--> Parabole 1Descriptions graphiques

0,0

2Preuve par les calculs Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=x^2

. On note

\mathscr{P}

la parabole représentant la fonction

f

dans un repère orthogonal du plan.
Soient

d_a

une droite verticale d'équation

x=a

, avec

a

un réel quelconque.

0,0

A_0

A(a\,;a^2)

T_a

P_a

d_a

d'_a

La droite

d_a

coupe

\mathscr{P}

A(a\,;a^2)

.
L'équation réduite de la tangente

T_a

\mathscr{P}

au point d'abscisse

a

est :

	$y$	$=$	$f'(a)(x-a)+f(a)$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$f'(a)(x-a)+f(a)$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$2a(x-a)+a^2$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$2ax-2a^2+a^2$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$2ax-a^2$ .

De plus, la droite

P_a

perpendiculaire à

T_a

passant par

A

a une équation réduite de la forme :

y=-\dfrac{1}{2a}x+k

car lorsque deux droites sont perpendiculaires le produit de leur coefficient directeur vaut

-1

.
Il reste donc à déterminer

k

en remplaçant

x

y

par les coordonnées de

A

$y_A$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}x_A+k$
$a^2$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}a+k$
$a^2$	$=$	$-\dfrac{1}{2}+k$
$a^2+\dfrac{1}{2}$	$=$	$k$

L'équation réduite de

P_a

est donc

y=-\dfrac{1}{2a}x+a^2+\dfrac{1}{2}

.

Il nous reste à déterminer l'équation réduite de la droite

d'_a

, symétrique de

d_a

par rapport à

P_a

.
On sait déjà que

d'_a

passe par

A

. On choisit alors un autre point sur

d_a

et on détermine son image dans la symétrie d'axe

P_a

.
On considère donc le point

A_0(a\,;0)

d_a

et on note

A'_0(x\,;y)

son image.
On a alors que

(A_0A'_0)

est perpendiculaire à

P_a

et donc

\overrightarrow{A_0A'_0}

est orthogonale au vecteur directeur de

P_a

.
L'équation réduite de

P_a

y=-\dfrac{1}{2a}x+a^2+\dfrac{1}{2}

, peut s'écrire sous forme cartésienne

2ay+x=2a^3+a

(en multipliant les deux membres par

2a

et changeant de côté le terme en

x

) et donc

\overrightarrow{A_0A'_0}\begin{pmatrix}x-a\ y \end{pmatrix}

est colinéaire à

\begin{pmatrix}1 \ 2a \end{pmatrix}

, c'est-à-dire :

	$(x-a)\times2a$	$=$	$y\times1$
$\Longleftrightarrow$	$2ax-2a^2$	$=$	$y$ .	(1)

On a également que le milieu de

[A_0A'_0]

est un point de

P_a

. Donc l'abscisse et l'ordonnée de ce milieu vérifient l'équation de

P_a

.
Les coordonnées du milieu de

[A_0A'_0]

sont

\left( \dfrac{a+x}{2}\,;\dfrac{0+y}{2} \right)

=

\left( \dfrac{a+x}{2}\,;\dfrac{y}{2} \right)

et donc :

	$\dfrac{y}{2}$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}\times\dfrac{a+x}{2}+a^2+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow$	$\dfrac{y}{2}$	$=$	$-\dfrac{a+x}{4a}+a^2+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{a+x}{2a}+2a^2+1$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{a}{2a}-\dfrac{x}{2a}+2a^2+1$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{2a}+2a^2+1$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{x}{2a}+2a^2+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow$	$y$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}x+2a^2+\dfrac{1}{2}$ .	(2)

Il reste donc à résoudre le système formée des équations (1) et (2) pour trouver les coordonnées de

A'_0

\left\{\begin{array}{rcl} y & = & 2ax-2a^2 \\ y & = & -\dfrac{1}{2a}x+2a^2+\dfrac{1}{2} \end{array}\right.

Par subsitution on a alors :

	$2ax-2a^2$	$=$	$-\dfrac{1}{2a}x+2a^2+\dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow$	$4a^2x-4a^3$	$=$	$-x+4a^3+a$	en multipliant par $2a$
$\Longleftrightarrow$	$4a^2x+x$	$=$	$4a^3+a+4a^3$
$\Longleftrightarrow$	$(4a^2+1)x$	$=$	$8a^3+a$
$\Longleftrightarrow$	$(4a^2+1)x$	$=$	$a(8a^2+1)$
$\Longleftrightarrow$	$x$	$=$	$\dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1}$ .

Ainsi, en utilisant l'équation (1), on a :

$y$	$=$	$2a\times\dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1}-2a^2$
	$=$	$\dfrac{2a^2(8a^2+1)}{4a^2+1}-2a^2$
	$=$	$2a^2\left(\dfrac{8a^2+1}{4a^2+1}-1\right)$
	$=$	$2a^2\left(\dfrac{8a^2+1}{4a^2+1}-\dfrac{4a^2+1}{4a^2+1}\right)$
	$=$	$2a^2\left(\dfrac{4a^2}{4a^2+1}\right)$
	$=$	$\dfrac{8a^4}{4a^2+1}$ .

On a ainsi que la droite

d'_a

, symétrique de

d_a

par rapport à

P_a

passe par les points

A(a\,;a^2)

A'_0\left( \dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1} \,; \dfrac{8a^4}{4a^2+1}\right)

.
Le coefficient directeur de la droite

(AA'_0)

vaut donc :

$\dfrac{y_{A'_0}-y_A}{x_{A'_0}-x_A}$	$=$	$\dfrac{ \dfrac{8a^4}{4a^2+1}-a^2 }{ \dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1}-a }$
	$=$	$\dfrac{ \dfrac{8a^4}{4a^2+1}-\dfrac{a^2(4a^2+1)}{4a^2+1} }{ \dfrac{a(8a^2+1)}{4a^2+1}-\dfrac{a(4a^2+1)}{4a^2+1} }$
	$=$	$\dfrac{ \dfrac{8a^4-a^2}{4a^2+1} }{ \dfrac{a(8a^2+1)-a}{4a^2+1} }$
	$=$	$\dfrac{ 8a^4-a^2 }{ a(8a^2+1)-a }$
	$=$	$\dfrac{ a^2(8a^2-1) }{ a(8a^2+1-1) }$
	$=$	$\dfrac{ a^2(8a^2-1) }{ 8a^3 }$
	$=$	$\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }$

L'équation réduite de

(AA'_0)

est donc de la forme :

y=\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }x+k,

avec

k

à déterminer en utilisant le fait que

A(a\,;a^2)

appartient à la droite.
Ainsi :

	$y_A$	$=$	$\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }x_A+k$
$\Longleftrightarrow$	$a^2$	$=$	$\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }\times a+k$
$\Longleftrightarrow$	$a^2$	$=$	$\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8 }+k$
$\Longleftrightarrow$	$k$	$=$	$a^2-\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8 }$ .
$\Longleftrightarrow$	$k$	$=$	$a^2-\dfrac{ 8a^2}{8}+\dfrac{1 }{ 8 }$ .
$\Longleftrightarrow$	$k$	$=$	$a^2-a^2+\dfrac{1 }{ 8 }$ .
$\Longleftrightarrow$	$k$	$=$	$\dfrac{1 }{ 8 }$ .

L'équation réduite de

d'_a

est donc

y=\dfrac{ 8a^2-1 }{ 8a }x+\dfrac{1}{8},

et nous voyons que quelque soit la valeur de

a

, la droite

d'_a

passe par le point

\left(0\,;\dfrac{1}{8} \right)