Une question du sujet de concours à l'École Préparatoire passé par Évariste Galois en 1829 Évariste Gallois, à la veille de ses dix huits ans, (après un double échec aux concours d'entrée à l'École Polytechnique), se présente au concours de l'École Préparatoire.
Le sujet de mathématiques comporte deux questions. Nous allons étudier, avec les méthodes enseignées actuellement la deuxième. Son intitulé est :
Exposer sur l'équation générale des courbes du second degré la méthode qui sert à trouver les asymptotes, directement et sans avoir besoin d'effectuer une transformation de coordonnées. On appliquera ensuite cette méthode à la courbe : $$y^2+3x^2-4xy+x+2y-1,$$ dont il faudra d'ailleurs construire les lignes ou points remarquables tels le centre, les diamètres, les axes, etc.
Nous ne pourrons pas exposer ici la solution proposée par Galois car elle utilise des notions en dehors des programmes de terminale actuels. Nous allons tout de même pouvoir déterminer les équations des asymptotes avec des méthodes habituelles pour nous. Expression de $y$ en fonction de $x$ Tout d'abord notons que l'énoncé parle en fait de la courbe d'équation $$y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0$$ que l'on peut tracer sur Geogebra en mettant bien le symbole de multiplication * entre le $x$ et $y$ de $-4xy$.
On va considèrer que cette équation est un polynôme du second degré en $y$. En modifiant l'expression on obtient : $$y^2+(2-4x)y+3x^2+x-1=0.$$ On peut alors calculer le discriminant de cette expression :

$\Delta=(2-4x)^2-4(3x^2+x-1)$ $=$ $4x^2-20x+8=4(x^2-5x+2)$.

On voit alors qu'on peut exprimer $y$ en fonction de $x$ si et seulement si $x^2-5x+2>0$. Pour trouver les valeurs de $x$ correspondantes, il nous faut calculer le discriminant de ce nouveau polynôme :

$\delta = (-5)^2-4\times2=17>0$.

Ce polynôme possède deux racines $x_1=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$.

Ainsi, l'équation $y^2+(2-4x)y+3x^2+x-1=0$ possède deux solutions $y$ (en fonction de $x$) lorsque $x\in]-\infty;\, x_1]\cup[x_2;\,+\infty[$, et elles valent :
$y_1$ $=$ $\dfrac{-2+4x-\sqrt{4(x^2-5x+2)}}{2}$
$=$ $\dfrac{4x-2-2\sqrt{x^2-5x+2}}{2}$
$=$ $2x-1-\sqrt{x^2-5x+2}$.


$y_2=2x-1+\sqrt{x^2-5x+2}$.

Ainsi, la courbe d'équation $$y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0$$ est obtenue par la réunion des courbes des deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\left]-\infty;\, \dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5+\sqrt{17}}{2};\,+\infty\right[$ par :

$f(x)=2x-1-\sqrt{x^2-5x+2}$ et $g(x)=2x-1+\sqrt{x^2-5x+2}$. Notion d'asymptote oblique En cours nous avons vu les définitions d'asymptotes horizontales et verticales à une courbe représentative d'une fonction grâce à la notion de limite. Mais il peut exister des droites « obliques » d'équation $y=ax+b$, avec $a\neq0$ qui sont asymptotes à une courbe. En voici la définition :
Soit $f$ une fonction définie sur intervalle de la forme $[a;\,+\infty[$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-(ax+b)=0.$$ On dit alors que la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $+\infty$. Dans une telle situation la distance entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $y=ax+b$ tend vers $0$, ainsi visuellement la courbe et la droite semble se confondre pour $x$ assez grand.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}-{-3}$ par $f(x)=x+2-\dfrac{1}{x+3}$.
La droite d'équation $y=x+2$ est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction $f$.

En effet : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-(x+2)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}-\dfrac{1}{x-3}}$ $=$ $0$. On peut définir de manière équivalente la notion d'asymptote oblique en $-\infty$ à une courbe. Réponse à la question posée Revenons aux expressions algébriques de nos deux fonctions $f$ et $g$ qui permettent de tracer la courbe d'équation $$y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0$$ $f(x)=2x-1-\sqrt{x^2-5x+2}$ et $g(x)=2x-1+\sqrt{x^2-5x+2}$.

L'objectif est de modifier l'expression de la racine carrée pour faire apparaître une expression « linéaire » qui pourrait nous aider.

On pourrait dans un premier temps essayer de mettre $x^2$ en facteur sous le radical :

$\sqrt{x^2-5x+2}$ $=$ $\sqrt{x^2\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}$ $=$ $|x|\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}$.

Puisque, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}$ $=$ $1-0+0$ $=$ $1$, une première idée serait de se dire que lorsque $x$ est grand, l'expression $|x|\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}$ se comporte comme $x$. Essayons donc de déterminer la limite suivante, pour vérifier ou non cette intuition :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}|x|\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}-x}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}-x}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}-x\right)\dfrac{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left(x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}\right)^2-x^2}{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)-x^2}{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-5x+2}{x\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+x}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\left(-5+\dfrac{2}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+1\right)}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-5+\dfrac{2}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+1}}$
$=$ $-\dfrac{5}{2}$.
Notre idée initiale était donc incorrecte car lorsque $x$ est grand, l'expression $|x|\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^2}}$ se comporte plutôt comme $x+\dfrac{5}{2}$.

