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Rotation et homothétie
On considère dans le plan complexe le carré $ABCD$ dont les sommets ont pour affixes :
$z_A=1+\text{i}$ 4 $z_B=-1+\text{i}$ 4 $z_C=-1-\text{i}$ 4 $z_D=1-\text{i}$.
Xmin = -1.5
Xmax = 1.5
Ymin = -1.5
Ymax = 1.5
traceG()
traceX()
traceY()
A = [1,1]
B = [-1,1]
C = [-1,-1]
D = [1,-1]
texte("O",[-0.12,-0.12])
point(A);texte("A",[1.05,1.05])
point(B);texte("B",[-1.15,1.05])
point(C);texte("C",[-1.15,-1.15])
point(D);texte("D",[1.05,-1.15])
trait = 2
segment(A,B)
segment(A,D)
segment(C,B)
segment(C,D)
La forme exponentielle de chacune des affixes est :
$z_A = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 4$z_B = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 4$z_C = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 4$z_D = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$
On va transformer chacun de ces points en effectuant une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$.
Pour cela il suffit de multiplier leur affixe par $\text{e}^{\text{i}\alpha}$ : en effet, le module de la nouvella affixe restera inchangé (on sera donc sur un même cercle de centre $O$) et l'argument augmentera de $\alpha$ (on aura bien tourné d'un angle $\alpha$).
Notons $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ les images des points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans la rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$.
On a alors :
$z_{A'}=z_A\times\text{e}^{\text{i}\alpha}$ $=$ $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\times\text{e}^{\text{i}\alpha}$ $=$ $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{\pi}{4}+\alpha \right)}$.
$z_{B'}=z_B\times\text{e}^{\text{i}\alpha}$ $=$ $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}\times\text{e}^{\text{i}\alpha}$ $=$ $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{3\pi}{4}+\alpha \right)}$.
$z_{C'}=z_C\times\text{e}^{\text{i}\alpha}$ $=$ $\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}\times\text{e}^{\text{i}\alpha}$ $=$ $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( -\frac{3\pi}{4}+\alpha \right)}$.
$z_{D'}=z_D\times\text{e}^{\text{i}\alpha}$ $=$ $\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}\times\text{e}^{\text{i}\alpha}$ $=$ $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left( -\frac{\pi}{4}+\alpha \right)}$.
Et on transforme ces nouveaux points en effectuant l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k\in\mathbb{R}$.
Il suffit pour cela de simplement multiplier les affixes par $k$.
En effet, si le point $M'(z')$ et l'image de $M(z)$ dans l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, on a alors :
$\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$
$\Longleftrightarrow$ $z_{M'}-z_O = k(z_M-z_O)$ $\Longleftrightarrow$ $z_{M'}=k\times z_M$.
Notons $A''$, $B''$, $C''$ et $D''$ les images des points $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ dans l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.
On a alors :
On propose maintenant d'animer plusieurs transformations successives en prenant $\alpha=0,1$ et $k=0.91$.
Xmin = -1
Xmax = 1
Ymin = -1
Ymax = 1
// Le carré initial
var A = [1,1]
var B = [-1,1]
var C = [-1,-1]
var D = [1,-1]
segment(A,B)
segment(A,D)
segment(C,B)
segment(C,D)
// La fonction de transformation
function transf(P,a,k){
var Q = [0,0]
modP = racineCarrée(P[0]*P[0]+P[1]*P[1])
cosaP = P[0]/modP
sinaP = P[1]/modP
Q[0] = modP*k*( cosaP*cos(a)-sinaP*sin(a) )
Q[1] = modP*k*( sinaP*cos(a)+sin(a)*cosaP )
return Q;
}
var a = 0.1
var k = 0.91
function evolution(){
A = transf(A,a,k)
B = transf(B,a,k)
C = transf(C,a,k)
D = transf(D,a,k)
segment(A,B)
segment(A,D)
segment(C,B)
segment(C,D)
}
setInterval(function (){evolution()},500)