Une question du sujet de concours à l'École Préparatoire passé par Évariste Galois en 1829 Évariste Gallois, à la veille de ses dix huits ans, (après un double échec aux concours d'entrée à l'École Polytechnique), se présente au concours de l'École Préparatoire.
Le sujet de mathématiques comporte deux questions. Nous allons étudier, avec les méthodes enseignées actuellement la deuxième. Son intitulé est :
Exposer sur l'équation générale des courbes du second degré la méthode qui sert à trouver les asymptotes, directement et sans avoir besoin d'effectuer une transformation de coordonnées. On appliquera ensuite cette méthode à la courbe : y2+3x24xy+x+2y1,y^2+3x^2-4xy+x+2y-1, dont il faudra d'ailleurs construire les lignes ou points remarquables tels le centre, les diamètres, les axes, etc.
Nous ne pourrons pas exposer ici la solution proposée par Galois car elle utilise des notions en dehors des programmes de terminale actuels. Nous allons tout de même pouvoir déterminer les équations des asymptotes avec des méthodes habituelles pour nous. 1Expression de yy en fonction de xx Tout d'abord notons que l'énoncé parle en fait de la courbe d'équation y2+3x24xy+x+2y1=0y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0 que l'on peut tracer sur Geogebra en mettant bien le symbole de multiplication * entre le xx et yy de 4xy-4xy.
On va considèrer que cette équation est un polynôme du second degré en yy. En modifiant l'expression on obtient : y2+(24x)y+3x2+x1=0.y^2+(2-4x)y+3x^2+x-1=0. On peut alors calculer le discriminant de cette expression :

Δ=(24x)24(3x2+x1)\Delta=(2-4x)^2-4(3x^2+x-1) == 4x220x+8=4(x25x+2)4x^2-20x+8=4(x^2-5x+2).

On voit alors qu'on peut exprimer yy en fonction de xx si et seulement si x25x+2>0x^2-5x+2>0. Pour trouver les valeurs de xx correspondantes, il nous faut calculer le discriminant de ce nouveau polynôme :

δ=(5)24×2=17>0\delta = (-5)^2-4\times2=17>0.

Ce polynôme possède deux racines x1=5172x_1=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2} et x2=5+172x_2=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}.

Ainsi, l'équation y2+(24x)y+3x2+x1=0y^2+(2-4x)y+3x^2+x-1=0 possède deux solutions yy (en fonction de xx) lorsque x];x1][x2;+[x\in]-\infty;\, x_1]\cup[x_2;\,+\infty[, et elles valent :
y1y_1 == 2+4x4(x25x+2)2\dfrac{-2+4x-\sqrt{4(x^2-5x+2)}}{2}
== 4x22x25x+22\dfrac{4x-2-2\sqrt{x^2-5x+2}}{2}
== 2x1x25x+22x-1-\sqrt{x^2-5x+2}.


y2=2x1+x25x+2y_2=2x-1+\sqrt{x^2-5x+2}.

Ainsi, la courbe d'équation y2+3x24xy+x+2y1=0y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0 est obtenue par la réunion des courbes des deux fonctions ff et gg définies sur ];5172][5+172;+[\left]-\infty;\, \dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5+\sqrt{17}}{2};\,+\infty\right[ par :

f(x)=2x1x25x+2f(x)=2x-1-\sqrt{x^2-5x+2} et g(x)=2x1+x25x+2g(x)=2x-1+\sqrt{x^2-5x+2}. 2Notion d'asymptote oblique En cours nous avons vu les définitions d'asymptotes horizontales et verticales à une courbe représentative d'une fonction grâce à la notion de limite. Mais il peut exister des droites « obliques » d'équation y=ax+by=ax+b, avec a0a\neq0 qui sont asymptotes à une courbe. En voici la définition : Definition 1
Soit ff une fonction définie sur intervalle de la forme [a;+[[a;\,+\infty[. On note C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère du plan.
Soient aa et bb deux nombres réels tels que : limx+f(x)(ax+b)=0.\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-(ax+b)=0. On dit alors que la droite d'équation y=ax+by=ax+b est asymptote oblique à C\mathcal{C} en ++\infty.
Remark 1 Dans une telle situation la distance entre la courbe C\mathcal{C} et la droite d'équation y=ax+by=ax+b tend vers 00, ainsi visuellement la courbe et la droite semble se confondre pour xx assez grand.
02468−2−4−6−82468−2−4−6−8
Exemple 1 Soit ff la fonction définie sur R3\mathbb{R}-{-3} par f(x)=x+21x+3f(x)=x+2-\dfrac{1}{x+3}.
La droite d'équation y=x+2y=x+2 est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction ff.

