--> Droites remarquables du triangle 1Médiane Definition 1
Une médiane dans un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
A
B
C
C'
Property 1
Dans un triangle les trois médianes sont toujours concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle.
A
B
C
C'
B'
A'
G
Preuve
Nous allons démontrer cette propriété à l'aide de la géométrie repérée.
On se place dans le repère (B,BA→,BC→)(B,\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}), et nous avons les coordonnées suivantes :
B(0;0)B(0;0), A(1;0)A(1;0), C(0;1)C(0;1), C′(12;0)C'(\frac{1}{2};0), A′(0;12)A'(0;\frac{1}{2}) et B′(12;12)B'(\frac{1}{2};\frac{1}{2}).
Pour s'en convaincre on pourra déplacer les points dans la figure précédente pour que le repère semble orthogonal.
Il nous faut maintenant déterminer les équations de chacune des droites (AA′)(AA'), (BB′)(BB') et (CC′)(CC').

Pour (BB′)(BB') :
La droite passe par l'origine du repère, son équation est donc de la forme : y=axy=ax, avec a=yB′−yBxB′−xBa=\dfrac{y_{B'}-y_B}{x_{B'}-x_B} == 1212\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} == 11.
Ainsi l'équation de (BB′)(BB') est : y=xy=x.

Pour (CC′)(CC') :
L'équation de la droite est de la forme : y=ax+by=ax+b, avec a=yC′−yCxC′−xCa=\dfrac{y_{C'}-y_C}{x_{C'}-x_C} == 0−112−0\dfrac{0-1}{\frac{1}{2}-0} == −2-2.
Nous avons donc : y=−2x+by=-2x+b, et pour déterminer bb nous remplaçons xx et yy par les coordonnées d'un point appartenant à la droite (CC′)(CC'), par exemple CC :
yC=−2xC+by_C=-2x_C+b ⟺\Longleftrightarrow 1=−2×0+b1=-2\times0+b ⟺\Longleftrightarrow b=1b=1.
Ainsi l'équation de (CC′)(CC') est : y=−2x+1y=-2x+1.

Pour (AA′)(AA') :
L'équation de la droite est de la forme : y=ax+by=ax+b, avec a=yA′−yAxA′−xAa=\dfrac{y_{A'}-y_A}{x_{A'}-x_A} == 12−00−1\dfrac{\frac{1}{2}-0}{0-1} == −12-\dfrac{1}{2}.
Nous avons donc : y=−12x+by=-\dfrac{1}{2}x+b, et pour déterminer bb nous remplaçons xx et yy par les coordonnées d'un point appartenant à la droite (AA′)(AA'), par exemple AA :
yA=−12xA+by_A=-\dfrac{1}{2}x_A+b ⟺\Longleftrightarrow 0=−12×1+b0=-\dfrac{1}{2}\times1+b ⟺\Longleftrightarrow b=12b=\dfrac{1}{2}.
Ainsi l'équation de (AA′)(AA') est : y=−12x+12y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}.

Il nous reste à déterminer l'intersection entre (BB′)(BB') et (CC′)(CC'), et ensuite nous vérifierons que le point trouver est également un point de (AA′)(AA').
Pour trouver les coordonnées du point d'intersection entre (BB′)(BB') et (CC′)(CC'), nous résolvons le système suivant :
          {y=xy=−2x+1\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ y & = & -2x+1\end{array}\right.

⟺\Longleftrightarrow {y=xx=−2x+1\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ x & = & -2x+1\end{array}\right. (par substitution)

⟺\Longleftrightarrow {y=x3x=1\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ 3x & = & 1\end{array}\right.

⟺\Longleftrightarrow {y=xx=13\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ x & = & \dfrac{1}{3}\end{array}\right.

⟺\Longleftrightarrow {y=13x=13\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & \dfrac{1}{3} \\ & & \\ x & = & \dfrac{1}{3}\end{array}\right.
Le point d'intersection entre (BB′)(BB') et (CC′)(CC') a pour coordonnées : (13;13)\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right). Regardons alors si ces coordonnées vérifient l'équation de (AA′)(AA') qui est : y=−12x+12y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}. On remplace donc xx par 13\dfrac{1}{3} dans le membre de gauche de cette équation, et nous espérons trouver 13\dfrac{1}{3} à la fin :

−12x+12-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} == −12×13+12-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2} == −16+12-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2} == −16+36-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6} == 26\dfrac{2}{6} == 13\dfrac{1}{3}.