Pour pouvoir déterminer les asymptotes obliques à notre courbe nous allons en fait utiliser la même transformation que Galois dans sa copie, à savoir celle associée à la forme canonique de l'expression polynomiale sous le radical.

$\sqrt{x^2-5x+2}$ $=$ $\sqrt{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{17}{4}}$ $=$ $\sqrt{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2\left(1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2} \right)}$ $=$ $\left|x-\dfrac{5}{2} \right| \sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2}}$.

On peut alors démontrer, à nouveau avec la méthode du produit par la quantité conjugué, que lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $\sqrt{x^2-5x+2}$ se comporte comme $x-\dfrac{5}{2}$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$, $\sqrt{x^2-5x+2}$ se comporte comme $-x+\dfrac{5}{2}$.

En prenant en considération l'expression algébrique de $f$, $f(x)=2x-1-\sqrt{x^2-5x+2}$ ,nous allons donc démontrer que la droite d'équation $y=2x-1-x+\dfrac{5}{2}$, c'est-à-dire $y=x+\dfrac{3}{2}$, est asymptote oblique en $+\infty$, puis que la droite d'équation $y=2x-1+x-\dfrac{5}{2}$, c'est-à-dire $y=3x-\dfrac{7}{2}$, est asymptote oblique en $-\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}2x-1-\sqrt{x^2-5x+2}-x-\dfrac{3}{2}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x-\dfrac{5}{2}-\sqrt{x^2-5x+2}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x-\dfrac{5}{2}-\sqrt{x^2-5x+2}\right)\dfrac{x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}{x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-(x^2-5x+2)}{x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}$.
Or, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x-\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}$ $=$ $+\infty$, donc on a bien $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)}$ $=$ $0$ et la droite d'équation $y=x+\dfrac{3}{2}$ est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction $f$ en $+\infty$.

Pour la deuxième asymptote d'équation $y=3x-\dfrac{7}{2}$, on effectue les calculs suivants :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)-\left( 3x-\dfrac{7}{2} \right)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}2x-1-\sqrt{x^2-5x+2}-3x+\dfrac{7}{2}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}-x+\dfrac{5}{2}-\sqrt{x^2-5x+2}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(-x+\dfrac{5}{2}-\sqrt{x^2-5x+2}\right)\dfrac{-x+\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}{-x+\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\left(-x+\dfrac{5}{2}\right)^2-(x^2-5x+2)}{-x+\dfrac{5}{2}+\sqrt{x^2-5x+2}}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)+\left|x-\dfrac{5}{2} \right|\sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2} \right)^2}}}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)+\left(-x+\dfrac{5}{2} \right)\sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2} \right)^2}}}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)-\left(x-\dfrac{5}{2} \right)\sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2} \right)^2}}}}$
$=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{17}{4}}{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)\left(-1-\sqrt{1-\dfrac{17}{4\left(x-\dfrac{5}{2} \right)^2}}\right)}}$.
On a alors que le deuxième facteur du dénominateur converge vers $-2$ et ainsi le dénominateur diverge vers $+\infty$. On peut alors conclure que : $$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)-\left( 3x-\dfrac{7}{2} \right)}=0.$$ La droite d'équation $y=3x-\dfrac{7}{2}$ est bien asymptote oblique à la courbe de la fonction $f$ en $-\infty$.

On procède exactement de même pour démontrer que la droite d'équation $y=x+\dfrac{3}{2}$ est asymptote oblique à la courbe de la fonction $g$ en $-\infty$ et celle d'équation $y=3x-\dfrac{7}{2}$ en $+\infty$.

En réunissant les courbes des fonctions $f$ et $g$ on obtient la courbe d'équation $y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0$. Dans le repère ci-dessous, les asymptotes ont également été tracées.
On remarque que ce que l'énoncé appelle le « centre » de la courbe correspond au point d'intersection entre les asymptotes. On peut en déterminer les coordonnées en résolvant l'équation ci-dessous :
$3x-\dfrac{7}{2}$ $=$ $x+\dfrac{3}{2}$
$2x$ $=$ $\dfrac{10}{2}$
$x$ $=$ $\dfrac{5}{2}$.
En remplaçant $x$ par $\dfrac{5}{2}$ dans une des deux équations d'asymptote précédentes on obtient que $\left(\dfrac{5}{2};\,4 \right)$ est le « centre » de la courbe. Sur les transformations des coordonnées évoquées par l'énoncé Dans un repère du plan, deux droites non parallèles peuvent définir un nouveau repère.
Dans le graphique précédent les deux droites tracées en bleu peuvent être un nouveau repère dans lequel tout point de coordonnées $(x; \,y)$ dans le premier repère possède des coordonnées $(X;\,Y)$ dans le deuxième.

