--> Trajectoire parabolique à partir de la seconde loi de Newton Dans tout ce texte on note gg l'accélération de la pesanteur, avec g≈9,81m.s−2g\approx 9,81 \text{m}.\text{s}^{-2}
On considère un mobile MM, de masse mm, réduit à son centre de gravité sur lequel à l'instant t=0t=0 ne s'exerce que son poids et dont la vitesse initiale est v0→\overrightarrow{v_0}.
On se place dans un repère du plan dans lequel, à l'instant t=0t=0 les coordonnées de MM sont (0;h)(0\,;h) avec h>0h>0 et on note pour tout t≥0t\geq0, (x(t);y(t))(x(t)\,;y(t)) ses coordonnées.
MM
v0→\overrightarrow{v_0}
P→\overrightarrow{P}
xx
yy
D'après la seconde loi de Newton on a : (mx′′(t)my′′(t))=(0−g).\begin{pmatrix} mx''(t) \\ my''(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}. On cherche alors à déterminer les équations horaires x(t)x(t) et y(t)y(t) en intégrant deux fois.
(mx′′(t)my′′(t))\begin{pmatrix} mx''(t) \\ my''(t) \end{pmatrix} == (0−g) \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}
(x′′(t)y′′(t))\begin{pmatrix} x''(t) \\ y''(t) \end{pmatrix} == (0−gm) \begin{pmatrix} 0 \\ -\dfrac{g}{m} \end{pmatrix}
(x′(t)y′(t))\begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} == (xv0→−gmt+yv0→) \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{v_0}} \\ -\dfrac{g}{m}t+y_{\overrightarrow{v_0}} \end{pmatrix}
(x(t)y(t))\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} == (xv0→t+x(0)−g2mt2+yv0→t+y(0)) \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{v_0}}t+x(0) \\ -\dfrac{g}{2m}t^2+y_{\overrightarrow{v_0}}t+y(0) \end{pmatrix}
(x(t)y(t))\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} == (xv0→t−g2mt2+yv0→t+h) \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{v_0}}t \\ -\dfrac{g}{2m}t^2+y_{\overrightarrow{v_0}}t+h \end{pmatrix}
On peut alors écrire, que pour tout réel t≥0t\geq0 : {x(t)=xv0→ty(t)=−g2mt2+yv0→t+h\left\{ \begin{array}{rcl} x(t) & = & x_{\overrightarrow{v_0}}t \\ y(t) & = & -\dfrac{g}{2m}t^2+y_{\overrightarrow{v_0}}t+h \end{array}\right. En supposant que xv0→≠0x_{\overrightarrow{v_0}}\neq0, on a alors t=x(t)xv0→t=\dfrac{x(t)}{x_{\overrightarrow{v_0}}}, et en notant x(t)=xx(t)=x et y(t)=yy(t)=y, ainsi que xv0=xv0→x_{v_0}=x_{\overrightarrow{v_0}} et yv0=yv0→y_{v_0}=y_{\overrightarrow{v_0}}, on a, à partir de l'égalité donnant y(t)y(t) :
yy == −g2m(xxv0)2+yv0×xxv0+h-\dfrac{g}{2m}\left( \dfrac{x}{x_{v_0}} \right)^2+y_{v_0}\times\dfrac{x}{x_{v_0}}+h
yy == −g2mxv02x2+yv0xv0x+h-\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}x^2+\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}x+h.
On a donc que yy est un polynôme du second degré en xx, ce qui justifie que la courbe représentative de la trajectoire de MM est une parabole. // Définition du repère Xmin = -0.5 Xmax = 10 Ymin = -0.5 Ymax = 10 traceX() traceY() // Les constantes g = 9.81 m = 1 h = 3 // Le point mobile M = [0,h] // Le vecteur vitesse initiale angle = 0.7 force = 6 V0 = [force*cos(angle),force*sin(angle)] point(M) // Tracé du vecteur vitesse initiale couleur = "rgb(0,255,255)" trait = 2 segment(M,[M[0]+V0[0] , M[1]+V0[1]]) A0 = [M[0]+V0[0] , M[1]+V0[1]] B = [M[0]+V0[0]*0.95 , M[1]+V0[1]*0.95] B1 = rotation2d(A0,0.4,B) B2 = rotation2d(A0,-0.4,B) segment(A0,B1) segment(A0,B2) // Tracé de la trajectoire du point M // À chaque étape on détermine le nouveau vecteur // vitesse obtenu à partir // de la 2nde loi de Newton // (en intégrant qu'une seule fois) // Une fois le vecteur vitesse connu on translate le point M // du vecteur vitesse * pas // (comme dans la méthode d'Euler pour les équadiffs) trait = 0.1 couleur = noir pas = 0.001 for(var t = 0; t < 10; t = t+0.001){ V = [V0[0],1/m*(-g*t+V0[1])] M = [ M[0]+V[0]*pas , M[1]+V[1]*pas ] point(M) } // Tracé de la parabole dont l'équation // a été obtenue à la fin des calculs précédents. // On remarque que les deux courbes coïncident function para(x){ return -(g/(2*m*V0[0]*V0[0]))*x*x+V0[1]*x/V0[0]+h } trait = 10 couleur = "rgba(255,0,0,0.5)" graphe(para,0,10)

