point d'intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$. Ainsi, $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $\mathscr{D}$.
    1. Montrer que la plan $\mathscr{P}$ admet pour équation cartésienne : $2x-y+2z-3=0$.
      2. La droite $\mathscr{D}$ étant orthogonale au plan $\mathscr{P}$, le vecteur directeur $\vec{u}$ de $\mathscr{D}$ est un vecteur normal à $\mathscr{P}$. Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc de la forme : $$2x-y+2z+d =0,$$ avec $d\in\mathbb{R}$ à déterminer.
      Or $A$ appartient au plan, ses coordonnées vérifient donc l'équation :
      $2x_A-y_A+2z_A+d=0$ ssi $-2-1+6+d=0$ ssi $3+d=0$ ssi $d=-3$.
      Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $2x-y+2z-3=0$.
    2. En déduire que le point $H$ a pour coordonnées $\left( \dfrac{7}{9}\,; \dfrac{19}{9}\,; \dfrac{16}{9} \right)$.
      3. Les coordonnées du point $H$ vérifient à la fois l'équation cartésienne de $\mathscr{P}$ et la paramétrisation de $\mathscr{D}$. En injectant cette dernière dans l'équation cartésienne on obtient :
      $2(1+2t)-(2-t)+2(2+2t)-3$ $=$ $0$
      $9t+1$ $=$ $0$
      $t$ $=$ $-\dfrac{1}{9}$.

      Pour obtenir les coordonnées de $H$ il suffit alors que remplacer $t$ par $-\dfrac{1}{9}$ dans la paramétrisation de $\mathscr{D}$.

      $x_H = 1-\dfrac{2}{9}$ $=$ $\dfrac{7}{9}$.

      $y_H = 2+\dfrac{1}{9}$ $=$ $\dfrac{19}{9}$.

      $z_H = 2-\dfrac{2}{9}$ $=$ $\dfrac{16}{9}$.

      Les coordonnées du point $H$ sont bien $\left( \dfrac{7}{9}\,; \dfrac{19}{9}\,; \dfrac{16}{9} \right)$.
    3. Calculer la valeur de $AH$. On donnera une valeur exacte.
      4. $AH^2$ $=$ $(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2+(z_H-z_A)^2$
      $=$ $\left(\dfrac{7}{9}+1\right)^2+\left(\dfrac{19}{9}-1\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}-3\right)^2$
      $=$ $\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{9}\right)^2$
      $=$ $\dfrac{256}{81}+\dfrac{100}{81}+\dfrac{121}{81}$
      $=$ $\dfrac{477}{81}$.
      Ainsi, $AH=\sqrt{\dfrac{477}{81}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{477}}{9}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{9\times53}}{9}$ $=$ $\dfrac{3\sqrt{53}}{9}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{53}}{3}$.
  3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\mathscr{D}$, par une autre méthode.
    On rappelle que le point $B(-1\,;3\,;0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ et que le vecteur $\vec{u}$ est un vecteyr directeur de la droite $\mathscr{D}$.
    1. Justifier qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{HB} = k \vec{u}$.
      2. Les points $H$ et $B$ sont sur la droite $\mathscr{D}$, le vecteur $\overrightarrow{HB}$ est donc colinéaire au vecteur directeur $\vec{u}$ de $\mathscr{D}$.
      Ainsi, il existe bien un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{HB} = k \vec{u}$.
    2. Montrer que $k = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2}$.
      3. On a : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}$.
      Ainsi :
      $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}$ $=$ $(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB})\cdot\vec{u}$
      $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}$ $=$ $\overrightarrow{AH}\cdot\vec{u}+\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}$
      $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}$ $=$ $0+\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}$ car $\mathscr{D}$ est orthgonale à $\mathscr{P}$
      $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}$ $=$ $k \vec{u}\cdot\vec{u}$ car $\overrightarrow{HB} = k \vec{u}$
      $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}$ $=$ $k ||\vec{u}||^2$
      $\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2}$ $=$ $k $.
    3. Calculer la valeur du nombre réel $k$ et retrouver les coordonnées du point $H$.
      4. D'après la question 1.c on a $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} = -8$.
      De plus $||\vec{u}||^2$ $=$ $2^2+(-1)^2+2^2$ $=$ $9$.
      Ainsi, $k = -\dfrac{8}{9}$.

