--> Le paradoxe de la corde de Bertrand Description du paradoxe On considère un cercle de rayon $1$ dans lequel on inscrit un triangle équilatéral. On cherche à déterminer la probabilité qu'une corde choisie au hasard ait une longueur supérieure à celle du côté du triangle.

Déplacer les extrémités du segment et observer le changement de couleur
Soit $\mathscr{C}$ un cercle de rayon $1$. Un triangle équilatéral inscrit dans $\mathscr{C}$ a ses côtés qui mesurent $\sqrt{3}$. Preuve
Dans la figure ci-dessous on considère le cercle $\mathscr{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $1$ et un triangle équilatéral $ABC$ inscrit dans $\mathscr{C}$.

Dans un triangle équilatéral les bissectrices, hauteurs, médiatrices et médianes sont confondues, ainsi dans le triangle $OAB$, isocèle de sommet principal $O$ on a :
$\widehat{BAO} = \dfrac{60}{2}$ $=$ $30\,^{\circ}$, $\widehat{OBA} = 30\,^{\circ}$ et $\widehat{BOA}$ $=$ $180-2\times30$ $=$ $120\,^{\circ}$.
La droite $(OC)$ étant un axe de symétrie pour le triangle $ABC$, le point $I$ est le milieu de $[AB]$. De plus le triangle $OAI$ étant rectangle en $I$, on a, d'après les formules de trigonométrie on obtient :
$AI=AO\times\cos(\widehat{IAO})$ $=$ $1\times\cos(30)$ $=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Le point $I$ étant le milieu de $[AB]$, on a bien $AB=2AI$ $=$ $2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $=$ $\sqrt{3}$. Toujours à l'aide des formules de trigonométrie $OI=OA\times\sin(\widehat{IAO})$ $=$ $1\times\sin(30)$ $=$ $\dfrac{1}{2}$. Raisonnement n°1 On choisit la première extrémité $A$ de la corde sur le cercle. On construit le triangle équilatéral $ABC$ dont un des sommets est cette extrémité de la corde. Le cercle est alors partagé en trois arcs de cercle, $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{BC}$ et $\overset{\frown}{CA}$, de même longueur $\dfrac{2\pi}{3}$.
Seul un de ces trois arcs de cercle, $\overset{\frown}{BC}$, permet d'obtenir une corde de longueur supérieure à celle du côté du triangle lorsqu'on choisit un point dessus. Ainsi, la probabilité que la corde ait une longueur supérieure à celle du côté du triangle équilatéral est de $\dfrac{1}{3}$.

Déplacer les extrémités du segment et observer le changement de couleur Raisonnement n°2 On choisit, au hasard, un rayon $[OP]$ du cercle $\mathscr{C}$ et une corde $[MN]$ qui coupe perpendiculairement ce rayon en $H$.
On considère alors le triangle équilatéral $ABC$, inscrit dans $\mathscr{C}$, tel que $(MN)$ et $(BC)$ soient parallèles. On note $I$ l'intersection entre $(OP)$ et $(BC)$, et on se rappelle (remarque 1) que $OI=1$.

