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Spécialité mathématique Calculs algébriques Écrire les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles.
$a=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{9}{5}$ $b=-\dfrac{8}{15}\times\dfrac{25}{62}$
$c=\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{4}$ $d=-\dfrac{3}{5}+4$
$e=\dfrac{1}{\frac{3}{7}}$ $f=\dfrac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{3}}$
Développer réduire et ordonner les expressions suivantes.
$f(x)=(x+3)^2$ $g(t)=(2t-1)^2$
$h(x)=(x+5)(x-5)$ $i(x)=(3x-\sqrt{7})(3x+\sqrt{7})$
$j(t)=\left(\dfrac{1}{5}-t \right)(6-t)$ $k(x)=3(2x-6)(9x+8)$
$\ell(x)=(6x+4)(x^2-2x+3)$ $m(x)=\dfrac{1}{3}x(3x-5)^2$
Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{2}$, avec $a\in\mathbb{Q}$.
$x_1 = \sqrt{8}$ $x_2 = \sqrt{162}$
$x_3 = \sqrt{162}-\sqrt{50}$ $x_4 = 3\sqrt{2}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
  1. Montrer que $(a+b)^2-(a-b)^2$ $=$ $4ab$.
  2. Montrer que $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ $=$ $2(a+b)$.
Résoudre les équations et inéquations suivants :
  1. $2x-5 = 9-7x$
  2. $4(8-3x)+5 \geq 0$
  3. $|x|=5$
  4. $|x|=-1$
  5. $|x+1|=3$
  6. $|3-2x| < 5$
  7. $x^2=8$
  8. $2x^2-3 \geq 1$
La décomposition en facteurs premiers de $1\,452$ est $2^2\times3\times11^2$.
Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres ci-dessous :
$n_1 = 30$ $n_2 = 108$
$n_3 = 997$ $n_4 = 1\,260$
$n_5 = 2\,058$ $n_6 = 1\,132$
Étude de fonctions On considère une fonction $f$ définie sur $[-3\,;2]$ dont on donne la courbe représentative dans un repère du plan.
  1. Quelle est l'image de $-1,5$ par la fonction $f$?
  2. Quelle est l'image de 0 par la fonction $f$?
  3. Quelle est l'image de 1 par la fonction $f$?
  4. Trouver les antécédents de 6.
  5. Trouver les antécédents de 1.
  6. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)= 0$.
  7. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=-2$.
  8. Donner le tableau de signes de la fonction $f$.
  9. Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
  10. Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.
  11. Quelles sont les valeurs maximales et minimales de cette fonction ?
Partie A
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$. On donne leur représentation graphique dans le repère ci-dessous.
  1. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersections entre les deux courbes.
  2. Déterminer graphiquement leur position relative.
Partie B
Pour tout réel $x$ nous avons $f(x)=x^2-2x+1$ et $g(x)=x^2+2x-3$.
  1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersections entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  2. Déterminer par le calcul la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Soient $f$ et $g$ les deux fonctions affines définies pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x-4$ et $g(x)=-x+3$.
  1. Construire dans un repère du plan les droites représentants les fonctions $f$ et $g$.
  2. Déterminer graphiquement, puis par le calcul les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
Dans le repère ci-dessous ont été tracées les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ de fonctions affines $f$, $g$ et $h$.
Déterminer les expressions algébriques (c'est-à-dire une expression de la forme $ax+b$) de chacune de ces fonctions.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-x^2-6x-5$.
  1. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=4-(x+3)^2$.
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=(-5-x)(x+1)$.
  3. En choisissant l'écriture la plus adaptée pour $f$ :
    1. résoudre $f(x)=0$,
    2. résoudre $f(x)>0$,
    3. déterminer la valeur maximale de $f(x)$.
  1. Compléter le tableau de signes ci-dessous :

    $x$ $-\infty$ $\dfrac{1}{2}$ $\dots$ $+\infty$ $2x-1$ 0 barre $-x+3$ barre barre $(2x-1)(-x+3)$ barre barre

  2. Résoudre l'inéquation : $(-5-3x)(4x+2)\geq0$.
Probabilités Une enquête portant sur 5 000 clients d'une société spécialisée en informatique a montré que 80 % des clients avaient bénéficié des conseils d'un vendeur. De plus, 70 % des clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat, alors que 20 % seulement des clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur on effectué un achat.
  1. Combien de clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur ?
    1. Montrer que 4 000 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur.
    2. En déduire que 2 800 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur et ont effectué un achat.
  3. On a commencé à remplir le tableau ci-dessous résumant la situation décrite et dans lequel figure une donnée dans la case grisée.
    1. Décrire par une phrase ce que signifie le nombre "3 000" indiqué dans cette case grisée.
    2. Compléter le tableau ci-dessous.

