--> Mathématiques ∼ Entrée en première technologique Probabilités/Statistiques Un restaurant propose dans son menu trois formules : On note le choix des clients venus pour déjeuner à midi (ensemble noté $M$) ou pour dîner le soir (ensemble noté $S$).
Les effectifs sont répertoriés dans le tableau ci-dessous.
Formule A Formule B Formule C Total
Déjeuner $M$ 27 31 75
Dîner $S$ 12 20 53 85
Total 39 51 70 160
  1. Quel effectif doit-on écrire dans la case vide du tableau ?
    1. Calculer la fréquence en pourcentage des clients ayant choisi la formule A parmi ceux qui sont venus déjeuner à midi.
    2. Montrer que la fréquence en pourcentage de clients venus dîner le soir parmi ceux qui ont choisi la formule B est au dixième prêt égal à 39,2 %.
  3. Calculer la fréquence en pourcentage de clients ayant déjeuné le midi dans ce restaurant.
  4. Le patron du restaurant déclare : "J'ai une carte des desserts très attractive car plus des trois quarts des clients choisissent une formule avec dessert."
    A-t-il raison ? Justifier.
Une enquête portant sur 5 000 clients d'une société spécialisée en informatique a montré que 80 % des clients avaient bénéficié des conseils d'un vendeur. De plus, 70 % des clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat, alors que 20 % seulement des clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur on effectué un achat.
  1. Combien de clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur ?
    1. Montrer que 4 000 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur.
    2. En déduire que 2 800 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur et ont effectué un achat.
  3. On a commencé à remplir le tableau ci-dessous résumant la situation décrite et dans lequel figure une donnée dans la case grisée.
    1. Décrire par une phrase ce que signifie le nombre "3 000" indiqué dans cette case grisée.
    2. Compléter le tableau ci-dessous.

    Ont effectué un achat N'ont pas effectué d'achat Total
    Ont bénéficié des conseils d'un vendeur
    N'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur
    Total 3 000 5 000

  4. On interroge au hasard un des clients sur lequel a porté l'enquête et on admet qu'il y a équiprobabilité des choix. On considère les événements suivants :
    1. Déterminer la probabilité de l'événement $A$, puis celle de l'événement $\overline{A}$.
    2. Décrire par une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$.
    3. Calculer les probabilités des événements $A\cap B$ et $A\cup B$.
    4. On interroge au hasard un des clients qui a effectué un achat et on admet qu'il y a équiprobabilité des choix. Quelle est la probabilité qu'il ait bénéficié des conseils d'un vendeur ?
On possède une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
  1. On lance souhaite lancer deux fois la pièce de monnaie. On représente l'ensemble des possibilités à l'aide de l'arbre suivant :
    1. Donner tous les résultats possibles que l'on peut obtenir. On pourra noter par exemple $PF$ l'événement qui a donné "pile" au premier lancer et "face" au deuxième.
    2. Quelle est la probabilité d'obtenir $FF$ ?
    3. Quelle est la probabilité d'obtenir deux résultats identiques lors des deux lancers ?
  2. On lance cette fois-ci trois fois cette pièce de monnaie.
    1. Construire, à la façon de la question précédente, un arbre illustration la situation.
    2. Quelle est la probabilité d'obtenir $FFF$ ?
    3. Quelle est la probabilité d'obtenir deux piles ?
    4. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair de faces ?
Calculer :
10% de 14 23% de 1540 2% de 1000 000
50% de 11 120% de 13 25% de 540
67% de 200 500% de 178 46% de 100
Voici des salaires suivis d'une augmentation ou d'une diminution. Trouver le nouveau salaire après évolution.
  1. Salaire : 1000 € Augmentation : 3%
  2. Salaire : 1500 € Diminution : 7%
  3. Salaire : 5000 € Augmentation : 1,5%
  4. Salaire : 2300 € Diminution : 4,2%
  1. Dans un village, on dénombre 301 femmes qui représentent 52% de la population. Déterminer le nombre d'habitants.
  2. Dans un entreprise 35% des salariés sont fumeurs. Parmi ceux-ci, 63% sont des femmes. Or on dénombre 17 femmes qui sont des fumeuses. Déterminer le nombre total de salariés de cette entreprise.
Les prix suivants résultent d'une augmentation, ou d'une baisse que l'on donne. Trouver le prix initial.
50 € ; 10% 200 € ; 20% 1234 € ; 5%
73 € ; -12% 456 € ; 200% 10 200 € ; -8,2%
  1. Expliquer le rôle de l'algorithme ci-dessous.
  2. Modifier l'instruction "t = float(randint(-13,13))" pour générer des taux non plus entier, mais avec un chiffre après la virgule.
Fonctions On considère une fonction $f$ définie sur $[-3\,;2]$ dont on donne la courbe représentative dans un repère du plan.
  1. Quelle est l'image de $-1,5$ par la fonction $f$?
  2. Quelle est l'image de 0 par la fonction $f$?
  3. Quelle est l'image de 1 par la fonction $f$?
  4. Trouver les antécédents de 6.
  5. Trouver les antécédents de 1.
  6. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)= 0$.
  7. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=-2$.
  8. Donner le tableau de signes de la fonction $f$.
  9. Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
  10. Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.
  11. Quelles sont les valeurs maximales et minimales de cette fonction ?
Soient $f$ et $g$ les deux fonctions affines définies pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x-4$ et $g(x)=-x+3$.
  1. Construire dans un repère du plan les droites représentants les fonctions $f$ et $g$.
  2. Déterminer graphiquement, puis par le calcul les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
Dans le repère ci-dessous ont été tracées les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ de fonctions affines $f$, $g$ et $h$.
Déterminer les expressions algébriques (c'est-à-dire une expression de la forme $ax+b$) de chacune de ces fonctions.
  1. Compléter le tableau de signes ci-dessous :

