--> Trajectoire parabolique à partir de la seconde loi de Newton Dans tout ce texte on note $g$ l'accélération de la pesanteur, avec $g\approx 9,81 \text{m}.\text{s}^{-2}$
On considère un mobile $M$, de masse $m$, réduit à son centre de gravité sur lequel à l'instant $t=0$ ne s'exerce que son poids et dont la vitesse initiale est $\overrightarrow{v_0}$.
On se place dans un repère du plan dans lequel, à l'instant $t=0$ les coordonnées de $M$ sont $(0\,;h)$ avec $h>0$ et on note pour tout $t\geq0$, $(x(t)\,;y(t))$ ses coordonnées.
D'après la seconde loi de Newton on a : $$\begin{pmatrix} mx''(t) \\ my''(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}.$$ On cherche alors à déterminer les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ en intégrant deux fois.
$\begin{pmatrix} mx''(t) \\ my''(t) \end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x''(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 0 \\ -\dfrac{g}{m} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{v_0}} \\ -\dfrac{g}{m}t+y_{\overrightarrow{v_0}} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{v_0}}t+x(0) \\ -\dfrac{g}{2m}t^2+y_{\overrightarrow{v_0}}t+y(0) \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{v_0}}t \\ -\dfrac{g}{2m}t^2+y_{\overrightarrow{v_0}}t+h \end{pmatrix}$
On peut alors écrire, que pour tout réel $t\geq0$ : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t) & = & x_{\overrightarrow{v_0}}t \\ y(t) & = & -\dfrac{g}{2m}t^2+y_{\overrightarrow{v_0}}t+h \end{array}\right.$$ En supposant que $x_{\overrightarrow{v_0}}\neq0$, on a alors $t=\dfrac{x(t)}{x_{\overrightarrow{v_0}}}$, et en notant $x(t)=x$ et $y(t)=y$, ainsi que $x_{v_0}=x_{\overrightarrow{v_0}}$ et $y_{v_0}=y_{\overrightarrow{v_0}}$, on a, à partir de l'égalité donnant $y(t)$ :
$y$ $=$ $-\dfrac{g}{2m}\left( \dfrac{x}{x_{v_0}} \right)^2+y_{v_0}\times\dfrac{x}{x_{v_0}}+h$
$y$ $=$ $-\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}x^2+\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}x+h$.
On a donc que $y$ est un polynôme du second degré en $x$, ce qui justifie que la courbe représentative de la trajectoire de $M$ est une parabole. // Définition du repère Xmin = -0.5 Xmax = 10 Ymin = -0.5 Ymax = 10 traceX() traceY() // Les constantes g = 9.81 m = 1 h = 3 // Le point mobile M = [0,h] // Le vecteur vitesse initiale angle = 0.7 force = 6 V0 = [force*cos(angle),force*sin(angle)] point(M) // Tracé du vecteur vitesse initiale couleur = "rgb(0,255,255)" trait = 2 segment(M,[M[0]+V0[0] , M[1]+V0[1]]) A0 = [M[0]+V0[0] , M[1]+V0[1]] B = [M[0]+V0[0]*0.95 , M[1]+V0[1]*0.95] B1 = rotation2d(A0,0.4,B) B2 = rotation2d(A0,-0.4,B) segment(A0,B1) segment(A0,B2) // Tracé de la trajectoire du point M // À chaque étape on détermine le nouveau vecteur // vitesse obtenu à partir // de la 2nde loi de Newton // (en intégrant qu'une seule fois) // Une fois le vecteur vitesse connu on translate le point M // du vecteur vitesse * pas // (comme dans la méthode d'Euler pour les équadiffs) trait = 0.1 couleur = noir pas = 0.001 for(var t = 0; t < 10; t = t+0.001){ V = [V0[0],1/m*(-g*t+V0[1])] M = [ M[0]+V[0]*pas , M[1]+V[1]*pas ] point(M) } // Tracé de la parabole dont l'équation // a été obtenue à la fin des calculs précédents. // On remarque que les deux courbes coïncident function para(x){ return -(g/(2*m*V0[0]*V0[0]))*x*x+V0[1]*x/V0[0]+h } trait = 10 couleur = "rgba(255,0,0,0.5)" graphe(para,0,10)

À partir de l'équation $y=-\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}x^2+\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}x+h$, nous allons déterminer l'angle que doit avoir $\overrightarrow{v_0}$ pour que le point $M$ atteigne le sol (l'axe des abscisses) le plus loin possible.

Pour cela il faut fixer une norme à $\overrightarrow{v_0}$ en choisissant arbitrairement $||\overrightarrow{v_0}||=1$.

On a donc $x^2_{v_0}+y^2_{v_0} = 1$, c'est-à-dire qu'il existe un réel $\alpha \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $x_{v_0} = \cos(\alpha)$ et $y_{v_0} = \sin(\alpha)$.

Ce nombre $\alpha$ correspond à la mesure de l'angle que fait $\overrightarrow{v_0}$ avec l'horizontale.

La parabole d'équation $y=-\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}x^2+\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}x+h$ va couper l'axe des abscisses en deux points, l'un d'abscisse négative et l'autre positive.

Pour déterminer les abscisses de ces points on utilise la méthode du discriminant :
$\Delta$ $=$ $\dfrac{y^2_{v_0}}{x^2_{v_0}}+4\times\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}\times h$
Quitte à déplacer le repère on peut considérer que $h=0$, et le discriminant devient : $$\Delta = \left(\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}\right)^2.$$ L'abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses est donc :
$x_c$ $=$ $\dfrac{-\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}-\sqrt{\left(\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}\right)^2}}{-2\times\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}}$
$=$ $\dfrac{-2\times \dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}}{-2\times\dfrac{g}{2m x^2_{v_0}}}$ $=$ $\dfrac{y_{v_0}}{x_{v_0}}\times \dfrac{2m x^2_{v_0}}{g}$
$=$ $\dfrac{2m}{g}x_{v_0}y_{v_0}$
$=$ $\dfrac{2m}{g}\cos(\alpha)\sin(\alpha)$.
Il faut donc trouver la valeur de l'angle $\alpha$ pour que $\cos(\alpha)\sin(\alpha)$ soit le plus grand possible.
Or, on sait que $\cos(\alpha)\sin(\alpha) = \dfrac{1}{2}\sin(2\alpha)$ et pour tout $x\in[0\,;\pi]$, $\sin(x)$ est maximal pour $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Ainsi, pour $\alpha \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\sin(2\alpha)$ est maximal pour $2\alpha = \dfrac{\pi}{2}$, soit $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$.

Illustration