--> Rotation et homothétie On considère dans le plan complexe le carré ABCDABCD dont les sommets ont pour affixes :
zA=1+iz_A=1+\text{i}      zB=1+iz_B=-1+\text{i}      zC=1iz_C=-1-\text{i}      zD=1iz_D=1-\text{i}.



La forme exponentielle de chacune des affixes est :
zA=2eiπ4z_A = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}     zB=2ei3π4z_B = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}     zC=2ei3π4z_C = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}     zD=2eiπ4z_D = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}

On va transformer chacun de ces points en effectuant une rotation de centre OO et d'angle α\alpha.
Pour cela il suffit de multiplier leur affixe par eiα\text{e}^{\text{i}\alpha} : en effet, le module de la nouvella affixe restera inchangé (on sera donc sur un même cercle de centre OO) et l'argument augmentera de α\alpha (on aura bien tourné d'un angle α\alpha).
Notons AA', BB', CC' et DD' les images des points AA, BB, CC et DD dans la rotation de centre OO et d'angle α\alpha.
On a alors :
zA=zA×eiαz_{A'}=z_A\times\text{e}^{\text{i}\alpha} == 2eiπ4×eiα\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\times\text{e}^{\text{i}\alpha} == 2ei(π4+α)\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{\pi}{4}+\alpha \right)}.
zB=zB×eiαz_{B'}=z_B\times\text{e}^{\text{i}\alpha} == 2ei3π4×eiα\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}\times\text{e}^{\text{i}\alpha} == 2ei(3π4+α)\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{3\pi}{4}+\alpha \right)}.
zC=zC×eiαz_{C'}=z_C\times\text{e}^{\text{i}\alpha} == 2ei3π4×eiα\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}\times\text{e}^{\text{i}\alpha} == 2ei(3π4+α)\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( -\frac{3\pi}{4}+\alpha \right)}.
zD=zD×eiαz_{D'}=z_D\times\text{e}^{\text{i}\alpha} == 2eiπ4×eiα\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}\times\text{e}^{\text{i}\alpha} == 2ei(π4+α)\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( -\frac{\pi}{4}+\alpha \right)}.

Et on transforme ces nouveaux points en effectuant l'homothétie de centre OO et de rapport kRk\in\mathbb{R}.
Il suffit pour cela de simplement multiplier les affixes par kk.
En effet, si le point M(z)M'(z') et l'image de M(z)M(z) dans l'homothétie de centre OO et de rapport kk, on a alors :
OM=kOM\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM} \Longleftrightarrow zMzO=k(zMzO)z_{M'}-z_O = k(z_M-z_O) \Longleftrightarrow zM=k×zMz_{M'}=k\times z_M.
Notons AA'', BB'', CC'' et DD'' les images des points AA', BB', CC' et DD' dans l'homothétie de centre OO et de rapport kk.
On a alors :

zA=kzAz_{A''} = kz_{A'} == k2ei(π4+α)k\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{\pi}{4}+\alpha \right)} == k2(cos(π4+α)+isin(π4+α))k\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)+\text{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right) \right).

zB=kzBz_{B''} = kz_{B'} == k2ei(3π4+α)k\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{3\pi}{4}+\alpha \right)} == k2(cos(3π4+α)+isin(3π4+α))k\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}+\alpha\right)+\text{i}\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}+\alpha\right) \right).

zC=kzCz_{C''} = kz_{C'} == k2ei(3π4+α)k\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( -\frac{3\pi}{4}+\alpha \right)} == k2(cos(3π4+α)+isin(3π4+α))k\sqrt{2}\left( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}+\alpha\right)+\text{i}\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}+\alpha\right) \right).

zD=kzDz_{D''} = kz_{D'} == k2ei(π4+α)k\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( -\frac{\pi}{4}+\alpha \right)} == k2(cos(π4+α)+isin(π4+α))k\sqrt{2}\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)+\text{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right) \right).

Dans l'algorithme ci-dessous, on prend α=π10\alpha = \dfrac{\pi}{10} et k=0,7k=0,7.

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On propose maintenant d'animer plusieurs transformations successives en prenant α=0,1\alpha=0,1 et k=0.91k=0.91.

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