    $x$ $-\infty$ $\dfrac{1}{2}$ $\dots$ $+\infty$ $2x-1$ 0 barre $-x+3$ barre barre $(2x-1)(-x+3)$ barre barre

  2. Résoudre l'inéquation : $(-5-3x)(4x+2)\geq0$.
Programmation en Python Modifier la valeur initiale de la variable a pour que l'algorithme ci-dessous affiche le message "You win !" à la place de "You lose.".

a = 0 b = 2*a -3 if b == 0: print("You win !") else: print("You lose.")
Modifier la valeur initiale de n pour que l'algorithme affiche 5050.

n = 8 s = 0 for i in range(0,n+1): s = s + i print(s)
L'algorithme ci-dessous affiche tous les nombres pairs de 0 jusqu'à 20. Modifier le pour qu'il affiche tous les nombres pairs de 0 jusqu'à 100.

for k in range(0,11): print(2*k)
En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un algorithme qui affiche tous les entiers impairs de 1 jusqu'à 99.

Compléter la ligne p= de l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche la valeur de $1\times2\times3\times\cdots\times100$, en n'écrivant qu'une seule fois l'instruction "*".

p = 1 for i in range(1,101): p = print(p)
QCM
  1. Augmenter une quantité de 12 % revient à la multiplier par :
    □ 1,2
    □ 0,12
    □ 1,12
    □ 12

  2. Si l'on augmente la valeur 220 de 10 %, on obtient:
    □ 242
    □ 240
    □ 244,2
    □ 244

  3. Le prix au kilogramme des tomates est passé de 1,20 € à 1,08 €. Cela représente une baisse de :
    □ 12 %
    □ 8 %
    □ 10 %
    □ 20 %

  4. L'équation $x^2 = 144$ admet pour solution(s) dans $\mathbb{R}$ :
    □ $-12$
    □ $12$
    □ $- 12$ et $12$
    □ 72

  5. L'expression algébrique $3x - 6$ est positive pour tout nombre réel $x$ vérifiant:
    □ $x\geqslant 2$
    □ $x\leqslant2$
    □ $x\geqslant - 2 $
    □ $x\leqslant - 2$

  6. L'inéquation $x^2 \geqslant 9$ a pour ensemble-solution:
    □ $]-\infty~;~ 3]$
    □ $[- 3~;~ +\infty[$
    □ $[-3~;~ 3]$
    □ $]- \infty~;~-3] \cup [3~;~+ \infty[$}

  7. On s'intéresse au tableau d'évolution des prix du carburant sur une période allant de janvier à août:
    Mois Janvier Février Mars Avril Juin Juillet Août
    Indice $100$ $103$ $107$ $110$ $104$ $99$ $103$

    Sur la période allant du mois de février au mois d'août, le prix du carburant a toujours:
    □ Baissé
    □ Augmenté
    □ Stagné
    □ Aucune des réponses précédentes

  8. On considère le tableau de la question précédente.
    Entre le mois d'avril et le mois de juillet, le prix du carburant a baissé de :
    □ 11 %
    □ 10 %
    □ 9 %
    □ 8 %

  9. Une solution dans $\mathbb{R}$ de l'équation $x^2- 2x - 3 = 0$ est :
    □ 0
    □ 1
    □ 2
    □ 3

  10. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (4x - 8)(7x +7) $ admet pour tableau de signes:
    □ 2 $x$ $-\infty$ $-2$ $-1$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$
    □ 2 $x$ $-\infty$ $-1$ $2$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$
    □ 2 $x$ $-\infty$ $-1$ $2$ $+\infty$ $f(x)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$
    11. □ 2 $x$ $-\infty$ $-2$ $-1$ $+\infty$ $f(x)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x - 5 = 7$.

  2. Une veste coûte 80 €. On obtient une remise de 20 % sur son prix. Quel est le montant de la remise ?

  3. Le chiffre d'affaires d'une entreprise pour l'année 2019 est de 10 000 €. Le chef d'entreprise prévoit une diminution de 5 % de ce chiffre d'affaires en 2020. Calculer le chiffre d'affaires prévisible pour 2020.

  4. Développer et réduire l'expression $(x - 3)^2$.

  5. Quel est le signe de la fonction affine $f$ définie par $f(x) = - 2x + 8$ lorsque $x > 4$ ?

  6. Exprimer sous la forme d'une puissance de $2$ : $\dfrac{2^{10}}{2 \times 2^3}$.

  7. Déterminer la valeur de l'entier positif $n$ tel que: $10^n < 2\,019 < 10^{n+1}$.

  8. Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x^2 +1$. Calculer l'image de 2 par $f$.

  9. Peut-on dire que la droite d'équation $y = 3x - 1$ passe par le point de coordonnées $(2;1)$ ?

  10. On considère la fonction $f$ représentée par la courbe ci-dessous:
    Avec la précision permise par le graphique, lire l'image de $- 1$ par $f$.