      On a alors :
      $\overrightarrow{HB}$ $=$ $k\vec{u}$
      $\begin{pmatrix}x_B-x_H \\ y_B-y_H \\ z_B-z_H \end{pmatrix}$ $=$ $-\dfrac{8}{9}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix}-1-x_H \\ 3-y_H \\ -z_H \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}-\dfrac{16}{9} \\ \dfrac{8}{9} \\ -\dfrac{16}{9} \end{pmatrix}$
      Or, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. Ainsi :

      $-1-x_H = -\dfrac{16}{9}$ ssi $x_H=-1+\dfrac{16}{9}$ $=$ $\dfrac{7}{9}$.

      $3-y_H = \dfrac{8}{9}$ ssi $y_H=3-\dfrac{8}{9}$ ssi $y_H=\dfrac{19}{9}$.

      $-z_H = -\dfrac{16}{9} $ ssi $z_H = \dfrac{16}{9} $.

      Nous retrouvons bien les coordonnées du point $H\left(\dfrac{7}{9} \,; \dfrac{19}{9} \,; \dfrac{16}{9} \right)$.
  4. On considère un point $C$ appartenant au plan $\mathscr{P}$ tel que le volume du tétraèdre $ABCH$ soit égal à $\dfrac{8}{9}$.
    Calculer l'aire du triangle $ACH$.
    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\times\mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
    5. Le triangle $ACH$ est dans le plan $\mathscr{P}$, et puisque $(BH)$ est orthogonale à $\mathscr{P}$ alors $BH$ correspond à la hauteur relative à la face $ACH$ du tétraèdre $ABCH$.
    On a alors :
    $V_{ABCH}$ $=$ $\dfrac{1}{3}A_{ACH}\times BH$
    $\dfrac{8}{9}$ $=$ $\dfrac{1}{3}A_{ACH}\times BH$
    $A_{ACH}$ $=$ $\dfrac{3\times \dfrac{8}{9}}{BH}$
    $A_{ACH}$ $=$ $\dfrac{\dfrac{8}{3}}{BH}$
    $A_{ACH}$ $=$ $\dfrac{8}{3BH}$.
    Or :
    $BH^2$ $=$ $(x_H-x_B)^2+(y_H-y_B)^2+(z_H-z_B)^2$
    $=$ $\left(\dfrac{7}{9}+1\right)^2+\left(\dfrac{19}{9}-3\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2$
    $=$ $\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2$
    $=$ $\dfrac{256}{81}+\dfrac{64}{81}+\dfrac{256}{81}$
    $=$ $\dfrac{576}{81}$.
    Ainsi $BH=\sqrt{\dfrac{576}{81}}$ $=$ $\dfrac{8}{3}$.
    On peut alors conclure :
    $A_{ACH}$ $=$ $\dfrac{8}{3BH}$ $=$ $\dfrac{8}{3\times\frac{8}{3}}$ $=$ $1$.
7 points
 Le directeur d'une grande entreprise a proposé à l'ensemble de ses salariés un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel.
Ce stage a été suivi par $25$ % des salariés.
  1. Dans cette entreprise, $52$ % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles $40$ % ont suivi le stage.
    On interroge au hasard un salarié de l'entreprise et on considère les événements : $\overline{F}$ et $\overline{S}$ désignent respectivement les événements contraires des événements $F$ et $S$.
    1. Donner la probabilité de l'événement $S$.
      2. Le stage ayant été suivi par $25$ % des salariés on a $P(S)=0,25$.
    2. Recopier et compléter les pointillés de l'arbre pondéré ci-contre sur les quatre branches indiquées.
    3. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à $0,208$.
      4. On cherche $P(F\cap S)$ $=$ $0,52\times 0,4$ $=$ $0,208$.
    4. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
      5. On cherche $P_S(F)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}$ $=$ $\dfrac{0,208}{0,25}$ $=$ $0,832$.
    5. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l'entreprise, moins de $10$ % ont suivi le stage.
      Justifier l'affirmation du directeur.
      6. D'après la formule des probabilités totales on a :
      $P(F\cap S)+P(\overline{F}\cap S)$ $=$ $P(S)$
      $0,208+P(\overline{F}\cap S)$ $=$ $0,25$
      $P(\overline{F}\cap S)$ $=$ $0,25-0,208$
