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Spécialité mathématique
Exercice 1
Écrire les expressions suivantes sous la forme a+bc, avec a, b et c des entiers.
A=596+24+254
B=20×80×45
C=(47+32)2
D=(22−7)2
E=(1+2)3
F=1+32−3
G=(3−36)(3+36)
H=91602490
30 11
Exercice 2A=2−3+29−4+9+1
B=7−10÷710−329−1−6
16 6
Exercice 3
Montrer que les égalités suivantes sont vraies.
Pour tout réels a et b, 21((a+b)2+(a−b)2)=a2+b2.
Pour tout réels a et b, 41((a+b)2−(a−b)2)=ab.
Pour tout réels a et b, (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3.
Pour tout réels a et b(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
Pour tout entier n≠0, n2+n1=n1−n+11.
Pour tout entier n≠0, n3+3n2+2n1=n1/2−n+11+n+21/2.
Pour tout réel x≠31, 3x+19x2−1=3x−1.
Pour tout entier n≥1, (xn−xn−1)(xn+xn−1)=x2n−2(x−1)(x+1).
Pour tout réels x et y non nuls, xy2−x1−yx=y(y+x)x.
8 11
Exercice 4
Résoudre le système d'équations suivant : {3x−2yx+y==51
Résoudre le système d'équations suivant : {7x+6y3x+9y==4639
15 13
Exercice 5
Pour chacune des suites u suivantes, calculer :
(a) le troisième terme ;
(b) le terme de rang 3 ;
(c) u4.
u est une suite de premier terme u1=−5, et dont chaque terme (sauf le premier) est égal à l'inverse du précédent.
u est la suite définie pour n≥0 par : un=31n+9.
u est la suite définie pour n≥2 par :
{u2=−6Pour tout n≥2 : un+1=54un.
7 16
Exercice 6
Soit (un) la suite arithmétique telle que u0=2 et de raison r=4. Déterminer u2012.
Soit (vn) la suite géométrique telle que v0=1 et de raison r=1,1. Déterminer v2012
.
10 3
Exercice 7
Soit (an) la suite arithmétrique de raison −21 telle que a7=12.
Calculer a6, a5, puis a0.
8 1
Exercice 8
Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région.
Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8 % des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.
Quelle valeur prend la variable n après exécution de cet algorithme ? On pourra utiliser la fonction print.
Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite (Cn) le terme Cn donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année 2014+n. Ainsi C0=300 est le nombre de colonies en 2014.
Exprimer pour tout entier n le terme Cn+1 en fonction de Cn.
On considère la suite (Vn) définie pour tout entier n par Vn=625−Cn.
Montrer que pour tout nombre entier n on a Vn+1=0,92×Vn.
En déduire que pour tout entier naturel n, on a Cn=625−325×0,92n.
L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien
d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ?
Donner une réponse à cette question de l'apiculteur.
1 23
Exercice 9
Dans le graphique ci-dessous on a tracé la courbe représentative C d'une fonction f, ainsi que les droites (AB) et (ED) qui sont tangentes à C respectivement en 0 et 1,7.
On a de plus les coordonnées suivantes :
A(−6;6), B(0;6), C(1,7;1,5), D(−1;5) et E(6;−4).
0,0
C
D
E
A
B
Déterminer graphiquement f(0), f′(0), f(1,7) et f′(1,7).
3 0
Exercice 10
Déterminer l'expression des dérivées des fonctions ci-dessous.
f(x)=2x−2.
g(x)=x2+1.
h(x)=3x2.
i(t)=4t2−3t+8.
j(x)=x3−2x2+5x−6.
k(x)=32x3+4.
l(x)=41x3+21x2−31x−5.
m(t)=0,3t3−0,5t2+t−1.
n(x)=(2x+3)(5−x).
p(x)=(3x5−4x3+3x−1)(3x+4).
q(x)=x7.
r(t)=3t.
s(x)=(x+1)x.
t(x)=x+3x+1.
u(x)=5−2x3x−1.
v(x)=2x+7x2−1.
12 2
Exercice 11
Résoudre les équations suivantes :
t2+7t+10=0.
−66z2+43z+9=0.
−t2+9t=0.
5 0
Exercice 12
Étudier le signe du polynôme P(x)=x2+6x+5 sur I=[0;5].
Étudier le signe du polynôme Q(x)=x2+4x+4 sur I=[−5;5].
Étudier le signe du polynôme R(x)=x2+4x+2 sur I=R.
8 0
Exercice 13
On considère la fonction g définie sur I=[−2;10] par
g(t)=−t−34t+2.
Justifier que g est définie et dérivable sur I.
Déterminer g′(t) pour tout t∈[−2;10].
En déduire le sens de variations de g sur I.
Étudier le sens de variations de q définie par q(x)=x3+3x2−9x−9
sur [−10;10].
2 2
Exercice 14
Déterminer les racines des polynômes :
P(x)=8x+16+x2.
Q(x)=8x+x2−4.
R(x)=−4+4x2.
S(x)=2x2−8.
T(x)=6x−5−x2.
U(x)=−7x2−5x.
2 2
Exercice 15
Étudier le sens de variations de q définie par
q(x)=3x3+81x2+729x−3 sur R.
On considère la fonction f définie par f(x)=−2x+25x−2.
Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
Déterminer f′(x) pour tout x∈D′f.
Dresser le tableau de variations de f sur Df.
0 3
Exercice 16
Simplifier les expressions suivantes :
e5×e3×e8
(e6)8
e12×ee5
(ee2×e4)4
8 3
Exercice 17
Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous.
f(x)=ex.
g(x)=e3x.
h(x)=e7−2x.
i(x)=ex2+1.
j(t)=5e1−2t.
k(x)=(x+1)ex.
