--> Le paradoxe de la corde de Bertrand 1Description du paradoxe On considère un cercle de rayon 11 dans lequel on inscrit un triangle équilatéral. On cherche à déterminer la probabilité qu'une corde choisie au hasard ait une longueur supérieure à celle du côté du triangle.
Déplacer les extrémités du segment et observer le changement de couleur Property 1
Soit C\mathscr{C} un cercle de rayon 11. Un triangle équilatéral inscrit dans C\mathscr{C} a ses côtés qui mesurent 3\sqrt{3}. Preuve
Dans la figure ci-dessous on considère le cercle C\mathscr{C} un cercle de centre OO et de rayon 11 et un triangle équilatéral ABCABC inscrit dans C\mathscr{C}.
O
A
B
C
C\mathscr{C}
I
Dans un triangle équilatéral les bissectrices, hauteurs, médiatrices et médianes sont confondues, ainsi dans le triangle OABOAB, isocèle de sommet principal OO on a :
BAO^=602\widehat{BAO} = \dfrac{60}{2} == 30∘30\,^{\circ}, OBA^=30∘\widehat{OBA} = 30\,^{\circ} et BOA^\widehat{BOA} == 180−2×30180-2\times30 == 120∘120\,^{\circ}.
La droite (OC)(OC) étant un axe de symétrie pour le triangle ABCABC, le point II est le milieu de [AB][AB]. De plus le triangle OAIOAI étant rectangle en II, on a, d'après les formules de trigonométrie on obtient :
AI=AO×cos⁡(IAO^)AI=AO\times\cos(\widehat{IAO}) == 1×cos⁡(30)1\times\cos(30) == 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Le point II étant le milieu de [AB][AB], on a bien AB=2AIAB=2AI == 2×322\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} == 3\sqrt{3}. Remark 1 Toujours à l'aide des formules de trigonométrie OI=OA×sin⁡(IAO^)OI=OA\times\sin(\widehat{IAO}) == 1×sin⁡(30)1\times\sin(30) == 12\dfrac{1}{2}. 1.1Raisonnement n°1 On choisit la première extrémité AA de la corde sur le cercle. On construit le triangle équilatéral ABCABC dont un des sommets est cette extrémité de la corde. Le cercle est alors partagé en trois arcs de cercle, AB⌢\overset{\frown}{AB}, BC⌢\overset{\frown}{BC} et CA⌢\overset{\frown}{CA}, de même longueur 2π3\dfrac{2\pi}{3}.
Seul un de ces trois arcs de cercle, BC⌢\overset{\frown}{BC}, permet d'obtenir une corde de longueur supérieure à celle du côté du triangle lorsqu'on choisit un point dessus. Ainsi, la probabilité que la corde ait une longueur supérieure à celle du côté du triangle équilatéral est de 13\dfrac{1}{3}.
A
B
C
M
Déplacer les extrémités du segment et observer le changement de couleur 1.2Raisonnement n°2 On choisit, au hasard, un rayon [OP][OP] du cercle C\mathscr{C} et une corde [MN][MN] qui coupe perpendiculairement ce rayon en HH.
On considère alors le triangle équilatéral ABCABC, inscrit dans C\mathscr{C}, tel que (MN)(MN) et (BC)(BC) soient parallèles. On note II l'intersection entre (OP)(OP) et (BC)(BC), et on se rappelle (remarque 1) que OI=1OI=1.
O
A
P
B
C
M
N
I
H
On remarque que la longueur de la corde [MN][MN] est supérieure à celle de [BC][BC] lorsque HH, qui se trouve sur le segment [OP][OP] de longueur 11 est situé sur le segment [OI][OI] de longueur 12\dfrac{1}{2}.
Ainsi, la probabilité que la corde ait une longueur supérieure à celle du côté du triangle équilatéral est de 12\dfrac{1}{2}. 1.3Raisonnement n°3 Soit HH un point choisi au hasard à l'intérieur du disque ouvert délimité par le cercle C\mathscr{C} de centre OO et de rayon 11. On construit la corde [MN][MN] dont HH est le milieu.
Le triangle OMNOMN étant isocèle et (OH)(OH) étant une médiane de ce triangle, (OH)(OH) est également une hauteur est les droites (OH)(OH) et (MN)(MN) sont donc perpendiculaires.
On construit le triangle équilatéral (ABC)(ABC) tel que (BC)(BC) soit parallèle à (MN)(MN). La droite (OH)(OH) est par construction perpendiculaire à (BC)(BC) et puisque le triangle OBCOBC est isocèle, le point d'intersection II de (OH)(OH) et (BC)(BC), le pied de la hauteur issue de OO dans le triangle OBCOBC, est donc le milieu de [BC][BC] (hauteur et médiane passant par le sommet principal sont confondues dans un triangle isocèle).
