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Valeur moyenne d'une fonction
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0\,;1]$ par :
$f(x)=x^2$ 1 et 1 $g(x)=\text{e}^x$.
À partir de points uniformément répartis
mf = 0
mg = 0
n = 100
function f(x){
return x*x;
}
function g(x){
return Math.pow(Math.E,x);
}
for(i=0; i < n ; i++){
mf = mf + f(i/n)
mg = mg + g(i/n)
}
mf = mf/n
mg = mg/n
afficher(mf)
afficher(mg)À partir de points répartis aléatoirement
mf = 0
mg = 0
n = 100
function f(x){
return x*x;
}
function g(x){
return Math.pow(Math.E,x);
}
for(i=0; i < n ; i++){
mf = mf + f(Math.random())
mg = mg + g(Math.random())
}
mf = mf/n
mg = mg/n
afficher(mf)
afficher(mg)À partir de la méthode des rectangles
On utilise la formule de la valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a\,;b]$:
$$\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\text{d}t.$$
On approche ici l'intégrale à l'aide de la méthode des rectangles.
On remarque de plus que $\dfrac{1}{b-a}$ $=$ $\dfrac{1}{1-0}$ $=$ $1$.
mf = 0
mg = 0
n = 100
function f(x){
return x*x;
}
function g(x){
return Math.pow(Math.E,x);
}
for(i=0; i < n ; i++){
mf = mf + f(i/n)/n
mg = mg + g(i/n)/n
}
afficher(mf)
afficher(mg)Comparaisons
La moyenne pour chacune de ces fonctions vaut :