En effet : limx+f(x)(x+2)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-(x+2)} == limx+1x3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}-\dfrac{1}{x-3}} == 00. Remark 2 On peut définir de manière équivalente la notion d'asymptote oblique en -\infty à une courbe. 3Réponse à la question posée Revenons aux expressions algébriques de nos deux fonctions ff et gg qui permettent de tracer la courbe d'équation y2+3x24xy+x+2y1=0y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0 f(x)=2x1x25x+2f(x)=2x-1-\sqrt{x^2-5x+2} et g(x)=2x1+x25x+2g(x)=2x-1+\sqrt{x^2-5x+2}.

L'objectif est de modifier l'expression de la racine carrée pour faire apparaître une expression « linéaire » qui pourrait nous aider.

On pourrait dans un premier temps essayer de mettre x2x^2 en facteur sous le radical :

x25x+2\sqrt{x^2-5x+2} == x2(15x+2x2)\sqrt{x^2\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)} == x15x+2x2|x|\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}.

Puisque, limx+15x+2x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}} == 10+01-0+0 == 11, une première idée serait de se dire que lorsque xx est grand, l'expression x15x+2x2|x|\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}} se comporte comme xx. Essayons donc de déterminer la limite suivante, pour vérifier ou non cette intuition :
limx+x15x+2x2x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}|x|\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}-x} == limx+x15x+2x2x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}-x}
== limx+(x15x+2x2x)x15x+2x2+xx15x+2x2+x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}-x\right)\dfrac{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}}
== limx+(x15x+2x2)2x2x15x+2x2+x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left(x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}\right)^2-x^2}{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}}
== limx+x2(15x+2x2)x2x15x+2x2+x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)-x^2}{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}}
== limx+5x+2x15x+2x2+x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-5x+2}{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}}
== limx+x(5+2x)x(15x+2x2+1)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\left(-5+\dfrac{2}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+1\right)}}
== limx+5+2x15x+2x2+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-5+\dfrac{2}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+1}}
== 52-\dfrac{5}{2}.
Notre idée initiale était donc incorrecte car lorsque xx est grand, l'expression x15x+2x2|x|\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}} se comporte plutôt comme x+52x+\dfrac{5}{2}.

Pour pouvoir déterminer les asymptotes obliques à notre courbe nous allons en fait utiliser la même transformation que Galois dans sa copie, à savoir celle associée à la forme canonique de l'expression polynomiale sous le radical.

x25x+2\sqrt{x^2-5x+2} == (x52)2174\sqrt{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{17}{4}} == (x52)2(1174(x52)2)\sqrt{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2\left(1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2} \right)} == x521174(x52)2\left|x-\dfrac{5}{2} \right| \sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2}}.

On peut alors démontrer, à nouveau avec la méthode du produit par la quantité conjugué, que lorsque xx tend vers ++\infty, x25x+2\sqrt{x^2-5x+2} se comporte comme x52x-\dfrac{5}{2} et lorsque xx tend vers -\infty, x25x+2\sqrt{x^2-5x+2} se comporte comme x+52-x+\dfrac{5}{2}.

En prenant en considération l'expression algébrique de ff, f(x)=2x1x25x+2f(x)=2x-1-\sqrt{x^2-5x+2} ,nous allons donc démontrer que la droite d'équation y=2x1x+52y=2x-1-x+\dfrac{5}{2}, c'est-à-dire y=x+32y=x+\dfrac{3}{2}, est asymptote oblique en ++\infty, puis que la droite d'équation y=2x1+x52y=2x-1+x-\dfrac{5}{2}, c'est-à-dire y=3x72y=3x-\dfrac{7}{2}, est asymptote oblique en -\infty.
limx+f(x)(x+32)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)} == limx+2x1x25x+2x32\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}2x-1-\sqrt{x^2-5x+2}-x-\dfrac{3}{2}}
== limx+x52x25x+2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x-\dfrac{5}{2}-\sqrt{x^2-5x+2}}
== limx+(x52x25x+2)x52+x25x+2x52+x25x+2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x-\dfrac{5}{2}-\sqrt{x^2-5x+2}\right)\dfrac{x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}{x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}
== limx+(x52)2(x25x+2)x52+x25x+2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-(x^2-5x+2)}{x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}
== limx+174x52+x25x+2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}.
Or, limx+x52+x25x+2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}} == ++\infty, donc on a bien limx+f(x)(x+32)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)} == 00 et la droite d'équation y=x+32y=x+\dfrac{3}{2} est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction ff en ++\infty.

