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Droites remarquables du triangleMédiane
Une médiane dans un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Dans un triangle les trois médianes sont toujours concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle.
Preuve
Nous allons démontrer cette propriété à l'aide de la géométrie repérée.
On se place dans le repère $(B,\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$, et nous avons les coordonnées suivantes :
$B(0;0)$, $A(1;0)$, $C(0;1)$, $C'(\frac{1}{2};0)$, $A'(0;\frac{1}{2})$ et $B'(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$.
Pour s'en convaincre on pourra déplacer les points dans la figure précédente pour que le repère semble orthogonal.
Il nous faut maintenant déterminer les équations de chacune des droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$.
Pour $(BB')$ :
La droite passe par l'origine du repère, son équation est donc de la forme : $y=ax$, avec $a=\dfrac{y_{B'}-y_B}{x_{B'}-x_B}$ $=$ $\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$ $=$ $1$.
Ainsi l'équation de $(BB')$ est : $y=x$.
Pour $(CC')$ :
L'équation de la droite est de la forme : $y=ax+b$, avec $a=\dfrac{y_{C'}-y_C}{x_{C'}-x_C}$ $=$ $\dfrac{0-1}{\frac{1}{2}-0}$ $=$ $-2$.
Nous avons donc : $y=-2x+b$, et pour déterminer $b$ nous remplaçons $x$ et $y$ par les coordonnées d'un point appartenant à la droite $(CC')$, par exemple $C$ :
$y_C=-2x_C+b$ $\Longleftrightarrow$ $1=-2\times0+b$ $\Longleftrightarrow$ $b=1$.
Ainsi l'équation de $(CC')$ est : $y=-2x+1$.
Pour $(AA')$ :
L'équation de la droite est de la forme : $y=ax+b$, avec $a=\dfrac{y_{A'}-y_A}{x_{A'}-x_A}$ $=$ $\dfrac{\frac{1}{2}-0}{0-1}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$.
Nous avons donc : $y=-\dfrac{1}{2}x+b$, et pour déterminer $b$ nous remplaçons $x$ et $y$ par les coordonnées d'un point appartenant à la droite $(AA')$, par exemple $A$ :
$y_A=-\dfrac{1}{2}x_A+b$ $\Longleftrightarrow$ $0=-\dfrac{1}{2}\times1+b$ $\Longleftrightarrow$ $b=\dfrac{1}{2}$.
Ainsi l'équation de $(AA')$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$.
Il nous reste à déterminer l'intersection entre $(BB')$ et $(CC')$, et ensuite nous vérifierons que le point trouver est également un point de $(AA')$.
Pour trouver les coordonnées du point d'intersection entre $(BB')$ et $(CC')$, nous résolvons le système suivant :
9 $\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ y & = & -2x+1\end{array}\right.$
$\Longleftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ x & = & -2x+1\end{array}\right.$ (par substitution)
$\Longleftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ 3x & = & 1\end{array}\right.$
$\Longleftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ x & = & \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$
$\Longleftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & \dfrac{1}{3} \\ & & \\ x & = & \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$
Le point d'intersection entre $(BB')$ et $(CC')$ a pour coordonnées : $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$. Regardons alors si ces coordonnées vérifient l'équation de $(AA')$ qui est : $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$. On remplace donc $x$ par $\dfrac{1}{3}$ dans le membre de gauche de cette équation, et nous espérons trouver $\dfrac{1}{3}$ à la fin :
Ainsi le point d'intersection entre $(BB')$ et $(CC')$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ est également un point de $(AA')$. Les trois médianes du triangle sont donc bien concourantes.
Nous pouvons aller un peu plus loin dans cette preuve. Notons $G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
On a alors : $\overrightarrow{BG}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_G-x_B \\ y_G-y_B \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$, et $\overrightarrow{BB'}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_{B'}-x_B \\ y_{B'}-y_B \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$.
Puisque $\dfrac{1}{3}$ $=$ $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}$, on alors :
$\overrightarrow{BB'}$ $=$ $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BG}$.
Ceci signifie que le centre de gravité $G$ est situé au $\dfrac{2}{3}$ de la longueur de la médiane en partant du sommet.
Dans un triangle, le centre de gravité est situé sur chaque médiane aux deux tiers de la longueur à partir du sommet.
Médiatrice
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants aux extrémités de ce segment.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle circonscrit au triangle.
Quand le triangle a trois angles aigus le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle.
Preuve de la propriété
On considère un triangle $ABC$, on note $C'$ le milieu de $[AB]$, $B'$ le mileu de $[AC]$ et $A'$ celui de $[BC]$.
Appelons $O$ le point d'intersection des médiatrices de $[AB]$ et $[AC]$. Notre but est de démontrer que $O$ est également un point de la médiatrice de $[BC]$.
Nous allons pour cela utiliser la définition d'une médiatrice d'un segment, à savoir que si un point appartient à cette droite alors il est à égale distance des extrémités du segment.
Ici, nous avons que $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$, donc : $OA=OB$.
De plus, $O$ est un point de la médiatrice de $[AC]$, donc : $OA=OC$.
