--> Un exemple d'enveloppe d'une famille de courbes Nous allons découvrir ici un exemple d'une famille de courbes qui va faire « apparaître » une autre courbe. 1Définition de la famille de courbes Dans un repère du plan, on considère le demi-cercle C\mathscr{C} de centre (0;1)(0\,;1) et de rayon 11 suivant : L'équation de C\mathscr{C} est : x2+(y−1)2=1x^2+(y-1)^2=1 pour tout x≥0x\geq0.

Pour tout nombre réel t∈]0;1]t\in]0\,;1], il existe deux points MtM_t et NtN_t de C\mathscr{C} d'abscisse tt. Pour chacun de ces points on construit la parabole passant par (0;0)(0\,;0) et dont le sommet est MtM_t ou NtN_t. On s'intéresse alors à l'ensemble de ces paraboles, pour toutes les valeurs de t∈]0;1]t\in]0\,;1]. C'est la famille de courbes que l'on considère ici.
Voici quelques éléments de cette famille représentés dans le repère : 2Enveloppe de la famille de courbes En représentant de plus en plus d'éléments de la famille, une courbe semble apparaître. Cette courbe semble être « tangente » aux courbes de la famille, c'est-à-dire qu'au point de contact entre un élément de la famille et cette courbe il y a une tangente commune. 3Mise en équation Nous allons ici conjecturer l'équation de l'enveloppe de la famille de courbes, puis déterminer les expressions algébriques des paraboles de la famille. On cherchera ensuite si il existe des tangentes parallèles entre l'enveloppe et une parabole quelconque de la famille de courbe. Ceci permettra de conclure. 3.1Équation de l'enveloppe En observant la famille de courbes, on peut conjecturer que l'enveloppe est une portion de parabole. Son sommet est sur l'axe des ordonnées en (0;2)(0\,;2) et elle semble couper l'axe des abscisses en (2;0)(2\,;0).
Son équation serait donc y=2−12x2y=2-\dfrac{1}{2}x^2 3.2Expression algébrique des paraboles constituant la famille de courbes Rappelons que l'équation du cercle considéré ici est : x2+(y−1)2=1x^2+(y-1)^2=1.
Ainsi, pour x=tx=t, on a :
t2+(y−1)2t^2+(y-1)^2 == 11
(y−1)2(y-1)^2 == 1−t21-t^2
y−1y-1 == ±1−t2\pm \sqrt{1-t^2}
yy == 1±1−t21\pm \sqrt{1-t^2}.
Les ordonnées des points du cercle d'abscisse tt sont donc 1+1−t21+ \sqrt{1-t^2} et 1−1−t21-\sqrt{1-t^2}. Intéressons-nous dans un premier temps au point le plus haut (t;1+1−t2)(t\,; 1+ \sqrt{1-t^2}).
On cherche l'expression algébrique Pt(x)P_t(x) de la parabole passant par (0;0)(0\,;0) et de sommet (t;1+1−t2)(t\,; 1+ \sqrt{1-t^2}). On sait que cette expression algébrique est de la forme Pt(x)=ax2+bx+cP_t(x)=ax^2+bx+c, avec c=0c=0 car la parabole passe par l'origine du repère. Il nous faut donc trouver aa et bb qui nécessairement dépendront de la valeur de tt. On les notes donc plutôt a(t)a(t) et b(t)b(t).
On a de plus, pour des raisons de symétrie que le polynôme s'annule pour x=2tx=2t. Ainsi :
Pt(2t)P_t(2t) == 00
a(t)(2t)2+b(t)2ta(t)(2t)^2+b(t)2t == 00
4t2a(t)+2tb(t)4t^2a(t)+2tb(t) == 00
2tb(t)2tb(t) == −4t2a(t)-4t^2a(t)
b(t)b(t) == −4t2a(t)2t\dfrac{-4t^2a(t)}{2t} car t≠0t\neq0
b(t)b(t) == −2ta(t)-2ta(t).
