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Spécialité mathématique
Exercice 1 Écrire les expressions suivantes sous la forme a+bca+b\sqrt{c}, avec aa, bb et cc des entiers.
A=596+24+254A=5\sqrt{96}+\sqrt{24}+2\sqrt{54}

B=20×80×45B=\sqrt{20}\times\sqrt{80}\times\sqrt{45}

C=(47+32)2C=(4\sqrt{7}+3\sqrt{2})^2

D=(227)2D=(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2

E=(1+2)3E=(1+\sqrt{2})^3

F=231+3F=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}

G=(336)(3+36)G=(3-3\sqrt{6})(3+3\sqrt{6})

H=24909160H=\dfrac{24\sqrt{90}}{9\sqrt{160}}
30 11
Exercice 2 A=49+932+2+1A=\dfrac{\dfrac{-4}{9}+9}{\dfrac{-3}{2}+2}+1

B=107÷19610723B=\dfrac{-10}{7}\div\dfrac{\dfrac{-1}{9}-6}{\dfrac{10}{7}-\dfrac{2}{3}}
16 6

Exercice 3 Montrer que les égalités suivantes sont vraies.
  1. Pour tout réels aa et bb, 12((a+b)2+(ab)2)=a2+b2\dfrac{1}{2}\left( (a+b)^2+(a-b)^2 \right) = a^2+b^2.

  2. Pour tout réels aa et bb, 14((a+b)2(ab)2)=ab\dfrac{1}{4}\left( (a+b)^2-(a-b)^2 \right) = ab.

  3. Pour tout réels aa et bb, (ab)(a2+ab+b2)=a3b3(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.

  4. Pour tout réels aa et bb (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

  5. Pour tout entier n0n\neq0, 1n2+n=1n1n+1\dfrac{1}{n^2+n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.

  6. Pour tout entier n0n\neq0, 1n3+3n2+2n=1/2n1n+1+1/2n+2\dfrac{1}{n^3+3n^2+2n}=\dfrac{1/2}{n}-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1/2}{n+2}.

  7. Pour tout réel x13x\neq\dfrac{1}{3}\,, 9x213x+1=3x1\,\dfrac{9x^2-1}{3x+1}=3x-1.

  8. Pour tout entier n1n\geq1, (xnxn1)(xn+xn1)=x2n2(x1)(x+1)(x^n-x^{n-1})(x^n+x^{n-1})=x^{2n-2}(x-1)(x+1).

  9. Pour tout réels xx et yy non nuls, 1xyy2xx=xy(y+x)\dfrac{1-\dfrac{x}{y}}{\dfrac{y^2}{x}-x}=\dfrac{x}{y(y+x)}.
8 11
Exercice 4
  1. Résoudre le système d'équations suivant : {3x2y=5x+y=1\left\{ \begin{array}{rcl} 3x - 2y & = & 5 \\ x + y & = & 1 \end{array}\right.

  2. Résoudre le système d'équations suivant : {7x+6y=463x+9y=39\left\{\begin{array}{rcl}7x+6y & = & 46 \\ 3x+9y & = & 39 \end{array}\right.
15 13
Exercice 5 Pour chacune des suites uu suivantes, calculer : (a) le troisième terme ; (b) le terme de rang 3 ; (c) u4u_4.
  1. uu est une suite de premier terme u1=5u_1=-5, et dont chaque terme (sauf le premier) est égal à l'inverse du précédent.

  2. uu est la suite définie pour n0n\geq0 par : un=13n+9u_n=\dfrac{ 1 }{ 3 }n+9.
  3. uu est la suite définie pour n2n\geq2 par : {u2=6Pour tout  : n2un+1=45un.\left\{\begin{array}{l} u_2=-6 \\ \text{Pour tout $n\geq2$ : } u_{n+1}=\dfrac{ 4 }{ 5 }u_n. \end{array}\right.
7 16
Exercice 6
  1. Soit (un)(u_n) la suite arithmétique telle que u0=2u_0=2 et de raison r=4r=4. Déterminer u2012u_{2012}.
  2. Soit (vn)(v_n) la suite géométrique telle que v0=1v_0=1 et de raison r=1,1r=1,1. Déterminer v2012v_{2012}
  3. .
10 3
Exercice 7 Soit (an)(a_n) la suite arithmétrique de raison 12-\dfrac{1}{2} telle que a7=12a_7=12.
Calculer a6a_6, a5a_5, puis a0a_{0}.
8 1
Exercice 8 Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région. Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8 % des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer 5050 nouvelles colonies chaque printemps.
  1. On considère le programme Python ci-dessous :