    Ont effectué un achat N'ont pas effectué d'achat Total
    Ont bénéficié des conseils d'un vendeur
    N'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur
    Total 3 000 5 000

  4. On interroge au hasard un des clients sur lequel a porté l'enquête et on admet qu'il y a équiprobabilité des choix. On considère les événements suivants :
    1. Déterminer la probabilité de l'événement $A$, puis celle de l'événement $\overline{A}$.
    2. Décrire par une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$.
    3. Calculer les probabilités des événements $A\cap B$ et $A\cup B$.
    4. On interroge au hasard un des clients qui a effectué un achat et on admet qu'il y a équiprobabilité des choix. Quelle est la probabilité qu'il ait bénéficié des conseils d'un vendeur ?
Une urne contient 25 boules : 11 blanches et 14 bleues.
Chacune de ces boules et soit marquée du numéro $1$, soit marquée du numéro $3$ indépendamment de sa couleur. On sait que 40 % des boules portent le numéro $1$ et que 3 boules blanches portent le numéro $3$.
On choisit une boule au hasard dans cette urne, on suppose que les tirages sont équiprobables, et on note :
  1. Quelle est la probabilité $P(W)$ qu'une boule soit blanche ?
  2. Décrire par une phrase l'événement $\overline{U}$. Déterminer ensuite $P( \overline{U} )$.
  3. Décrire par une phrase l'événement $W\cap U$ et calculer ensuite $P( W\cap U )$.
  4. Calculer à l'aide d'une formule du cours : $P( W\cup U )$.
  5. Dans cette question, on tire une boule dans l'urne, on note son numéro, on la remet dans l'urne, on mélange les boules et on fait un nouveau tirage en notant le numéro de cette deuxième boule. On obtient alors un nombre à deux chiffres, dont le le chiffre des dizaines est le numéro de la première boule tirée et le chiffre des unités celui de la deuxième.
    1. Quels sont les nombres que l'on peut obtenir après ces deux tirages ?
    2. Quelle est la probabilité d'obtenir $13$ ?
On possède une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
  1. On lance souhaite lancer deux fois la pièce de monnaie. On représente l'ensemble des possibilités à l'aide de l'arbre suivant :
    1. Donner tous les résultats possibles que l'on peut obtenir. On pourra noter par exemple $PF$ l'événement qui a donné "pile" au premier lancer et "face" au deuxième.
    2. Quelle est la probabilité d'obtenir $FF$ ?
    3. Quelle est la probabilité d'obtenir deux résultats identiques lors des deux lancers ?
  2. On lance cette fois-ci trois fois cette pièce de monnaie.
    1. Construire, à la façon de la question précédente, un arbre illustration la situation.
    2. Quelle est la probabilité d'obtenir $FFF$ ?
    3. Quelle est la probabilité d'obtenir deux piles ?
    4. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair de faces ?
Géométrie repérée Dans un repère orthonormé du plan on considère les points $A(-2;-1)$, $B(0;4)$, $C(5;2)$ et $D(3;-3)$.
  1. Compléter le graphique donné ci-dessous.
  2. Déterminer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
  3. Quelle est la nature du triangle $ABC$. La réponse sera justifiée.
  4. Déterminer les coordonnées du milieu de $[AC]$.
  5. Déterminer les coordonnées du milieu de $[BD]$.
  6. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
Soient $M(11;16)$, $N(-3;0)$, $R(-4;-5)$ et $S(3;3)$ quatre points d'un repère du plan.
  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{RS}$.
  2. Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{RS}$ sont-ils colinéaires ?
  3. Que peut-on en déduire pour les droites $(MN)$ et $(RS)$ ?
Soient $A(2;0)$, $B(5;1,2)$ et $C(19;5)$.
  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ?
  2. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? On pourra utiliser les résultats de la question précédente.
Dans un repère orthonormé du plan ci-dessous, on considère les points $A(-3;4)$, $B(3;0)$, $C(9;3)$ et $D(3;8)$.
  1. Construire une figure en plaçant les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
  2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$.
  3. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
  4. Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AD}$.
  5. Déterminer les longueurs $AB$ et $BE$ et en déduire la nature du quadrilatère $ABED$.
Programmation en Python Modifier la valeur initiale de la variable a pour que l'algorithme ci-dessous affiche le message "You win !" à la place de "You lose.".

a = 0 b = 2*a -3 if b == 0: print("You win !") else: print("You lose.")
Modifier la valeur initiale de n pour que l'algorithme affiche 5050.

n = 8 s = 0 for i in range(0,n+1): s = s + i print(s)
L'algorithme ci-dessous affiche tous les nombres pairs de 0 jusqu'à 20. Modifier le pour qu'il affiche tous les nombres pairs de 0 jusqu'à 100.

for k in range(0,11): print(2*k)
En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un algorithme qui affiche tous les entiers impairs de 1 jusqu'à 99.

Compléter la ligne p= de l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche la valeur de $1\times2\times3\times\cdots\times100$, en n'écrivant qu'une seule fois l'instruction "*".

p = 1 for i in range(1,101): p = print(p)