On remarque que la longueur de la corde $[MN]$ est supérieure à celle de $[BC]$ lorsque $H$, qui se trouve sur le segment $[OP]$ de longueur $1$ est situé sur le segment $[OI]$ de longueur $\dfrac{1}{2}$.
Ainsi, la probabilité que la corde ait une longueur supérieure à celle du côté du triangle équilatéral est de $\dfrac{1}{2}$. Raisonnement n°3 Soit $H$ un point choisi au hasard à l'intérieur du disque ouvert délimité par le cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$. On construit la corde $[MN]$ dont $H$ est le milieu.
Le triangle $OMN$ étant isocèle et $(OH)$ étant une médiane de ce triangle, $(OH)$ est également une hauteur est les droites $(OH)$ et $(MN)$ sont donc perpendiculaires.
On construit le triangle équilatéral $(ABC)$ tel que $(BC)$ soit parallèle à $(MN)$. La droite $(OH)$ est par construction perpendiculaire à $(BC)$ et puisque le triangle $OBC$ est isocèle, le point d'intersection $I$ de $(OH)$ et $(BC)$, le pied de la hauteur issue de $O$ dans le triangle $OBC$, est donc le milieu de $[BC]$ (hauteur et médiane passant par le sommet principal sont confondues dans un triangle isocèle).
Le point $O$, centre du cercle inscrit de $ABC$, est également l'orthocentre puisque le triangle est équilatéral, et donc la droite $(OI)$ est confondue avec la droite $(AI)$. On peut conclure que $OI=\dfrac{1}{2}$ grâce à la remarque 1.
On remarque que la longueur de la corde $[MN]$ est supérieure à celle de $[BC]$ lorsque $H$, qui se trouve sur le segment $[OP]$ de longueur $1$ est situé sur le segment $[OI]$ de longueur $\dfrac{1}{2}$.

La figure est identitique à celle du raisonnement n°2, mais les constructions ne sont font pas dans le même ordre et les objets n'ont pas les mêmes définitions au départ. Un autre raisonnement Les trois raisonnements précédents ont été donnés par le mathématicien Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) qui présente ce fameux problème dans son ouvrage Calcul des probabilités publié en 1889.
Cependant, on trouve souvent sur le web un autre raisonnement qui consiste à se dire que si on choisit au hasard une corde, son diamètre sera un nombre réel de l'intervalle $[0\,;2]$. En faisant l'hypothèse d'une distribution uniforme des longueurs des cordes dans $[0\,;2]$, la probabilité que la longueur d'une corde soit inférieure à $\sqrt{3}$ est de $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et donc la probabilité de l'évènement contraire, à savoir que la longueur d'une corde soit supérieure à $\sqrt{3}$ est de $1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Analyse du paradoxe Nous le voyons, sur les raisonnements de Joseph Louis François Bertrand que pour l'expression « choisir au hasard » n'est pas assez explicite, et que l'on peut entendre plusieurs « constructions » différentes du hasard, d'où le fait de déterminer plusieurs probabilités différentes.
Cependant, le raisonnement qui propose $1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ comme probabilité pose problème, notamment dans le fait de considérer que les longueurs des diamètres soient réparties uniformément dans $[0\,;2]$. Nous allons donc, en nous entendant sur la méthode de choix « au hasard » des cordes montrer que celle-ci est tout autre.
Nous aurons besoin auparavant de définir un objet fondamental pour pouvoir faire facilement des calculs : le cercle trigonométrique. Cercle trigonométrique Dans un repère orthonormé du plan $(O\,;I\,;J)$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ est de rayon $1$.
Pour tout point $M(x_m\,; y_m)$ du cercle trignométrique, on note $\theta$ l'angle orienté $(\overrightarrow{OI}\,;\overrightarrow{OM})$.
On définit alors le cosinus et le sinus de l'angle $\theta$ par : $\cos(\theta)=x_m$ et $\sin(\theta) = y_m$.
Lorsque les coordonnées de $M$ sont positives ces définitions correspondent à celles vues depuis le collège en trigonométrie.

