--> Fonctions réciproques 1Symétrie par rapport à la première bissectrice du repère
1234−1−2−3−41234−1−2−3−4
A
B
Soient A(x;y)A(x\,;y) et B(y;x)B(y\,;x) deux points d'un repère orthogonal.
Les coordonnées de MM milieu de [AB][AB] vérifient :
xM=xA+xB2x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} == x+y2\dfrac{x+y}{2} et yM=yA+yB2y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2} == x+y2\dfrac{x+y}{2}.
Ainsi, xM=yMx_M=y_M et MM appartient à la droite d'équation y=xy=x.

Le vecteur u⃗(11)\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} dirige la droite d'équation y=xy=x.

De plus AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} == (y−xx−y)\begin{pmatrix}y-x \\ x-y \end{pmatrix}.

Ainsi : u⃗⋅AB→\vec{u}\cdot\overrightarrow{AB} == 1×(y−x)+1×(x−y)1\times(y-x)+1\times(x-y) == 00.

La droite (AB)(AB) et la droite d'équation y=xy=x sont perpendiculaires.

Les points AA et BB sont bien symétriques par rapport à la première bissectrice du repère. 2Fonctions réciproques Definition 1
Soit ff une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle II de R\mathbb{R}.
Si il existe une fonction gg telle que pour tout nombre xx de son ensemble de définition f(g(x))=xf(g(x))=x, ou pour tout x∈Ix\in I, g(f(x))=xg(f(x))=x, alors ff et gg sont dites réciproques l'une de l'autre. Exemple 1 La fonction carrée et la fonction racine carrée sont des fonctions réciproques sur [0;+∞[[0\,;+\infty[.
En effet, pour tout x≥0x\geq0, (x)2(\sqrt{x})^2 == xx, et x2\sqrt{x^2} == ∣x∣|x| == xx, car x≥0x\geq0. Exemple 2 Les fonctions logarithme népérien et exponentielles sont des fonctions réciproques : Exemple 3 La fonction inverse est sa propre réciproque : pour tout x≠0x\neq0, 11x\dfrac{1}{\frac{1}{x}} == x1\dfrac{x}{1} == xx. 3Conséquences graphiques Property 1
Soient ff et gg deux fonctions réciproques dont on note Cf\mathscr{C}_f et Cg\mathscr{C}_g les courbes représentatives dans un repère orthogonale du plan.
Cf\mathscr{C}_f et Cg\mathscr{C}_g sont alors symétriques par rapport à la droite d'équation y=xy=x. Preuve.
On note DfD_f et DgD_g les ensembles de définitions.
Soit x∈Dfx\in D_f, et M(x;f(x))M(x\,;f(x)) le point de Cf\mathscr{C}_f correspondant.
Le point M′(f(x);x)M'(f(x)\,;x) appartient à l'image de Cf\mathscr{C}_f dans la symétrie d'axe la première bissectrice du plan.
Or, puisque xx == g(f(x))g(f(x)), M′(f(x);x)M'(f(x)\,;x) == (f(x);g(f(x))(f(x)\,;g(f(x)) est un point de Cg\mathscr{C}_g.
Réciproquement, on démontre de la même façon que l'image de tout point de Cg\mathscr{C}_g dans la même symétrie est un point de Cf\mathscr{C}_f.
Ainsi, Cf\mathscr{C}_f et Cg\mathscr{C}_g sont bien symétriques par rapport à la droite d'équation y=xy=x. 4Illustrations 4.1Fonctions carrée et racine carrée
2468−22468−2
A
A'
4.2Fonctions exponentielles et logarithme népérien
2468−22468−2
A
A'
4.3Fonction inverse
2468−22468−2
A
A'
4.4Fonction affine x↦2x−1x\mapsto 2x-1
2468−22468−2
A
A'
4.5Fonctions tangente et arctangente
2468−2−4−6−82468−2−4−6−8
A
A'