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Fonctions réciproquesSymétrie par rapport à la première bissectrice du repère
Soient $A(x\,;y)$ et $B(y\,;x)$ deux points d'un repère orthogonal.
Les coordonnées de $M$ milieu de $[AB]$ vérifient :
$x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ $=$ $\dfrac{x+y}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$ $=$ $\dfrac{x+y}{2}$.
Ainsi, $x_M=y_M$ et $M$ appartient à la droite d'équation $y=x$.
Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}$ dirige la droite d'équation $y=x$.
De plus $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}y-x \\ x-y \end{pmatrix}$.
Ainsi : $\vec{u}\cdot\overrightarrow{AB}$ $=$ $1\times(y-x)+1\times(x-y)$ $=$ $0$.
La droite $(AB)$ et la droite d'équation $y=x$ sont perpendiculaires.
Les points $A$ et $B$ sont bien symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.
Fonctions réciproques
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Si il existe une fonction $g$ telle que pour tout nombre $x$ de son ensemble de définition $f(g(x))=x$, ou pour tout $x\in I$, $g(f(x))=x$, alors $f$ et $g$ sont dites réciproques l'une de l'autre.
La fonction carrée et la fonction racine carrée sont des fonctions réciproques sur $[0\,;+\infty[$.
En effet, pour tout $x\geq0$, $(\sqrt{x})^2$ $=$ $x$, et $\sqrt{x^2}$ $=$ $|x|$ $=$ $x$, car $x\geq0$.
Les fonctions logarithme népérien et exponentielles sont des fonctions réciproques :
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\ln(\text{e}^{x})$ $=$ $x$.
Pour tout $x\in]0\,;+\infty[$, $\text{e}^{\ln(x)}$ $=$ $x$.
La fonction inverse est sa propre réciproque : pour tout $x\neq0$, $\dfrac{1}{\frac{1}{x}}$ $=$ $\dfrac{x}{1}$ $=$ $x$.
Conséquences graphiques
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réciproques dont on note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives dans un repère orthogonale du plan.
$\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont alors symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.
Preuve.
On note $D_f$ et $D_g$ les ensembles de définitions.
Soit $x\in D_f$, et $M(x\,;f(x))$ le point de $\mathscr{C}_f$ correspondant.
Le point $M'(f(x)\,;x)$ appartient à l'image de $\mathscr{C}_f$ dans la symétrie d'axe la première bissectrice du plan.
Or, puisque $x$ $=$ $g(f(x))$, $M'(f(x)\,;x)$ $=$ $(f(x)\,;g(f(x))$ est un point de $\mathscr{C}_g$.
Réciproquement, on démontre de la même façon que l'image de tout point de $\mathscr{C}_g$ dans la même symétrie est un point de $\mathscr{C}_f$.
Ainsi, $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont bien symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.
IllustrationsFonctions carrée et racine carréeFonctions exponentielles et logarithme népérienFonction inverseFonction affine $x\mapsto 2x-1$Fonctions tangente et arctangente