On voit ici que le $M$ est totalement déterminé la donné du seul nombre $\theta$. Le cercle est bien de dimension $1$.
Ainsi, pour générer aléatoire un point sur le cercle, il suffira de générer un nombre « au hasard » dans l'intervalle $[0\,;360]$ (en degrés) ou $[0\,;2\pi]$ en radians. Distribution des longueurs des cordes On génère deux points en choisissant deux angles aux hasard, en suivant la loi uniforme. On regarde si la longueur de la corde reliant ces deux points a une longueur supérieure à $\sqrt{3}$ ou non. On répète l'opération $10\,000$ fois et on affiche la fréquence de cas où cela se produit.
Python travaillant avec des angles en radians on génère les angles dans l'intervalle $[0\,;2\pi]$. from math import* from random import* num = 0 max = 10000 for i in range(0,max): a1 = random()*2*pi a2 = random()*2*pi M1 = [ cos(a1), sin(a1) ] M2 = [ cos(a2), sin(a2)] corde = sqrt( (M2[0]-M1[0])**2+(M2[1]-M1[1])**2 ) if corde > sqrt(3): num = num+1 print((1.0*num)/max) Le résultat est proche de $\dfrac{1}{3}$.
Même résultat si on fixe la première extrémité de la corde (par exemple en $(1\,;0)$, on trouve un résultat équivalent : from math import* from random import* num = 0 max = 10000 for i in range(0,max): a1 = random()*2*pi M1 = [ cos(a1), sin(a1) ] M2 = [ 1, 0] corde = sqrt( (M2[0]-M1[0])**2+(M2[1]-M1[1])**2 ) if corde > sqrt(3): num = num+1 print((1.0*num)/max)

Toujours en générant des points du cercle trigonométrique, en générant des angles en suivant la loi uniforme, on construit ci-dessous un diagramme bâton pour la fréquence des cordes dont les longueurs sont comprises entre $0$ et $0,2$, puis $0,2$ et $0,4$ etc. jusqu'à entre $1,8$ et $2$. tab = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] max = 10000 for(var i = 0; i < max; i++){ a1 = rand()*2*Math.PI a2 = rand()*2*Math.PI M1 = [ cos(a1), sin(a1) ] M2 = [ cos(a2), sin(a2)] corde = Math.sqrt( Math.pow((M2[0]-M1[0]),2)+Math.pow((M2[1]-M1[1]),2) ) if(corde < 0.2){ tab[0] = tab[0]+1 } if(corde >= 0.2 && corde < 0.4){ tab[1] = tab[1]+1 } if(corde >= 0.4 && corde < 0.6){ tab[2] = tab[2]+1 } if(corde >= 0.6 && corde < 0.8){ tab[3] = tab[3]+1 } if(corde >= 0.8 && corde < 1){ tab[4] = tab[4]+1 } if(corde >= 1 && corde < 1.2){ tab[5] = tab[5]+1 } if(corde >= 1.2 && corde < 1.4){ tab[6] = tab[6]+1 } if(corde >= 1.4 && corde < 1.6){ tab[7] = tab[7]+1 } if(corde >= 1.6 && corde < 1.8){ tab[8] = tab[8]+1 } if(corde >= 1.8 ){ tab[9] = tab[9]+1 } } Xmin = -1 Xmax = 11 Ymin = -0.1 Ymax = 0.6 traceX() traceY() traceG() trait = 5 for(var i = 0; i < 10; i++){ segment([i+1,0],[i+1,tab[i]/max]) }