Par ailleurs, on a :
Pt(t)P_t(t) == 1+1−t21+\sqrt{1-t^2}
a(t)t2+b(t)ta(t)t^2+b(t)t == 1+1−t21+\sqrt{1-t^2}
a(t)t2−2ta(t)ta(t)t^2-2ta(t)t == 1+1−t21+\sqrt{1-t^2} car b(t)=−2ta(t)b(t)=-2ta(t)
a(t)t2−2a(t)t2a(t)t^2-2a(t)t^2 == 1+1−t21+\sqrt{1-t^2}
−a(t)t2-a(t)t^2 == 1+1−t21+\sqrt{1-t^2}
a(t)a(t) == −1+1−t2t2-\dfrac{1+\sqrt{1-t^2}}{t^2} car t≠0t\neq0.
On obtient alors :
b(t)b(t) == −2ta(t)-2ta(t)
== −2t×(−1+1−t2t2)-2t\times\left(-\dfrac{1+\sqrt{1-t^2}}{t^2}\right)
== 2×1+1−t2t2\times\dfrac{1+\sqrt{1-t^2}}{t}.
L'expression algébrique de la parabole supérieure est donc : Pt(x)=−1+1−t2t2x2+2×1+1−t2tx,P_t(x)=-\dfrac{1+\sqrt{1-t^2}}{t^2}x^2+2\times\dfrac{1+\sqrt{1-t^2}}{t}x, mais nous conserverons autant que possible, pour des raisons de lisibilité, l'écriture : Pt(x)=a(t)x2−2ta(t)x.P_t(x)=a(t)x^2-2ta(t)x. On remarque, par ailleurs, que pour la parabole inférieure a(t)=−1−1−t2t2a(t)=-\dfrac{1-\sqrt{1-t^2}}{t^2}, soit a(t)=−1+1−t2t2a(t)=\dfrac{-1+\sqrt{1-t^2}}{t^2}. 3.3Tangente parallèle entre paraboles et enveloppe Pour déterminer si il existe, pour une abscisse xx donnée, des tangentes parallèles entre une parabole quelconque de la famille de courbe et la candidate pour l'enveloppe, on résout :
Pt′(x)P'_t(x) == (2−12x2)′\left(2-\dfrac{1}{2}x^2\right)'
(a(t)x2−2ta(t)x)′\left( a(t)x^2-2ta(t)x \right)' == −x-x
2a(t)x−2ta(t)2a(t)x-2ta(t) == −x-x
2a(t)x+x2a(t)x+x == 2ta(t)2ta(t)
(2a(t)+1)x(2a(t)+1)x == 2ta(t)2ta(t)
xx == 2ta(t)2a(t)+1\dfrac{2ta(t)}{2a(t)+1}.
Ainsi, pour tout t∈]0;1]t\in]0\,;1], au point d'abscisse x0=2ta(t)2a(t)+1x_0=\dfrac{2ta(t)}{2a(t)+1}, toute parabole de la famille, obtenue pour le paramètre tt, admet une tangente en x0x_0 qui est parallèle à la tangente de la courbe d'équation y=2−12x2y=2-\dfrac{1}{2}x^2, également au point d'abscisse x0x_0.
C'est-à-dire, que l'enveloppe que nous cherchons est obtenue par une translation de la parabole d'équation y=2−12x2y=2-\dfrac{1}{2}x^2.
Nous allons montrer que l'enveloppe est exactement la courbe d'équation y=2−12x2y=2-\dfrac{1}{2}x^2, en vérifiant qu'une des paraboles de la famille possède un point commun avec elle.
En effet, pour t=1t=1, on a a(t)=a(1)=−1−1−1212a(t)=a(1)=-\dfrac{1-\sqrt{1-1^2}}{1^2} == −1-1 (on a le même résultat pour la deuxième formule de a(t)a(t) pour les paraboles inférieures).

Ainsi, x0=2ta(t)2a(t)+1x_0=\dfrac{2ta(t)}{2a(t)+1} == −2−2+1\dfrac{-2}{-2+1} == 22.

Or, Pt(x0)=P1(2)P_t(x_0)=P_1(2) == a(1)22−2×1×a(1)×2a(1)2^2-2\times1\times a(1)\times2 == −4+4-4+4 == 00.
Et pour la parabole candidate pour l'enveloppe : y=2−12x02y=2-\dfrac{1}{2}x_0^2 == 2−12×42-\dfrac{1}{2}\times 4 == 00.
Ainsi, pour t=1t=1, la courbe d'équation y=2−12x2y=2-\dfrac{1}{2}x^2 (qui est « parallèle » à l'enveloppe) et la parabole de la famille ont un point en commun, et ce point en commun est donc celui où ces courbes ont une tangente commune.

On peut alors conclure que l'enveloppe de la famille est bien la parabole d'équation y=2−12x2y=2-\dfrac{1}{2}x^2.