Ainsi, $OB=OC$, et donc $O$ est à égale distance des extréminités du segment $[BC]$, il appartient à la médiatrice de $[BC]$.
Nous venons de démontrer que les trois médiatrices du triangle $ABC$ sont concourantes en $O$.
Nous avons de plus démontré que $OA=OB=OC$. Ainsi, les trois points $A$, $B$ et $C$ sont tous équidistants du point $O$. Ils appartiennent donc à un cercle de centre $O$. Mais ce cercle passe par les trois sommets du triangle, c'est le cercle circonscrit de $ABC$.
On peut alors conclure que le point d'intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Hauteur
Une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
Quand le triangle a trois angles aigus l'orthocentre est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.
Preuve de la propriété
On considère un triangle $ABC$, et $C_1$ le pied de la hauteur issue de $C$. On construit de plus la parallèle à $(AB)$ passant par $C$, la parallèle à $(AC)$ passant par $B$ et la parallèle à $(BC)$ passant par $A$.
On obtient alors un nouveau triangle $MNP$ comme dans la figure ci-dessous.
Démontrons tout d'abord que le point $C$ est le milieu de $[MN]$.
Par construction, le quadrilatère $ABNC$ est un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont parallèles. Ainsi : $NC=BA$.
On démontre de même que $ABCM$ est un parallélogramme et que : $AB=CM$.
On peut donc conclure que $NC=CM$, et puisque les points $N$, $C$ et $M$ sont alignés, on a alors que $C$ est le milieu de $[MN]$.
De plus, puisque $(CC_1)$ est la hauteur issue de $C$ dans $ABC$, on a que $(CC_1)$ et perpendiculaire à $(AB)$, mais $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles, donc $(CC_1)$ et $(MN)$ sont perpendiculaires.
La droite $(CC_1)$ passe donc par le milieu de $[MN]$ et lui est perpendiculaire, c'est une médiatrice de ce segment.
Un raisonnement analogue prouve que $(AA_1)$ est la médiatrice de $[MP]$ et que $(BB_1)$ est celle de $[NP]$.
En se plaçant donc dans le triangle $MNP$ nous avons que les trois droites $(AA_1)$, $(BB_1)$ et $(CC_1)$ sont concourantes en tant que médiatrices. Ces droites étant les hauteurs de $ABC$ nous avons bien montré que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Droite d'Euler
Dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés et ne sont pas confondus. On appelle droite d'Euler la droite passant par ces trois points.
On ne démontrera pas cette propriété ici, sa difficulté étant au-delà du programme de 2nde. On pourra tout de même l'observer dans la figure ci-dessous en déplaçant les points.
Bissectrice
La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet, qui le partage en deux secteurs angulaires superposables.
La bissectrice d'un secteur angulaire repose sur l'axe de symétrie de ce secteur angulaire.
La bissectrice repose sur l'axe de symétrie car celle-ci est une demi-droite et non toute une droite.
Pour les besoins de la preuve d'une des propriétés suivantes nous avons besoin d'étudier la distance d'un point à une droite
On appelle distance d'un point à une droite la plus courte distance séparant ce point de n'importe quel point de la droite.
Déplacer le point M
La distance d'un point à une droite est la distance séparant ce point du pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point.
Déplacer les points A et M
Tout point de la bissectrice d'un angle est à égale distance des côtés de cet angle.
Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle tangent aux trois côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle.
Preuve de la propriété
Dans un triangle $ABC$ on note $I$ le point d'intersection des bissectrices de $\widehat{ABC}$ et de $\widehat{BAC}$.
On note de plus $I_1$ le projeté orthogonale de $I$ sur $[AB]$, $I_2$ le projeté orthogonal de $I$ sur $[AC]$ et $I_3$ celui sur $[BC]$.
Notre but est de montrer que $I$ est un point de la bissectrice de $\widehat{BCA}$.
Puisque $I$ est un point de la bissectrice de $\widehat{ABC}$, $I$ est à égale distance de $(AB)$ et de $(BC)$. Ainsi, $II_1=II_3$, par construction de $I_1$ et $I_3$.
De plus, $I$ est un point de la bissectrice de $\widehat{BAC}$, donc nous avons également que : $II_1 = II_2$.
Ainsi, $II_2=II_3$. On peut alors affirmer que $I$ est à égale distance de $(BC)$ et $(AC)$, ce qui veut dire que $I$ est un point de la bissectrice de $\widehat{BCA}$.
Les trois bissectrices de $ABC$ sont bien concourantes.
Puisque $II_1 = II_2 = II_3$, nous avons que $I_1$, $I_2$ et $I_3$ sont sur un même cercle. Chacun des rayons $[II_1]$, $[II_2]$ et $[II_3]$ étant perpendiculaire au côté du triangle, ceux-ci sont donc tangents à ce cercle.
Le cercle de centre $I$ et passant par $I_1$ est bien le cercle inscrit au triangle $ABC$.
Lorsque le triangle est isocèle certaines droites remarquables se confondent. Lorsqu'il est équilatéral toutes celles relatives à un même sommet son confondues.
Déplacer A, B et C pour que les droites remarquables se confondent