Même construction mais en fixant la première extrémité de la corde. tab = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] max = 10000 for(var i = 0; i < max; i++){ a1 = rand()*2*Math.PI M1 = [ cos(a1), sin(a1) ] corde = Math.sqrt( Math.pow((1-M1[0]),2)+Math.pow((M1[1]),2) ) if(corde < 0.2){ tab[0] = tab[0]+1 } if(corde >= 0.2 && corde < 0.4){ tab[1] = tab[1]+1 } if(corde >= 0.4 && corde < 0.6){ tab[2] = tab[2]+1 } if(corde >= 0.6 && corde < 0.8){ tab[3] = tab[3]+1 } if(corde >= 0.8 && corde < 1){ tab[4] = tab[4]+1 } if(corde >= 1 && corde < 1.2){ tab[5] = tab[5]+1 } if(corde >= 1.2 && corde < 1.4){ tab[6] = tab[6]+1 } if(corde >= 1.4 && corde < 1.6){ tab[7] = tab[7]+1 } if(corde >= 1.6 && corde < 1.8){ tab[8] = tab[8]+1 } if(corde >= 1.8 ){ tab[9] = tab[9]+1 } } Xmin = -1 Xmax = 11 Ymin = -0.1 Ymax = 0.6 traceX() traceY() traceG() trait = 5 for(var i = 0; i < 10; i++){ segment([i+1,0],[i+1,tab[i]/max]) } Lorsqu'on génère les extrémités de la corde à l'aide d'un angle aléatoire, suivant la loi uniforme, pour chacune d'elle, les longueurs ne semblent pas être distribuées uniformément. On a l'impression sur les graphiques précédents, qu'il est beaucoup plus probables que la corde ait une longueur proche de $2$.
Pour développer cette intuition on génère une graphique en découpant l'intervalle des longueurs $[0\,;2]$, n'ont pas en $10$ mais en $100$.
tab = Array(100).fill(0) max = 10000 for(var i = 0; i < max; i++){ a1 = rand()*2*Math.PI M1 = [ cos(a1), sin(a1) ] corde = Math.sqrt( Math.pow((1-M1[0]),2)+Math.pow((M1[1]),2) ) tab[ Math.floor(50*corde) ] = tab[ Math.floor(50*corde) ]+1 } Xmin = -1 Xmax = 101 Ymin = -0.02 Ymax = 0.15 traceX() traceY() trait = 0.7 for(var i = 0; i < 100; i++){ segment([i+1,0],[i+1,tab[i]/max]) }
À partir de la même expérience on génère le diagramme des fréquences cumulées croissantes : tab = Array(100).fill(0) tabRep = Array(100).fill(0) max = 10000 for(var i = 0; i < max; i++){ a1 = rand()*2*Math.PI M1 = [ cos(a1), sin(a1) ] corde = Math.sqrt( Math.pow((1-M1[0]),2)+Math.pow((M1[1]),2) ) tab[ Math.floor(50*corde) ] = tab[ Math.floor(50*corde) ]+1 } Xmin = -1 Xmax = 101 Ymin = -0.02 Ymax = 1.1 traceX() traceY() trait = 0.7 tabRep[0] = tab[0] for(var i = 1; i < 100; i++){ tabRep[i] = tab[i]+tabRep[i-1] } for(var i = 0; i < 100; i++){ segment([i+1,0],[i+1,tabRep[i]/max]) }
On trace maintenant la courbe représentative de la fonction des longueurs des cordes $[AM]$ avec $A(1\,;0)$ et $M(\cos(\theta)\,;\sin(\theta))$ avec $\theta\in[0\,;2\pi]$. Xmin=-0.5 Xmax = 7 Ymin = -0.3 Ymax = 2.3 traceX() traceY() traceG() trait = 0.5 for(var a = 0; a < 2*%PI; a = a+0.01){ corde = Math.sqrt( Math.pow(1-cos(a),2)+Math.pow(sin(a),2) ) point( [a,corde] ) }

En fonction de l'angle $\theta$, la longueur $\ell$ de la corde vaut :

$\ell$	$=$	$\sqrt{ (1-\cos(\theta))^2+(0-\sin(\theta))^2 }$
	$=$	$\sqrt{ 1-2\cos(\theta)+\cos^2(\theta)+\sin(\theta)^2 }$
	$=$	$\sqrt{ 1-2\cos(\theta)+1 }$
	$=$	$\sqrt{ 2-2\cos(\theta) }$
	$=$	$\sqrt{ 2(1-\cos(\theta)) }$.

Tracé de la courbe de la fonction $x\mapsto\sqrt{2(1-\cos(x))}$ :

La fonction précédente est continue strictement croissante sur $[0\,;\pi]$. On s'intéresse alors à sa fonction réciproque sur cet intervalle, à savoir la fonction qui en fonction d'une longueur $\ell$ donnée associe l'angle correspondant au point de la deuxième extrémité de la corde.