Pour la deuxième asymptote d'équation y=3x72y=3x-\dfrac{7}{2}, on effectue les calculs suivants :
limxf(x)(3x72)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)-\left( 3x-\dfrac{7}{2} \right)} == limx2x1x25x+23x+72\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}2x-1-\sqrt{x^2-5x+2}-3x+\dfrac{7}{2}}
== limxx+52x25x+2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}-x+\dfrac{5}{2}-\sqrt{x^2-5x+2}}
== limx(x+52x25x+2)x+52+x25x+2x+52+x25x+2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(-x+\dfrac{5}{2}-\sqrt{x^2-5x+2}\right)\dfrac{-x+\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}{-x+\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}
== limx(x+52)2(x25x+2)x+52+x25x+2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\left(-x+\dfrac{5}{2}\right)^2-(x^2-5x+2)}{-x+\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}
== limx174(x52)+x521174(x52)2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)+\left|x-\dfrac{5}{2} \right|\sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2} \right)^2}}}}
== limx174(x52)+(x+52)1174(x52)2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)+\left(-x+\dfrac{5}{2} \right)\sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2} \right)^2}}}}
== limx174(x52)(x52)1174(x52)2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)-\left(x-\dfrac{5}{2} \right)\sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2} \right)^2}}}}
== limx174(x52)(11174(x52)2)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)\left(-1-\sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2} \right)^2}}\right)}}.
On a alors que le deuxième facteur du dénominateur converge vers 2-2 et ainsi le dénominateur diverge vers ++\infty. On peut alors conclure que : limxf(x)(3x72)=0.\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)-\left( 3x-\dfrac{7}{2} \right)}=0. La droite d'équation y=3x72y=3x-\dfrac{7}{2} est bien asymptote oblique à la courbe de la fonction ff en -\infty.

On procède exactement de même pour démontrer que la droite d'équation y=x+32y=x+\dfrac{3}{2} est asymptote oblique à la courbe de la fonction gg en -\infty et celle d'équation y=3x72y=3x-\dfrac{7}{2} en ++\infty.

En réunissant les courbes des fonctions ff et gg on obtient la courbe d'équation y2+3x24xy+x+2y1=0y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0. Dans le repère ci-dessous, les asymptotes ont également été tracées.
02468−2−4−6−82468−2−4−6−8
On remarque que ce que l'énoncé appelle le « centre » de la courbe correspond au point d'intersection entre les asymptotes. On peut en déterminer les coordonnées en résolvant l'équation ci-dessous :
3x723x-\dfrac{7}{2} == x+32x+\dfrac{3}{2}
2x2x == 102\dfrac{10}{2}
xx == 52\dfrac{5}{2}.
En remplaçant xx par 52\dfrac{5}{2} dans une des deux équations d'asymptote précédentes on obtient que (52;4)\left(\dfrac{5}{2};\,4 \right) est le « centre » de la courbe. 4Sur les transformations des coordonnées évoquées par l'énoncé Dans un repère du plan, deux droites non parallèles peuvent définir un nouveau repère.
02468−2−4−6−82468−2−4−6−8
Dans le graphique précédent les deux droites tracées en bleu peuvent être un nouveau repère dans lequel tout point de coordonnées (x;y)(x; \,y) dans le premier repère possède des coordonnées (X;Y)(X;\,Y) dans le deuxième.

Chaque axe du premier repère subit une translation et une rotation pour être transformé en un axe du nouveau repère. 4.1Formules associées à une translation Soit M(x;y)M(x\,;\,y) un pointn dans un repère R1R_1 du plan.
On considère les deux droites d'équations y=ay=a et x=bx=b qui forment un nouveau repère de ce plan R2R_2 obtenu par translation de R1R_1 par le vecteur (b;a)(b\,;a).