Chaque axe du premier repère subit une translation et une rotation pour être transformé en un axe du nouveau repère. Formules associées à une translation Soit $M(x\,;\,y)$ un pointn dans un repère $R_1$ du plan.
On considère les deux droites d'équations $y=a$ et $x=b$ qui forment un nouveau repère de ce plan $R_2$ obtenu par translation de $R_1$ par le vecteur $(b\,;a)$.

En effet, les coordonnées de l'origine de $R_2$ dans $R_1$ sont $(b\,;\,a)$ et les coordonnées de l'origine de $R_1$ dans $R_2$ sont $(-b\,;-a)$
Ainsi, le point $M$ a alors pour coordonnées dans $R_2$ : $(x-b\,;\,y-a)$.
On a donc les relations suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} X & = & x-b \\ Y & = & y-a \end{array}\right.$$
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash\{3\}$ par $f(x)=4+\dfrac{1}{x-3}$.
Soit $d_1$ et $d_2$ les droites d'équation respective $y=4$ et $x=3$ dans un repère $R_1$ du plan (ce sont en fait les asymptotes à la courbe représentative de la fonction $f$).
Tout point $M(x\,;y)$ de $R_1$ a pour coordonnées dans le repère $R_2$ constitué des axes $d_1$ et $d_2$ $$\left\{ \begin{array}{rcl} X & = & x-3 \\ Y & = & y-4 \end{array}\right.$$ Donc la courbe représentative de $f$ dans $R_1$, qui a pour équation $y=f(x)$, possède comme équation dans $R_2$ :
$y$ $=$ $f(x)$
$Y+4$ $=$ $f(X+3)$
$Y+4$ $=$ $4+\dfrac{1}{X+3-3}$
$Y$ $=$ $\dfrac{1}{X}$.
Ainsi, on reconnaît l'équation classique de l'hyperbole qui représente la fonction inverse. Formules associées à une rotation de centre $O$ Soit $M(x\,;y)$ un point d'un repère du plan. Soit $\theta\in\mathbb{R}$. En notant $M'(x'\,;y')$ l'image de $M$ dans la rotation de centre l'origine du repère $O$ et d'angle $\theta$, on a : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x' & = & \cos(\theta)x-\sin(\theta)y \\ y' & = & \sin(\theta)x+\cos(\theta)y \end{array}\right.$$ Angle entre le coefficient directeur d'une droite et l'axe des abscisses Soit une droite $d$ d'équation réduite $y=ax+b$, en appliquant les formules de trigonométrie du collège on obtient que l'angle $\alpha$ entre $d$ et l'axe des abscisses vérifie $a=\tan(\alpha)$.
Dans le triangle rectangle $AOB$, on a $\tan(\alpha)=\dfrac{OB}{OA}$ $=$ $\dfrac{b}{\frac{b}{a}}$ $=$ $a$. Passage d'un repère orthonormé à un repère quelconque On peut faire subir une rotation à l'axe des ordonnées d'un repère orthonormé pour le transformer en un repère où l'angle entre les deux axes n'est pas droit.
En notant $(x\,;y)$ les coordonnées de $M$ dans le première repère et $(x'\,;y')$ dans le deuxième, on obtient, à l'aide des formules de trigonométrie : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x' & = & x-\dfrac{y}{\tan(\alpha)} \\ y' & = & \dfrac{y}{\sin(\theta)} \end{array}\right.$$ Changements de repères successifs Dans le cadre du sujet du concours de Galois, on pourrait enchaîner les changements de repère pour essayer de transformer l'équation initiale en une équation plus simple.
Le premier changement de repère serait une translation vers le centre de l'asymptote $\left(\dfrac{5}{2} \,; 4 \right)$.
Le deuxième serait une rotation de tout le repère de $\dfrac{\pi}{4}$, pour faire correspondre l'axe des abscisses avec la droite d'équation $y=x+\dfrac{3}{2}$. Le coefficient directeur valant $1$ l'angle avec l'axe des abscisse vaut $\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}$.
Le troisième changement de repère serait une rotation de l'axe des ordonnées avec un angle de $\arctan(3)$ avec l'axe des abscisses car la deuxième asymptote a pour coefficient directeur $3$.
Tous ces changements de repère finissent après des calculs un peu complexe à donner la relation suivante, entre les coordonnées d'un point $(x\,;y)$ du repère initial, aux coordonnées $(X\,;Y)$ de ce point dans le dernier repère : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\sqrt{2}}{2}X+\dfrac{2}{5}\sqrt{5}Y+\dfrac{67}{6} \\ y & = & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}X+\dfrac{5}{2}Y+\dfrac{25}{3} \end{array}\right.$$ Il faudrait alors remplacer $x$ et $y$ à l'aide de ces formules dans l'équation de la courbe $y^2+3x^2-4xy+x+2y-1=0$. Mais ce calcul est très fastidieux et nous comprenons que l'énoncé du concours demande de ne pas effectuer de transformation de coordonnées.