ℓ(t)=3t−11−et.
4 9
Exercice 18
Résoudre les équations et inéquations suivantes sur R.
ex=e5.
e3t+4=e2.
e5x=e.
e2x+1=1.
ex<1.
e3x≥e2.
2 2
Exercice 19
La pharmacocinétique étudie l'évolution d'un médicament après son administration dans l'organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c'est-dire sa concentration dans le plasma.
On étudie dans cet exercice l'évolution de la concentration plasmatique chez un patient d'une même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.
On note g(t) la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par litre (µg.L−1), au bout de t heures après ingestion par voie orale.
Le modèle mathématique est : g(t)=20(e−0,1t−e−t) , avec t∈[0;+∞[.
Déterminer la concentration initiale g(0).
Démontrer que, pour tout t de l'intervalle [0;+∞[, on a :
g′(t)=20e−t(1−0,1e0,9t).
Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle [0;+∞[.
En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près.
On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieur à 0,2 µg.L−1.
Compléter le programme Python ci-dessous pour déterminer le temps nécessaire à l'élimination de ce médicament à 0,1 heure près.
from math import*
def g(t):
return 20*( exp(-0.1*t) - exp(-t))
t = 2
while g(t) > :
t = t +
print()
1 13
Exercice 20
Convertir les cinq mesures suivantes en radians : 172∘,
203∘, 154∘, 267∘ et 117∘.
Convertir les cinq mesures suivantes en degrés : 2023π,
4574π, 69π, 180245π et
1217π rad.
Déterminer les mesures principales (c'est-à-dire entre −π, exclu, et π) des angles suivants en radians :
2432π, π, 2021π, 9117π et
24−41π rad.
Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique : π,
42π, 32π, −35π et 425π rad.
0,0
$rac{1}{2}$
$rac{sqrt{2}}{2}$
$rac{sqrt{3}}{2}$
$rac{1}{2}$
$rac{sqrt{2}}{2}$
$rac{sqrt{3}}{2}$
dfracpi6
dfracpi4
dfracpi3
1
dfracpi2
1 1
Exercice 21
Déterminer une valeur exacte des produits scalaires AB.AC dans chacun des cas suivants. Les angles sont donnés en radians.
AB=1, AC=3 et (AB,AC)=4π.
AB=3, AC=2 et (AB,AC)=−6π.
AB=41, AC=8 et (AB,AC)=32π.
2 0
Exercice 22
On considère un carré ABCD de centre O et de côté c.
0,0
A
B
C
D
O
Calculer les produits scalaires suivants :
(AB,AC)
(AB,AB)
(AB,AO)
(CB,AD)
(AB,AD)
(OA,OC)
(DB,DA)
(DB,OC)
(OA,AC)
0 0
Exercice 23
Dans un repère orthonormé du plan on considère les points A(−10;4), B(−4;1) et C(−1;7).
En utilisant le produit scalaire, montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Calculer le produit scalaire OA.AC et en déduire une mesure de l'angle (AB,AC).
Que peut-on en conclure pour le triangle ABC ?
Déterminer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un rectangle.
0 0
Exercice 24
Dans un repère orthonormé du plan on considère les points A(−5;−1), B(2;0) et C(0;6).
Déterminer cos(AB,AC).
En déduire une valeur approchée de la mesure de (AB,AC).
0 0
Exercice 25
Dans un repère orthonormé du plan on considère la droite d1 d'équation x+3y=5.
Construire dans le repère ci-dessous la droite d.
Déterminer une équation de la droite d2 qui passe par (0;0) et qui est perpendiculaire à d1.
0,0
0 0
Exercice 26
Dans un repère orthonormé du plan on considère les points A(−5;3) et B(2−1).
Déterminer un vecteur directeur de la droite (AB).
En déduire une équation cartésienne de (AB).
0 0
Exercice 27
Dans un repère orthonormé du plan on considère le point A(−2;6) et la droite d d'équation x+y=4.
Déterminer l'ordonnée du point de d d'abscisse 3. On notera B ce point.
Existe-t-il un point C de d tel que le triangle ABC soit rectangle ?
0 0
Exercice 28
Dans un repère orthonormé du plan le point A(4;−1).
Donner une équation du cercle de centre A et de rayon 3.
0 0
Exercice 29
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.
40 % des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
25 % des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation "pur jus".
Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de "pur jus" est notée x, où x est un réel de l'intervalle [0;1].
Par ailleurs, 20 % des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation "pur jus".
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :
R : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;
J : la bouteille prélevée est une bouteille de "pur jus".
Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Déterminer la valeur exacte de x.
Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de "pur jus".
Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
2 1
Exercice 30
Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :
un contrat "Tous risques" dont le montant annuel est de 500 €;
un contrat "de base" dont le montant annuel est de 400 €.
En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :
60 % des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans). Les autres clients ont un véhicule ancien ;
parmi les clients possédant un véhicule récent, 70 % ont souscrit au contrat "Tous risques" ;
parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50 % ont souscrit au contrat "Tous risques".
On considère un client choisi au hasard.
D’une manière générale, la probabilité d’un évènement A est notée P(A) et son évènement contraire est noté A.
On note les évènements suivants :
R : "le client possède un véhicule récent";
T : "le client a souscrit au contrat "Tous risques" ".
On note X la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.
Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat "Tous risques", c’est-à-dire calculer P(R∩T).
Montrer que P(T)=0,62.
La variable aléatoire X ne prend que deux valeurs a et b.
Déterminer ces deux valeurs, puis les probabilités P(X=a) et P(X=b), et l’espérance de X.