--> Espérance Voici quelques exemples où pour chacune des variables aléatoires considérées, on compare la valeur de l'espérance à la moyenne obtenue sur des simulations. Exemple 1 On considère le jeu suivant :

Tout participant doit payer $2$ euros pour jouer, puis il lance une pièce de monnaie équilibrée ;
si il obtient pile il gagne $10$ euros ;
si il obtient face il perd $8$ euros.

On établit tout d'abord la loi de probabilité de la variable aléatoire

X

qui correspond au gain du joueur (en comptant les

2

euros de participation).

Gain total	$-10$	$8$
Probabilité	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$

L'espérance de

X

vaut donc :

\text{E}(X)=\dfrac{1}{2}\times(-10)+\dfrac{1}{2}\times8

=

-1

.

Ainsi, en moyenne, un joueur perd

1

euro par partie.

L'algorithme ci-dessous simule

1\,000

parties de ce jeu et affiche le gain moyen.

xxxxxxxxxx
 
from random import*
gain = 0
for i in range(0,1000):
    gain = gain-2
    piece = randint(0,1)
    if piece == 1:
        gain = gain+10
    else:
        gain = gain-8
print(gain/1000.0)

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Exemple 2 Un joueur se rend dans un casino pour y jouer à la roulette. Ce jeu comporte

36

cases numérotées dans lesquelles une bille peut tomber à chaque partie.
Parmi les

38

résultats possibles, le joueur mise

10

euros sur six numéros consécutifs de la roulette. Si la bille tombe sur l'un des numéros choisis, le joueur récupère sa mise plus son quadruple, sinon il perd sa mise.
En notant

X

le gain du joueur on a :

Gain	$-10$	$50$
Probabilité	$\dfrac{32}{38}$	$\dfrac{6}{38}$

L'espérance de

X

vaut donc :

\text{E}(X)=\dfrac{32}{38}\times(-10)+\dfrac{6}{38}\times50

\approx

-0,53

.

Ainsi, en moyenne, un joueur perd

0,53

euro par partie.

L'algorithme ci-dessous simule

1\,000

parties et affiche le gain totale et le gain moyen.

xxxxxxxxxx
 
from random import*
gain = 0
for i in range(0,1000):
    num = randint(1,38)
    if num >=1 and num <=6:
        gain = gain+50
    else:
        gain = gain-10
print(gain)
print(gain/1000.0)

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