Ainsi le point d'intersection entre (BB′)(BB') et (CC′)(CC') de coordonnées (13;13)\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right) est également un point de (AA′)(AA'). Les trois médianes du triangle sont donc bien concourantes. Remark 1 Nous pouvons aller un peu plus loin dans cette preuve. Notons G(13;13)G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right).
On a alors : BG→\overrightarrow{BG} == (xG−xByG−yB)\begin{pmatrix} x_G-x_B \\ y_G-y_B \end{pmatrix} == (1313)\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}, et BB′→\overrightarrow{BB'} == (xB′−xByB′−yB)\begin{pmatrix} x_{B'}-x_B \\ y_{B'}-y_B \end{pmatrix} == (1212)\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Puisque 13\dfrac{1}{3} == 23×12\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}, on alors : BB′→\overrightarrow{BB'} == 23BG→\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BG}.

Ceci signifie que le centre de gravité GG est situé au 23\dfrac{2}{3} de la longueur de la médiane en partant du sommet. Property 2
Dans un triangle, le centre de gravité est situé sur chaque médiane aux deux tiers de la longueur à partir du sommet. 2Médiatrice Definition 2
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants aux extrémités de ce segment. Property 3
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
A
B
C
Property 4
Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle circonscrit au triangle.
A
B
C
C'
B'
A'
O
Remark 2 Quand le triangle a trois angles aigus le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle.
A
B
C
C'
B'
A'
O