$\sqrt{ 2(1-\cos(\theta)) }$	$=$	$\ell$
$ 2(1-\cos(\theta)) $	$=$	$\ell^2$
$ 1-\cos(\theta) $	$=$	$\dfrac{\ell^2}{2}$
$ -\cos(\theta) $	$=$	$\dfrac{\ell^2}{2}-1$
$ \cos(\theta) $	$=$	$1-\dfrac{\ell^2}{2}$
$ \theta $	$=$	$\arccos\left(1-\dfrac{\ell^2}{2}\right)$.

Fonction réciproque sur $[0\,;\pi]$ : $g(x)= \arccos\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)$.

Fonction de répartition pour des angles sur $[0\,;\pi]$ : $F(x)= \dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)$.

Cette courbe ressemble au diagramme bâtons des fréquences cumulées croissantes obtenu précédemment. On note $X$ la variable aléatoire qui donne la longueur d'une corde du demi-cercle (puisque on est sur l'intervalle $[0\,;\pi]$). Pour tout $x\in[0\,;2]$, on a alors :
$P(X\leq x)$ $=$ $F(x)$ $=$ $\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)$.
C'est-à-dire, par exemple, que :

$P(X\leq\sqrt{3})$	$=$	$\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{(\sqrt{3})^2}{2}\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{(\sqrt{3})^2}{2}\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{3}{2}\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{\pi}\times\dfrac{2\pi}{3}$
	$=$	$\dfrac{2}{3}$.

Ainsi, on a bien que $P(X > \sqrt{3})$ $=$ $1-P(X\leq\sqrt{3})$ $=$ $1-\dfrac{2}{3}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$. La probabilité obtenue pour des angles sur $[0\,;\pi]$ est en fait la même que pour des angles sur $[0\,;2\pi]$. En effet, la fonction qui donne les longueurs en fonction des angles a une courbe symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\pi$. Ainsi, à chaque longueur donnée entre $0$ et $2\pi$ correspondant exactement deux angles, ce qui, lorsqu'on analyse en fréquence ou probabilité, ne modifie pas les valeurs. En effet, multiplier par $2$ puis diviser par $2\pi$ (deux angles sur $[0\,;2\pi]$) revient à simplement diviser par $\pi$ (un angle sur $[0\,;\pi]$). De manière générale, pour tout intervalle $[a\,b]$, avec $a < b$ des nombres de $[0\,;2]$ :

$P(X\in[a\,;b])$	$=$	$F(b)-F(b)$
	$=$	$\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{b^2}{2}\right)-\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{a^2}{2}\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{\pi}\left(\arccos\left(1-\dfrac{b^2}{2}\right)-\arccos\left(1-\dfrac{a^2}{2}\right)\right)$.

En utilisant une calculatrice, on trouve que la probabilité qu'une corde ait une longueur compris entre $1,9$ et $2$ est de :
$P(X\in[1,9\,;2])$ $=$ $\dfrac{1}{\pi}\left(\arccos\left(1-\dfrac{2^2}{2}\right)-\arccos\left(1-\dfrac{1,9^2}{2}\right)\right)$ $\approx$ $0,202$.
De même : $P(X\in[1\,;2])$ $=$ $\dfrac{2}{3}$.
Il est donc deux fois plus probable qu'une corde ait une longueur supérieure à $1$ que le contraire.

Fonction de densité
La fonction de densité $f_d$ de la variable aléatoire $X$ vérifie, pour tout $x\in[0\,;2]$, $f_d(x)=F'(x)$.
Or, $\arccos'(x)$ $=$ $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et $\arccos'(u)$ $=$ $-\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.
On a donc : >

$f_d(x)$	$= F'(x)$
	$= \left( \dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right) \right)'$
	$= \dfrac{1}{\pi}\dfrac{-(-x)}{\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{2}\right)^2}}$
	$= \dfrac{1}{\pi}\dfrac{x}{\sqrt{1-\frac{x^4}{4}}}$.

Ce graphique ressemble bien aux digrammes bâtons que nous avons tracés pour analyser la répartition des longueurs des cordes.