      $P(\overline{F}\cap S)$ $=$ $0,042$.
      On a alors $P_{\overline{F}}(S)=\dfrac{P(\overline{F}\cap S)}{P(\overline{F})}$ $=$ $\dfrac{0,042}{0,48}$ $=$ $0,087\,5$.
      Ainsi, parmi les hommes salariés $8,75$ % ont suivi le stage, ce qui est bien inférieur à $10$ %.
  2. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $20$ salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l'effectif des salariés de l'entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
      2. Le fait de choisir un salarié et de regarder si il a suivi le stage ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,25$. On la répète $20$ fois de manière indépendante (car tirage avec remise).
      Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $20$ et $0,25$.
    2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que $5$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage.
      3. $P(X=5)= \binom{20}{5}0,25^5\times 0,75^15$ $\approx$ $0,202$.
    3. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale(i,n,p) créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X=i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. def proba(k): P = 0 for i in range(0,k+1): P = P+binomiale(i,20,0.25) return P Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit proba(5) dans la console Python. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercie.
      4. La boucle for de l'algorithme permet d'ajouter toute les probabilités $P(X=i)$ pour $i$ alant de $0$ jusqu'à $k$.
      Ainsi, l'instruction proba(5) permet de calculer $P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=5)$ soit $P(X\leq 5)$.
      À la calculatrice on obtient $P(X\leq 5) \approx 0,617$ ce qui correspond à la valeur renvoyée.
    4. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'au moins $6$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage.
      5. À la calculatrice on a $P(X\geq 6)\approx0,383$.
  3. Cette question est indépendante des questions 1 et 2.
    Pour inciter les salariés à suivre le stage, l'entreprise avait décidé d'augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de $5$ %, contre $2$ % d'augmentation pour les salariés n'ayant pas suivi le stage.
    Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?
    4. Si on note $S$ la somme de tous les salaires on a que $25$ % des salaires de $S$ augmentent de $5$ % et $75$ % augmentent de $2$ %.
    La nouvelle masse salariale est donc de :
    $0,25\times S\times 1,05+0,75\times S\times 1,02$ $=$ $1,0275S$.
    La masse salariale a donc augmenté de $2,75$ % ce qui correspond à l'augmentation moyenne des salaires.
7 points
 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les six questions sont indépendantes.
  1. La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}$ admet pour asymptote la droite d'équation :
    1. $x=-2$ ;
    2. $y=-1$ ;
    3. $y=-2$
    4. $y=0$.
    2. La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, on s'intéresse donc aux asymptotes horizontales. On peut éliminer la réponse a.
    On regarde alors les limites en $-\infty$ ou $+\infty$. Puisqu'aucune justification n'est demandée on peut se servir de la calculatrice, soit en traçant la courbe de la fonction $f$ soit en calculant une image pour $x$ très grand.
    On a par exemple $f(10^9)\approx -2$ et la droite d'équation $y=-2$ semble être asymptote horizontale à la courbe de la fonction $f$.
    C'est donc la réponse $c$.
