--> Parabole Descriptions graphiques

Preuve par les calculs Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.
Soient $d_a$ une droite verticale d'équation $x=a$, avec $a$ un réel quelconque.

La droite $d_a$ coupe $\mathscr{P}$ en $A(a\,;a^2)$.
L'équation réduite de la tangente $T_a$ à $\mathscr{P}$ au point d'abscisse $a$ est :

	$y$	$=$	$f'(a)(x-a)+f(a)$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$f'(a)(x-a)+f(a)$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$2a(x-a)+a^2$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$2ax-2a^2+a^2$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$2ax-a^2$.

De plus, la droite $P_a$ perpendiculaire à $T_a$ passant par $A$ a une équation réduite de la forme : $$y=-\dfrac{1}{2a}x+k$$ car lorsque deux droites sont perpendiculaires le produit de leur coefficient directeur vaut $-1$.
Il reste donc à déterminer $k$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$.

$y_A$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}x_A+k$
$a^2$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}a+k$
$a^2$	$=$	$-\dfrac{1}{2}+k$
$a^2+\dfrac{1}{2}$	$=$	$k$

L'équation réduite de $P_a$ est donc $y=-\dfrac{1}{2a}x+a^2+\dfrac{1}{2}$.

Il nous reste à déterminer l'équation réduite de la droite $d'_a$, symétrique de $d_a$ par rapport à $P_a$.
On sait déjà que $d'_a$ passe par $A$. On choisit alors un autre point sur $d_a$ et on détermine son image dans la symétrie d'axe $P_a$.
On considère donc le point $A_0(a\,;0)$ de $d_a$ et on note $A'_0(x\,;y)$ son image.
On a alors que $(A_0A'_0)$ est perpendiculaire à $P_a$ et donc $\overrightarrow{A_0A'_0}$ est orthogonale au vecteur directeur de $P_a$.
L'équation réduite de $P_a$, $y=-\dfrac{1}{2a}x+a^2+\dfrac{1}{2}$, peut s'écrire sous forme cartésienne $2ay+x=2a^3+a$ (en multipliant les deux membres par $2a$ et changeant de côté le terme en $x$) et donc $\overrightarrow{A_0A'_0}\begin{pmatrix}x-a\ y \end{pmatrix}$ est colinéaire à $\begin{pmatrix}1 \ 2a \end{pmatrix}$, c'est-à-dire :

	$(x-a)\times2a$	$=$	$y\times1$
$\Longleftrightarrow$	$2ax-2a^2$	$=$	$y$.	(1)

On a également que le milieu de $[A_0A'_0]$ est un point de $P_a$. Donc l'abscisse et l'ordonnée de ce milieu vérifient l'équation de $P_a$.
Les coordonnées du milieu de $[A_0A'_0]$ sont $\left( \dfrac{a+x}{2}\,;\dfrac{0+y}{2} \right)$ $=$ $\left( \dfrac{a+x}{2}\,;\dfrac{y}{2} \right)$ et donc :

	$\dfrac{y}{2}$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}\times\dfrac{a+x}{2}+a^2+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow$	$\dfrac{y}{2}$	$=$	$-\dfrac{a+x}{4a}+a^2+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{a+x}{2a}+2a^2+1$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{a}{2a}-\dfrac{x}{2a}+2a^2+1$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{2a}+2a^2+1$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{x}{2a}+2a^2+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}x+2a^2+\dfrac{1}{2}$.	(2)

Il reste donc à résoudre le système formée des équations (1) et (2) pour trouver les coordonnées de $A'_0$.
$$\left\{\begin{array}{rcl} y & = & 2ax-2a^2 \\ y & = & -\dfrac{1}{2a}x+2a^2+\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$$ Par subsitution on a alors :

	$2ax-2a^2$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}x+2a^2+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow$	$4a^2x-4a^3$	$=$	$-x+4a^3+a$	en multipliant par $2a$
$\Longleftrightarrow$	$4a^2x+x$	$=$	$4a^3+a+4a^3$
$\Longleftrightarrow$	$(4a^2+1)x$	$=$	$8a^3+a$
$\Longleftrightarrow$	$(4a^2+1)x$	$=$	$a(8a^2+1)$
$\Longleftrightarrow$	$x$	$=$	$\dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1}$.

Ainsi, en utilisant l'équation (1), on a :

$y$	$=$	$2a\times\dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1}-2a^2$
	$=$	$\dfrac{2a^2(8a^2+1)}{4a^2+1}-2a^2$
	$=$	$2a^2\left(\dfrac{8a^2+1}{4a^2+1}-1\right)$
	$=$	$2a^2\left(\dfrac{8a^2+1}{4a^2+1}-\dfrac{4a^2+1}{4a^2+1}\right)$
	$=$	$2a^2\left(\dfrac{4a^2}{4a^2+1}\right)$
	$=$	$\dfrac{8a^4}{4a^2+1}$.

On a ainsi que la droite $d'_a$, symétrique de $d_a$ par rapport à $P_a$ passe par les points $A(a\,;a^2)$ et $A'_0\left( \dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1} \,; \dfrac{8a^4}{4a^2+1}\right)$.
Le coefficient directeur de la droite $(AA'_0)$ vaut donc :

$\dfrac{y_{A'_0}-y_A}{x_{A'_0}-x_A}$	$=$	$\dfrac{ \dfrac{8a^4}{4a^2+1}-a^2 }{ \dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1}-a }$
	$=$	$\dfrac{ \dfrac{8a^4}{4a^2+1}-\dfrac{a^2(4a^2+1)}{4a^2+1} }{ \dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1}-\dfrac{a(4a^2+1)}{4a^2+1} }$
	$=$	$\dfrac{ \dfrac{8a^4-a^2}{4a^2+1} }{ \dfrac{a(8a^2+1)-a}{4a^2+1} }$
	$=$	$\dfrac{ 8a^4-a^2 }{ a(8a^2+1)-a }$
	$=$	$\dfrac{ a^2(8a^2-1) }{ a(8a^2+1-1) }$
	$=$	$\dfrac{ a^2(8a^2-1) }{ 8a^3 }$
	$=$	$\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }$

L'équation réduite de $(AA'_0)$ est donc de la forme : $$y=\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }x+k,$$ avec $k$ à déterminer en utilisant le fait que $A(a\,;a^2)$ appartient à la droite.
Ainsi :

	$y_A$	$=$	$\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }x_A+k$
$\Longleftrightarrow$	$a^2$	$=$	$\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }\times a+k$
$\Longleftrightarrow$	$a^2$	$=$	$\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8 }+k$
$\Longleftrightarrow$	$k$	$=$	$a^2-\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8 }$.
$\Longleftrightarrow$	$k$	$=$	$a^2-\dfrac{ 8a^2}{8}+\dfrac{1 }{ 8 }$.
$\Longleftrightarrow$	$k$	$=$	$a^2-a^2+\dfrac{1 }{ 8 }$.
$\Longleftrightarrow$	$k$	$=$	$\dfrac{1 }{ 8 }$.

L'équation réduite de $d'_a$ est donc $$y=\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }x+\dfrac{1}{8},$$ et nous voyons que quelque soit la valeur de $a$, la droite $d'_a$ passe par le point $\left(0\,;\dfrac{1}{8} \right)$.