    Quelle valeur prend la variable nn après exécution de cet algorithme ? On pourra utiliser la fonction print.
    Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
  2. On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite (Cn)\left(C_n\right) le terme CnC_n donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année 2014+n2014 + n. Ainsi C0=300C_0 = 300 est le nombre de colonies en 2014.
    1. Exprimer pour tout entier nn le terme Cn+1C_{n+1} en fonction de CnC_n.
    2. On considère la suite (Vn)\left(V_n\right) définie pour tout entier nn par Vn=625CnV_n = 625 - C_n.
      Montrer que pour tout nombre entier nn on a Vn+1=0,92×VnV_{n+1} = 0,92 \times V_n.
    3. En déduire que pour tout entier naturel nn, on a Cn=625325×0,92nC_n = 625 - 325 \times 0,92^n.
  3. L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
    1. Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ?
    2. Donner une réponse à cette question de l'apiculteur.
1 23
Exercice 9 Dans le graphique ci-dessous on a tracé la courbe représentative C\mathcal{C} d'une fonction ff, ainsi que les droites (AB)(AB) et (ED)(ED) qui sont tangentes à C\mathcal{C} respectivement en 00 et 1,71,7.
On a de plus les coordonnées suivantes :
A(6;6)A(-6\,;6), B(0;6)B(0\,;6), C(1,7;1,5)C(1,7\,;1,5), D(1;5)D(-1\,;5) et E(6;4)E(6\,;-4).
2468−2−4−6246−2−4
C
D
E
A
B
Déterminer graphiquement f(0)f(0), f(0)f'(0), f(1,7)f(1,7) et f(1,7)f'(1,7).
3 0
Exercice 10 Déterminer l'expression des dérivées des fonctions ci-dessous.

f(x)=2x2f(x)=2x-2.

g(x)=x2+1g(x)=x^2+1.

h(x)=3x2h(x)=3x^2.

i(t)=4t23t+8i(t)=4t^2-3t+8.

j(x)=x32x2+5x6j(x)=x^3-2x^2+5x-6.

k(x)=23x3+4\displaystyle{k(x)=\frac{2}{3}x^3+4}.

l(x)=14x3+12x213x5\displaystyle{l(x)=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x-5}.

m(t)=0,3t30,5t2+t1\displaystyle{m(t)=0,3t^3-0,5t^2+t-1}.

n(x)=(2x+3)(5x)n(x)=(2x+3)(5-x).

p(x)=(3x54x3+3x1)(3x+4)p(x)=(3x^5-4x^3+3x-1)(3x+4).

q(x)=7xq(x)=\dfrac{7}{x}.

r(t)=3tr(t)=\sqrt{3t}.

s(x)=(x+1)xs(x)=(x+1)\sqrt{x}.

t(x)=x+1x+3t(x)=\dfrac{x+1}{x+3}.

u(x)=3x152xu(x)=\dfrac{3x-1}{5-2x}.

v(x)=x212x+7v(x)=\dfrac{x^2-1}{2x+7}.
12 2
Exercice 11 Résoudre les équations suivantes :
  1. t2+7t+10=0t^2+7t+10=0.
  2. 66z2+43z+9=0-66z^2+43z+9=0.
  3. t2+9t=0-t^2+9t=0.
5 0
Exercice 12
  1. Étudier le signe du polynôme P(x)=x2+6x+5P(x)=x^2+6x+5 sur I=[0;5]I=[0\,;5].
  2. Étudier le signe du polynôme Q(x)=x2+4x+4Q(x)=x^2+4x+4 sur I=[5;5]I=[-5\,;5].
  3. Étudier le signe du polynôme R(x)=x2+4x+2R(x)=x^2+4x+2 sur I=RI=\mathbb R.
8 0
Exercice 13
  1. On considère la fonction gg définie sur I=[2;10]I=[-2\,;10] par g(t)=4t+2t3g(t)=\dfrac{4t+2}{-t-3}.
    1. Justifier que gg est définie et dérivable sur II.
    2. Déterminer g(t)g'(t) pour tout t[2;10]t\in[-2\,;10].
    3. En déduire le sens de variations de gg sur II.
  2. Étudier le sens de variations de qq définie par q(x)=x3+3x29x9q(x)=x^3+3x^2-9x-9 sur [10;10]\left[-10\,;10\right].
2 2
Exercice 14 Déterminer les racines des polynômes :
P(x)=8x+16+x2P(x) = 8\,x+16+x^{2}.
Q(x)=8x+x24Q(x) = 8\,x+x^{2}-4.
R(x)=4+4x2R(x) = -4+4\,x^{2}.
S(x)=2x28S(x) = 2\,x^{2}-8.
T(x)=6x5x2T(x) = 6\,x-5-x^{2}.
U(x)=7x25xU(x) = -7\,x^{2}-5\,x.
2 2
Exercice 15
  1. Étudier le sens de variations de qq définie par q(x)=3x3+81x2+729x3q(x)=3x^3+81x^2+729x-3 sur R\mathbb R.