Le point OO, centre du cercle inscrit de ABCABC, est également l'orthocentre puisque le triangle est équilatéral, et donc la droite (OI)(OI) est confondue avec la droite (AI)(AI). On peut conclure que OI=12OI=\dfrac{1}{2} grâce à la remarque 1.
On remarque que la longueur de la corde [MN][MN] est supérieure à celle de [BC][BC] lorsque HH, qui se trouve sur le segment [OP][OP] de longueur 11 est situé sur le segment [OI][OI] de longueur 12\dfrac{1}{2}.
O
A
P
B
C
M
N
I
H
Remark 2 La figure est identitique à celle du raisonnement n°2, mais les constructions ne sont font pas dans le même ordre et les objets n'ont pas les mêmes définitions au départ. 1.4Un autre raisonnement Les trois raisonnements précédents ont été donnés par le mathématicien Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) qui présente ce fameux problème dans son ouvrage Calcul des probabilités publié en 1889.
Cependant, on trouve souvent sur le web un autre raisonnement qui consiste à se dire que si on choisit au hasard une corde, son diamètre sera un nombre réel de l'intervalle [0;2][0\,;2]. En faisant l'hypothèse d'une distribution uniforme des longueurs des cordes dans [0;2][0\,;2], la probabilité que la longueur d'une corde soit inférieure à 3\sqrt{3} est de 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, et donc la probabilité de l'évènement contraire, à savoir que la longueur d'une corde soit supérieure à 3\sqrt{3} est de 1−321-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. 1.5Analyse du paradoxe Nous le voyons, sur les raisonnements de Joseph Louis François Bertrand que pour l'expression « choisir au hasard » n'est pas assez explicite, et que l'on peut entendre plusieurs « constructions » différentes du hasard, d'où le fait de déterminer plusieurs probabilités différentes.
Cependant, le raisonnement qui propose 1−321-\dfrac{\sqrt{3}}{2} comme probabilité pose problème, notamment dans le fait de considérer que les longueurs des diamètres soient réparties uniformément dans [0;2][0\,;2]. Nous allons donc, en nous entendant sur la méthode de choix « au hasard » des cordes montrer que celle-ci est tout autre.
Nous aurons besoin auparavant de définir un objet fondamental pour pouvoir faire facilement des calculs : le cercle trigonométrique. 2Cercle trigonométrique Dans un repère orthonormé du plan (O;I;J)(O\,;I\,;J), le cercle trigonométrique est le cercle de centre OO est de rayon 11.
Pour tout point M(xm;ym)M(x_m\,; y_m) du cercle trignométrique, on note θ\theta l'angle orienté (OI→;OM→)(\overrightarrow{OI}\,;\overrightarrow{OM}).
On définit alors le cosinus et le sinus de l'angle θ\theta par : cos⁡(θ)=xm\cos(\theta)=x_m et sin⁡(θ)=ym\sin(\theta) = y_m.
Lorsque les coordonnées de MM sont positives ces définitions correspondent à celles vues depuis le collège en trigonométrie.
0.20.40.60.811.2−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1.20.20.40.60.811.2−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1.2
M
O
cos(θ)
sin(θ)
θ
On voit ici que le MM est totalement déterminé la donné du seul nombre θ\theta. Le cercle est bien de dimension 11.
Ainsi, pour générer aléatoire un point sur le cercle, il suffira de générer un nombre « au hasard » dans l'intervalle [0;360][0\,;360] (en degrés) ou [0;2π][0\,;2\pi] en radians. 3Distribution des longueurs des cordes On génère deux points en choisissant deux angles aux hasard, en suivant la loi uniforme. On regarde si la longueur de la corde reliant ces deux points a une longueur supérieure à 3\sqrt{3} ou non. On répète l'opération 1000010\,000 fois et on affiche la fréquence de cas où cela se produit.
Python travaillant avec des angles en radians on génère les angles dans l'intervalle [0;2π][0\,;2\pi].
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Le résultat est proche de 13\dfrac{1}{3}.