À partir de l'équation y=−g2mxv02x2+yv0xv0x+hy=-\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}x^2+\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}x+h, nous allons déterminer l'angle que doit avoir v0→\overrightarrow{v_0} pour que le point MM atteigne le sol (l'axe des abscisses) le plus loin possible.

Pour cela il faut fixer une norme à v0→\overrightarrow{v_0} en choisissant arbitrairement ∣∣v0→∣∣=1||\overrightarrow{v_0}||=1.

On a donc xv02+yv02=1x^2_{v_0}+y^2_{v_0} = 1, c'est-à-dire qu'il existe un réel α∈]0;π2[\alpha \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ tel que xv0=cos⁡(α)x_{v_0} = \cos(\alpha) et yv0=sin⁡(α)y_{v_0} = \sin(\alpha).

Ce nombre α\alpha correspond à la mesure de l'angle que fait v0→\overrightarrow{v_0} avec l'horizontale.

La parabole d'équation y=−g2mxv02x2+yv0xv0x+hy=-\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}x^2+\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}x+h va couper l'axe des abscisses en deux points, l'un d'abscisse négative et l'autre positive.

Pour déterminer les abscisses de ces points on utilise la méthode du discriminant :
Δ\Delta == yv02xv02+4×g2mxv02×h\dfrac{y^2_{v_0}}{x^2_{v_0}}+4\times\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}\times h
Quitte à déplacer le repère on peut considérer que h=0h=0, et le discriminant devient : Δ=(yv0xv0)2.\Delta = \left(\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}\right)^2. L'abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses est donc :
xcx_c == −yv0xv0−(yv0xv0)2−2×g2mxv02\dfrac{-\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}-\sqrt{\left(\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}\right)^2}}{-2\times\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}}
== −2×yv0xv0−2×g2mxv02\dfrac{-2\times \dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}}{-2\times\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}} == yv0xv0×2mxv02g\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}\times \dfrac{2m x^2_{v_0}}{g}
== 2mgxv0yv0\dfrac{2m}{g}x_{v_0}y_{v_0}
== 2mgcos⁡(α)sin⁡(α)\dfrac{2m}{g}\cos(\alpha)\sin(\alpha).
Il faut donc trouver la valeur de l'angle α\alpha pour que cos⁡(α)sin⁡(α)\cos(\alpha)\sin(\alpha) soit le plus grand possible.
Or, on sait que cos⁡(α)sin⁡(α)=12sin⁡(2α)\cos(\alpha)\sin(\alpha) = \dfrac{1}{2}\sin(2\alpha) et pour tout x∈[0;π]x\in[0\,;\pi], sin⁡(x)\sin(x) est maximal pour x=π2x=\dfrac{\pi}{2}.
Ainsi, pour α∈]0;π2[\alpha \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[, sin⁡(2α)\sin(2\alpha) est maximal pour 2α=π22\alpha = \dfrac{\pi}{2}, soit α=π4\alpha=\dfrac{\pi}{4}.

Illustration
Vitesse = 5.00