  2. On considère la fonction ff définie par f(x)=5x22x+2f(x)=\dfrac{5x-2}{-2x+2}.

    1. Déterminer l'ensemble de définition Df\mathcal{D}_{f} de ff.
    2. Déterminer f(x)f'(x) pour tout xDfx\in\mathcal{D'}_{f}.
    3. Dresser le tableau de variations de ff sur Df\mathcal{D}_{f}.
0 3
Exercice 16 Simplifier les expressions suivantes :
  1. e5×e3×e8\text{e}^5\times \text{e}^3 \times \text{e}^8

  2. (e6)8\left( \text{e}^6 \right)^8

  3. e5e12×e\dfrac{\text{e}^5}{\text{e}^{12}\times\text{e}}

  4. (e2×e4e)4\left( \dfrac{\text{e}^2\times\text{e}^4}{\text{e}} \right)^4
8 3
Exercice 17 Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous. f(x)=exf(x)=\text{e}^x.
g(x)=e3xg(x)=\text{e}^{3x}.
h(x)=e72xh(x)=\text{e}^{7-2x}.
i(x)=ex2+1i(x)=\text{e}^{x^2+1}.
j(t)=5e12tj(t)=5\text{e}^{1-2t}.
k(x)=(x+1)exk(x)=(x+1)\text{e}^x.
(t)=1et3t1\ell(t)=\dfrac{1-\text{e}^t}{3t-1}.
4 9
Exercice 18 Résoudre les équations et inéquations suivantes sur R\mathbb{R}.
  1. ex=e5\text{e}^x = \text{e}^5.
  2. e3t+4=e2\text{e}^{3t+4} = \text{e}^2.
  3. e5x=e\text{e}^{5x}=\text{e}.
  4. e2x+1=1\text{e}^{2x+1} = 1.
  5. ex<1\text{e}^x < 1.
  6. e3xe2\text{e}^{3x} \geq \text{e}^2.
2 2
Exercice 19 La pharmacocinétique étudie l'évolution d'un médicament après son administration dans l'organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c'est-dire sa concentration dans le plasma.
On étudie dans cet exercice l'évolution de la concentration plasmatique chez un patient d'une même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.
On note g(t)g(t) la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par litre (µg.L1^{-1}), au bout de tt heures après ingestion par voie orale.
Le modèle mathématique est : g(t)=20(e0,1tet)g(t) = 20 \left(\mathrm{e}^{- 0,1t} - \mathrm{e}^{-t}\right) , avec t[0;+[t \in [0\,;+ \infty[ .
  1. Déterminer la concentration initiale g(0)g(0).
  2. Démontrer que, pour tout tt de l'intervalle [0;+[[0\,;+ \infty[, on a :
    g(t)=20et(10,1e0,9t)g'(t) = 20\text{e}^{-t}\left(1 - 0,1\text{e}^{0,9t} \right).
  3. Étudier les variations de la fonction gg sur l'intervalle [0;+[[0\,;+ \infty[.
    En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près.
  4. On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieur à 0,20,2 µg.L1^{-1}.
    Compléter le programme Python ci-dessous pour déterminer le temps nécessaire à l'élimination de ce médicament à 0,10,1 heure près.

    from math import* def g(t): return 20*( exp(-0.1*t) - exp(-t)) t = 2 while g(t) > : t = t + print()
1 13
Exercice 20
  1. Convertir les cinq mesures suivantes en radians : 172172^\circ, 203203^\circ, 154154^\circ, 267267^\circ et 117117^\circ.

  2. Convertir les cinq mesures suivantes en degrés : 23π20\dfrac{23\pi}{20}, 74π45\dfrac{74\pi}{45}, 9π6\dfrac{9\pi}{6}, 245π180\dfrac{245\pi}{180} et 17π12\dfrac{17\pi}{12} rad.

  3. Déterminer les mesures principales (c'est-à-dire entre π-\pi, exclu, et π\pi) des angles suivants en radians : 32π24\dfrac{32\pi}{24}, π\pi, 21π20\dfrac{21\pi}{20}, 117π9\dfrac{117\pi}{9} et 41π24\dfrac{-41\pi}{24} rad.