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\text{e}^{x^2}$.
    La primitive de $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0)=1$ est définie par :
    1. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^{x^2}$ ;
    2. $F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}$ ;
    3. $F(x)=(1+2x^2)\text{e}^{x^2}$ ;
    4. $F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}+\dfrac{1}{2}$.
    3. En calculant $F(0)$ pour chaque proposition on peut exclure la $a$ et la $b$ car on obtient un résultat différent de $1$.
    On peut alors dériver $F(x)$ pour les propositions $c$ et $d$, en notant $\left( \text{e}^{x^2}\right)'$ $=$ $2x\text{e}^{x^2}$.
    On peut voir alors facilement que la bonne réponse est la $d$.
  3. On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_f$, de la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.
    On peut affirmer que la fonction $f$ est :
    1. concave sur $]0\,;+\infty[$ ;
    2. convexe sur $]0\,;+\infty[$ ;
    3. convexe sur $[0\,;2]$ ;
    4. convexe sur $[2\,;+\infty]$.
    Sur le graphique nous voyons que $f'$ est croissante sur $[0\,;2]$, la fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    La bonne réponse est la $c$.
  4. Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2$ :
    1. toutes sont croissantes sur $\mathbb{R}$ ;
    2. toutes sont décroissantes sur $\mathbb{R}$ ;
    3. certaines sont croissantes sur $\mathbb{R}$ et d'autres décroissantes sur $\mathbb{R}$;
    4. toutes sont croissantes sur $]-\infty\,;0]$ et toutes sont décroissantes sur $[0\,;+\infty[$.
    Pour tout réel $x$ on a $\text{e}^{-x^2}>0$ et donc la fonction $f$, dérivée de ses primitives, est strictement positives sur $\mathbb{R}$. Les primitives de $f$ sont donc toutes croissantes sur $\mathbb{R}$.
    C'est la réponse $a$.
  5. La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{3x^2+1}$ est égale à :
    1. $\dfrac{2}{3}$ ;
    2. $+\infty$ ;
    3. $-\infty$ ;
    4. $0$.
    Puisqu'aucune justification n'est demandée on calcule l'image de $10^{99}$ par $f$ à la calculatrice et on obtient une valeur proche de $0$.
    Par ailleurs, on sait déjà par croissance comparée que $\dfrac{\ln(x)}{x}$ converge vers $0$ en $+\infty$, ceci conforte le résultat.
    C'est la réponse $d$.
  6. L'équation $\text{e}^{2x}+\text{e}^x-12=0$ admet dans $\mathbb{R}$ :
    1. trois solutions ;
    2. deux solutions ;
    3. une seule solution ;
    4. aucune solution.
    Nous sommes ici en présence d'une équation classique avec les exponentielles. En posant $X=\text{e}^x$ l'équation devient :
    $\text{e}^{2x}+\text{e}^x-12$ $=$ $0$
    $\left(\text{e}^{x}\right)^2+\text{e}^x-12$ $=$ $0$
    $X^2+X-12$ $=$ $0$.
    On calcule le discriminant $\Delta$ de cette dernière équation :
    $\Delta=1-4\times(-12)$ $=$ $49$.
    On a donc deux solutions potentielles :
    $X_1 = \dfrac{-1-7}{2}$ $=$ $-4$,
    et
    $X_2 = \dfrac{-1+7}{2}$ $=$ $3$.

    Or, $X=\text{e}^x$, on cherche donc $x$ tel que :
    $\text{e}^x= -4$, ce qui est impossible car $-4<0$.
    ou
    $\text{e}^x = 3$, ce qui donne $x=\ln(3)$.

    L'équation possède donc une unique solution. Réponse $c$.

    Remarque : on aurait pu tracer la courbe de la fonction $x\mapsto \text{e}^{2x}+\text{e}^x-12$ pour avoir une idée mais sans les variations on ne peut être sûr du nombre exact de fois où la courbe coupe l'axe des abscisses.