Même résultat si on fixe la première extrémité de la corde (par exemple en (1;0)(1\,;0), on trouve un résultat équivalent :



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Toujours en générant des points du cercle trigonométrique, en générant des angles en suivant la loi uniforme, on construit ci-dessous un diagramme bâton pour la fréquence des cordes dont les longueurs sont comprises entre 00 et 0,20,2, puis 0,20,2 et 0,40,4 etc. jusqu'à entre 1,81,8 et 22.






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Même construction mais en fixant la première extrémité de la corde.



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Remark 3

Lorsqu'on génère les extrémités de la corde à l'aide d'un angle aléatoire, suivant la loi uniforme, pour chacune d'elle, les longueurs ne semblent pas être distribuées uniformément. On a l'impression sur les graphiques précédents, qu'il est beaucoup plus probables que la corde ait une longueur proche de 22.





Pour développer cette intuition on génère une graphique en découpant l'intervalle des longueurs [0;2][0\,;2], n'ont pas en 1010 mais en 100100.










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À partir de la même expérience on génère le diagramme des fréquences cumulées croissantes :





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On trace maintenant la courbe représentative de la fonction des longueurs des cordes [AM][AM] avec A(1;0)A(1\,;0) et M(cos⁡(θ);sin⁡(θ))M(\cos(\theta)\,;\sin(\theta)) avec θ∈[0;2π]\theta\in[0\,;2\pi].








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Remark 4

En fonction de l'angle θ\theta, la longueur ℓ\ell de la corde vaut :





	

		
        ℓ\ell
		
		
			 == 
			
		
        (1−cos⁡(θ))2+(0−sin⁡(θ))2\sqrt{ (1-\cos(\theta))^2+(0-\sin(\theta))^2 }
		
	

    
    

		
		
		
			 == 
			
		
        1−2cos⁡(θ)+cos⁡2(θ)+sin⁡(θ)2\sqrt{ 1-2\cos(\theta)+\cos^2(\theta)+\sin(\theta)^2 }
		
	

    
    

		
		
		
			 == 
			
		
        1−2cos⁡(θ)+1\sqrt{ 1-2\cos(\theta)+1 }
		
	

    
    

		
		
		
			 == 
			
		
        2−2cos⁡(θ)\sqrt{ 2-2\cos(\theta) }
		
	

    
    

		
		
		
			 == 
			
		
        2(1−cos⁡(θ))\sqrt{ 2(1-\cos(\theta)) }.
		
	











Tracé de la courbe de la fonction x↦2(1−cos⁡(x))x\mapsto\sqrt{2(1-\cos(x))} :



01234560.511.522.5−0.5





Remark 5


La fonction précédente est continue strictement croissante sur [0;π][0\,;\pi]. On s'intéresse alors à sa fonction réciproque sur cet intervalle, à savoir la fonction qui en fonction d'une longueur ℓ\ell donnée associe l'angle correspondant au point de la deuxième extrémité de la corde.




	

		
        2(1−cos⁡(θ))\sqrt{ 2(1-\cos(\theta)) }
		
		
			 == 
			
		
        ℓ\ell
		
	

    
    

		
        2(1−cos⁡(θ)) 2(1-\cos(\theta)) 
		
		
			 == 
			
		
        ℓ2\ell^2
		
	

    
    

		
        1−cos⁡(θ) 1-\cos(\theta) 
		
		
			 == 
			
		
        ℓ22\dfrac{\ell^2}{2}
		
	

    
    

		
        −cos⁡(θ) -\cos(\theta) 
		
		
			 == 
			
		
        ℓ22−1\dfrac{\ell^2}{2}-1
		
	

    
    

		
        cos⁡(θ) \cos(\theta) 
		
		
			 == 
			
		
        1−ℓ221-\dfrac{\ell^2}{2}
		
	

    
    

		
        θ \theta 
		
		
			 == 
			
		
        arccos⁡(1−ℓ22)\arccos\left(1-\dfrac{\ell^2}{2}\right).
		
	











Fonction réciproque sur [0;π][0\,;\pi] : g(x)=arccos⁡(1−x22)g(x)= \arccos\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right).






00.511.52−0.50.511.522.533.5−0.5
















Fonction de répartition pour des angles sur [0;π][0\,;\pi] : F(x)=1πarccos⁡(1−x22)F(x)= \dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right).



00.511.5−0.50.20.40.60.81




Remark 6

Cette courbe ressemble au diagramme bâtons des fréquences cumulées croissantes obtenu précédemment.




Remark 7

On note XX la variable aléatoire qui donne la longueur d'une corde du demi-cercle (puisque on est sur l'intervalle [0;π][0\,;\pi]). Pour tout x∈[0;2]x\in[0\,;2], on a alors :





P(X≤x)P(X\leq x) == F(x)F(x) == 1πarccos⁡(1−x22)\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right).