Preuve de la propriété
On considère un triangle ABCABC, on note C′C' le milieu de [AB][AB], B′B' le mileu de [AC][AC] et A′A' celui de [BC][BC].
Appelons OO le point d'intersection des médiatrices de [AB][AB] et [AC][AC]. Notre but est de démontrer que OO est également un point de la médiatrice de [BC][BC].
Nous allons pour cela utiliser la définition d'une médiatrice d'un segment, à savoir que si un point appartient à cette droite alors il est à égale distance des extrémités du segment.
Ici, nous avons que OO est sur la médiatrice de [AB][AB], donc : OA=OBOA=OB.
De plus, OO est un point de la médiatrice de [AC][AC], donc : OA=OCOA=OC.
Ainsi, OB=OCOB=OC, et donc OO est à égale distance des extréminités du segment [BC][BC], il appartient à la médiatrice de [BC][BC].
Nous venons de démontrer que les trois médiatrices du triangle ABCABC sont concourantes en OO.
Nous avons de plus démontré que OA=OB=OCOA=OB=OC. Ainsi, les trois points AA, BB et CC sont tous équidistants du point OO. Ils appartiennent donc à un cercle de centre OO. Mais ce cercle passe par les trois sommets du triangle, c'est le cercle circonscrit de ABCABC.
On peut alors conclure que le point d'intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.
3Hauteur Definition 3
Une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
A
B
C
C1
Property 5
Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
A
B
C
C1
A1
B1
H
Remark 3 Quand le triangle a trois angles aigus l'orthocentre est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.
Preuve de la propriété
On considère un triangle ABCABC, et C1C_1 le pied de la hauteur issue de CC. On construit de plus la parallèle à (AB)(AB) passant par CC, la parallèle à (AC)(AC) passant par BB et la parallèle à (BC)(BC) passant par AA.
On obtient alors un nouveau triangle MNPMNP comme dans la figure ci-dessous.
A
B
C
C1
M
N
P
Démontrons tout d'abord que le point CC est le milieu de [MN][MN].
Par construction, le quadrilatère ABNCABNC est un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont parallèles. Ainsi : NC=BANC=BA.
On démontre de même que ABCMABCM est un parallélogramme et que : AB=CMAB=CM.
On peut donc conclure que NC=CMNC=CM, et puisque les points NN, CC et MM sont alignés, on a alors que CC est le milieu de [MN][MN].
De plus, puisque (CC1)(CC_1) est la hauteur issue de CC dans ABCABC, on a que (CC1)(CC_1) et perpendiculaire à (AB)(AB), mais (AB)(AB) et (MN)(MN) sont parallèles, donc (CC1)(CC_1) et (MN)(MN) sont perpendiculaires.
La droite (CC1)(CC_1) passe donc par le milieu de [MN][MN] et lui est perpendiculaire, c'est une médiatrice de ce segment.
Un raisonnement analogue prouve que (AA1)(AA_1) est la médiatrice de [MP][MP] et que (BB1)(BB_1) est celle de [NP][NP].
A
B
C
C1
A1
B1
H
M
N
P
En se plaçant donc dans le triangle MNPMNP nous avons que les trois droites (AA1)(AA_1), (BB1)(BB_1) et (CC1)(CC_1) sont concourantes en tant que médiatrices. Ces droites étant les hauteurs de ABCABC nous avons bien montré que les hauteurs d'un triangle sont concourantes. 4Droite d'Euler Property 6
Dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés et ne sont pas confondus. On appelle droite d'Euler la droite passant par ces trois points. Remark 4 On ne démontrera pas cette propriété ici, sa difficulté étant au-delà du programme de 2nde. On pourra tout de même l'observer dans la figure ci-dessous en déplaçant les points.
A
B
C
H
C'
A'
B'
G
O
5Bissectrice Definition 4
La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet, qui le partage en deux secteurs angulaires superposables.
A
B
C
Property 7
La bissectrice d'un secteur angulaire repose sur l'axe de symétrie de ce secteur angulaire. Remark 5 La bissectrice repose sur l'axe de symétrie car celle-ci est une demi-droite et non toute une droite. Remark 6 Pour les besoins de la preuve d'une des propriétés suivantes nous avons besoin d'étudier la distance d'un point à une droite Definition 5
On appelle distance d'un point à une droite la plus courte distance séparant ce point de n'importe quel point de la droite.
A
M
AM = 1.7029386365926402
Déplacer le point M Property 8
La distance d'un point à une droite est la distance séparant ce point du pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point.
A
H
M
AM = 1.7029386365926402
Déplacer les points A et M Property 9
Tout point de la bissectrice d'un angle est à égale distance des côtés de cet angle.
M
M1
M2
MM1 = 0.9800128865132125
MM2 = 0.9800128865132128
Property 10
Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle tangent aux trois côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle.
A
B
C
I
Remark 7 Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle.
A
B
C
I
I1
I2
I3
Preuve de la propriété
Dans un triangle ABCABC on note II le point d'intersection des bissectrices de ABC^\widehat{ABC} et de BAC^\widehat{BAC}.
On note de plus I1I_1 le projeté orthogonale de II sur [AB][AB], I2I_2 le projeté orthogonal de II sur [AC][AC] et I3I_3 celui sur [BC][BC].
Notre but est de montrer que II est un point de la bissectrice de BCA^\widehat{BCA}.
Puisque II est un point de la bissectrice de ABC^\widehat{ABC}, II est à égale distance de (AB)(AB) et de (BC)(BC). Ainsi, II1=II3II_1=II_3, par construction de I1I_1 et I3I_3.
De plus, II est un point de la bissectrice de BAC^\widehat{BAC}, donc nous avons également que : II1=II2II_1 = II_2.
Ainsi, II2=II3II_2=II_3. On peut alors affirmer que II est à égale distance de (BC)(BC) et (AC)(AC), ce qui veut dire que II est un point de la bissectrice de BCA^\widehat{BCA}.
Les trois bissectrices de ABCABC sont bien concourantes.

Puisque II1=II2=II3II_1 = II_2 = II_3, nous avons que I1I_1, I2I_2 et I3I_3 sont sur un même cercle. Chacun des rayons [II1][II_1], [II2][II_2] et [II3][II_3] étant perpendiculaire au côté du triangle, ceux-ci sont donc tangents à ce cercle.
Le cercle de centre II et passant par I1I_1 est bien le cercle inscrit au triangle ABCABC. Remark 8 Lorsque le triangle est isocèle certaines droites remarquables se confondent. Lorsqu'il est équilatéral toutes celles relatives à un même sommet son confondues.
A
B
C
I
G
H
O
Déplacer A, B et C pour que les droites remarquables se confondent