En effet, les coordonnées de l'origine de R2R_2 dans R1R_1 sont (b;a)(b\,;\,a) et les coordonnées de l'origine de R1R_1 dans R2R_2 sont (b;a)(-b\,;-a)
Ainsi, le point MM a alors pour coordonnées dans R2R_2 : (xb;ya)(x-b\,;\,y-a).
On a donc les relations suivantes : {X=xbY=ya\left\{ \begin{array}{rcl} X & = & x-b \\ Y & = & y-a \end{array}\right.
02468−2−4−6−82468−2−4−6−8
x=bx=b
y=ay=a
Exemple 2 Soit ff la fonction définie sur R\{3}\mathbb{R}\backslash\{3\} par f(x)=4+1x3f(x)=4+\dfrac{1}{x-3}.
Soit d1d_1 et d2d_2 les droites d'équation respective y=4y=4 et x=3x=3 dans un repère R1R_1 du plan (ce sont en fait les asymptotes à la courbe représentative de la fonction ff).
Tout point M(x;y)M(x\,;y) de R1R_1 a pour coordonnées dans le repère R2R_2 constitué des axes d1d_1 et d2d_2 {X=x3Y=y4\left\{ \begin{array}{rcl} X & = & x-3 \\ Y & = & y-4 \end{array}\right. Donc la courbe représentative de ff dans R1R_1, qui a pour équation y=f(x)y=f(x), possède comme équation dans R2R_2 :
yy == f(x)f(x)
Y+4Y+4 == f(X+3)f(X+3)
Y+4Y+4 == 4+1X+334+\dfrac{1}{X+3-3}
YY == 1X\dfrac{1}{X}.
Ainsi, on reconnaît l'équation classique de l'hyperbole qui représente la fonction inverse. 4.2Formules associées à une rotation de centre OO Soit M(x;y)M(x\,;y) un point d'un repère du plan. Soit θR\theta\in\mathbb{R}. En notant M(x;y)M'(x'\,;y') l'image de MM dans la rotation de centre l'origine du repère OO et d'angle θ\theta, on a : {x=cos(θ)xsin(θ)yy=sin(θ)x+cos(θ)y\left\{ \begin{array}{rcl} x' & = & \cos(\theta)x-\sin(\theta)y \\ y' & = & \sin(\theta)x+\cos(\theta)y \end{array}\right. 4.3Angle entre le coefficient directeur d'une droite et l'axe des abscisses Soit une droite dd d'équation réduite y=ax+by=ax+b, en appliquant les formules de trigonométrie du collège on obtient que l'angle α\alpha entre dd et l'axe des abscisses vérifie a=tan(α)a=\tan(\alpha).
2468−2−4−6−82468−2−4−6−8
A
B
O
α\alpha
Dans le triangle rectangle AOBAOB, on a tan(α)=OBOA\tan(\alpha)=\dfrac{OB}{OA} == bba\dfrac{b}{\frac{b}{a}} == aa. 4.4Passage d'un repère orthonormé à un repère quelconque On peut faire subir une rotation à l'axe des ordonnées d'un repère orthonormé pour le transformer en un repère où l'angle entre les deux axes n'est pas droit.
2468−2−4−6−82468−2−4−6−8
M
B
C
D
O
α\alpha
α\alpha
En notant (x;y)(x\,;y) les coordonnées de MM dans le première repère et (x;y)(x'\,;y') dans le deuxième, on obtient, à l'aide des formules de trigonométrie : {x=xytan(α)y=ysin(θ)\left\{ \begin{array}{rcl} x' & = & x-\dfrac{y}{\tan(\alpha)} \\ y' & = & \dfrac{y}{\sin(\theta)} \end{array}\right. 4.5Changements de repères successifs Dans le cadre du sujet du concours de Galois, on pourrait enchaîner les changements de repère pour essayer de transformer l'équation initiale en une équation plus simple.
Le premier changement de repère serait une translation vers le centre de l'asymptote (52;4)\left(\dfrac{5}{2} \,; 4 \right).
Le deuxième serait une rotation de tout le repère de π4\dfrac{\pi}{4}, pour faire correspondre l'axe des abscisses avec la droite d'équation y=x+32y=x+\dfrac{3}{2}. Le coefficient directeur valant 11 l'angle avec l'axe des abscisse vaut arctan(1)=π4\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
Le troisième changement de repère serait une rotation de l'axe des ordonnées avec un angle de arctan(3)\arctan(3) avec l'axe des abscisses car la deuxième asymptote a pour coefficient directeur 33.
Tous ces changements de repère finissent après des calculs un peu complexe à donner la relation suivante, entre les coordonnées d'un point (x;y)(x\,;y) du repère initial, aux coordonnées (X;Y)(X\,;Y) de ce point dans le dernier repère : {x=22X+255Y+676y=22X+52Y+253\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\sqrt{2}}{2}X+\dfrac{2}{5}\sqrt{5}Y+\dfrac{67}{6} \\ y & = & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}X+\dfrac{5}{2}Y+\dfrac{25}{3} \end{array}\right. Il faudrait alors remplacer xx et yy à l'aide de ces formules dans l'équation de la courbe y2+3x24xy+x+2y1=0y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0. Mais ce calcul est très fastidieux et nous comprenons que l'énoncé du concours demande de ne pas effectuer de transformation de coordonnées.