C'est-à-dire, par exemple, que : 




	

		
        P(X≤3)P(X\leq\sqrt{3})
		
		
			 == 
			
		
        1πarccos⁡(1−(3)22)\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{(\sqrt{3})^2}{2}\right)
		
	

    
    

		
        
		
		
			 == 
			
		
        1πarccos⁡(1−(3)22)\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{(\sqrt{3})^2}{2}\right)
		
	

    
    

		
        
		
		
			 == 
			
		
        1πarccos⁡(1−32)\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{3}{2}\right)
		
	

    
    

		
        
		
		
			 == 
			
		
        1πarccos⁡(−12)\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)
		
	

    
    

		
        
		
		
			 == 
			
		
        1π×2π3\dfrac{1}{\pi}\times\dfrac{2\pi}{3}
		
	

    
    

		
        
		
		
			 == 
			
		
        23\dfrac{2}{3}.
		
	





Ainsi, on a bien que P(X>3)P(X > \sqrt{3}) == 1−P(X≤3)1-P(X\leq\sqrt{3}) == 1−231-\dfrac{2}{3} == 13\dfrac{1}{3}.




Remark 8

La probabilité obtenue pour des angles sur [0;π][0\,;\pi] est en fait la même que pour des angles sur [0;2π][0\,;2\pi]. En effet, la fonction qui donne les longueurs en fonction des angles a une courbe symétrique par rapport à la droite d'équation x=πx=\pi. Ainsi, à chaque longueur donnée entre 00 et 2π2\pi correspondant exactement deux angles, ce qui, lorsqu'on analyse en fréquence ou probabilité, ne modifie pas les valeurs. En effet, multiplier par 22 puis diviser par 2π2\pi (deux angles sur [0;2π][0\,;2\pi]) revient à simplement diviser par π\pi (un angle sur [0;π][0\,;\pi]).


Remark 9


De manière générale, pour tout intervalle [ab][a\,b], avec a<ba < b des nombres de [0;2][0\,;2] :







	

		
        P(X∈[a;b])P(X\in[a\,;b])
		
		
			 == 
			
		
        F(b)−F(b)F(b)-F(b)
		
	

    
    

		

		
		
			 == 
			
		
        1πarccos⁡(1−b22)−1πarccos⁡(1−a22)\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{b^2}{2}\right)-\dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{a^2}{2}\right)
		
	

    
    

		

		
		
			 == 
			
		
        1π(arccos⁡(1−b22)−arccos⁡(1−a22))\dfrac{1}{\pi}\left(\arccos\left(1-\dfrac{b^2}{2}\right)-\arccos\left(1-\dfrac{a^2}{2}\right)\right).
		
	








Exemple 1


En utilisant une calculatrice, on trouve que la probabilité qu'une corde ait une longueur compris entre 1,91,9 et 22 est de :





P(X∈[1,9;2])P(X\in[1,9\,;2]) == 1π(arccos⁡(1−222)−arccos⁡(1−1,922))\dfrac{1}{\pi}\left(\arccos\left(1-\dfrac{2^2}{2}\right)-\arccos\left(1-\dfrac{1,9^2}{2}\right)\right) ≈\approx 0,2020,202.





De même :

P(X∈[1;2])P(X\in[1\,;2]) == 23\dfrac{2}{3}.




Il est donc deux fois plus probable qu'une corde ait une longueur supérieure à 11 que le contraire.















Fonction de densité




La fonction de densité fdf_d de la variable aléatoire XX vérifie, pour tout x∈[0;2]x\in[0\,;2], fd(x)=F′(x)f_d(x)=F'(x).




Or, arccos⁡′(x)\arccos'(x) == −11−x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} et arccos⁡′(u)\arccos'(u) == −u′1−u2-\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.




On a donc :



		>
		

	

		
        fd(x)f_d(x)
		
		
		
        =F′(x)= F'(x)
		
	

    
    

		
        
		
        =(1πarccos⁡(1−x22))′= \left( \dfrac{1}{\pi}\arccos\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)  \right)'
		
	

    
    

		
        
		
		
		
        =1π−(−x)1−(x22)2= \dfrac{1}{\pi}\dfrac{-(-x)}{\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{2}\right)^2}}
		
	

    
    

		
        
		
		
		
        =1πx1−x44= \dfrac{1}{\pi}\dfrac{x}{\sqrt{1-\frac{x^4}{4}}}.
		
	








00.511.5−0.551015202530354045−5






Remark 10

Ce graphique ressemble bien aux digrammes bâtons que nous avons tracés pour analyser la répartition des longueurs des cordes.