  4. Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique : π\pi, 2π4\dfrac{2\pi}{4}, 2π3\dfrac{2\pi}{3}, 5π3-\dfrac{5\pi}{3} et 25π4\dfrac{25\pi}{4} rad.
$ rac{1}{2}$
$ rac{sqrt{2}}{2}$
$ rac{sqrt{3}}{2}$
$ rac{1}{2}$
$ rac{sqrt{2}}{2}$
$ rac{sqrt{3}}{2}$
dfracpi6dfrac{pi}{6}
dfracpi4dfrac{pi}{4}
dfracpi3dfrac{pi}{3}
1
dfracpi2dfrac{pi}{2}
1 1
Exercice 21 Déterminer une valeur exacte des produits scalaires AB.AC\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} dans chacun des cas suivants. Les angles sont donnés en radians.
  1. AB=1AB=1, AC=3AC=3 et (AB,AC)=π4(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{4}.

  2. AB=3AB=\sqrt{3}, AC=2AC=2 et (AB,AC)=π6(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{6}.

  3. AB=14AB=\dfrac{1}{4}, AC=8AC=8 et (AB,AC)=2π3(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{2\pi}{3}.
2 0
Exercice 22 On considère un carré ABCDABCD de centre OO et de côté cc.
A
B
C
D
O
Calculer les produits scalaires suivants :
  1. (AB,AC)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})
  2. (AB,AB)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB})
  3. (AB,AO)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO})
  4. (CB,AD)(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD})
  5. (AB,AD)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})
  6. (OA,OC)(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})
  7. (DB,DA)(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DA})
  8. (DB,OC)(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{OC})
  9. (OA,AC)(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AC})
0 0
Exercice 23 Dans un repère orthonormé du plan on considère les points A(10;4)A(-10\,;4), B(4;1)B(-4\,;1) et C(1;7)C(-1\,;7).
  1. En utilisant le produit scalaire, montrer que le triangle ABCABC est un triangle rectangle.
  2. Calculer le produit scalaire OA.AC\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC} et en déduire une mesure de l'angle (AB,AC)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).
    Que peut-on en conclure pour le triangle ABCABC ?
  3. Déterminer les coordonnées du point DD tel que le quadrilatère ABCDABCD soit un rectangle.
0 0
Exercice 24 Dans un repère orthonormé du plan on considère les points A(5;1)A(-5\,;-1), B(2;0)B(2\,;0) et C(0;6)C(0\,;6).
  1. Déterminer cos(AB,AC)\cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right).
  2. En déduire une valeur approchée de la mesure de (AB,AC)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).
0 0
Exercice 25 Dans un repère orthonormé du plan on considère la droite d1d_1 d'équation x+3y=5x+3y=5.
  1. Construire dans le repère ci-dessous la droite dd.
  2. Déterminer une équation de la droite d2d_2 qui passe par (0;0)(0\,;0) et qui est perpendiculaire à d1d_1.
123456−1−2−3−41234−1−2−3
0 0
Exercice 26 Dans un repère orthonormé du plan on considère les points A(5;3)A(-5\,;3) et B(21)B(2\,-1).
  1. Déterminer un vecteur directeur de la droite (AB)(AB).
  2. En déduire une équation cartésienne de (AB)(AB).
0 0
Exercice 27 Dans un repère orthonormé du plan on considère le point A(2;6)A(-2\,;6) et la droite dd d'équation x+y=4x+y=4.
  1. Déterminer l'ordonnée du point de dd d'abscisse 33. On notera BB ce point.
  2. Existe-t-il un point CC de dd tel que le triangle ABCABC soit rectangle ?
0 0
Exercice 28 Dans un repère orthonormé du plan le point A(4;1)A(4\,;-1).
Donner une équation du cercle de centre AA et de rayon 33.
0 0
Exercice 29 Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois. Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de "pur jus" est notée xx, où xx est un réel de l'intervalle [0;1][0\,;1].
Par ailleurs, 20 % des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation "pur jus".
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :
RR : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;
JJ : la bouteille prélevée est une bouteille de "pur jus".
  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Déterminer la valeur exacte de xx.
  3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de "pur jus".
    Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
2 1
Exercice 30 Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat : En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes : On considère un client choisi au hasard.
D’une manière générale, la probabilité d’un évènement AA est notée P(A)P(A) et son évènement contraire est noté A\overline{A}.
On note les évènements suivants : On note XX la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
  2. Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat "Tous risques", c’est-à-dire calculer P(RT)P(R \cap T).
  3. Montrer que P(T)=0,62P(T)=0,62.
  4. La variable aléatoire XX ne prend que deux valeurs aa et bb.
    Déterminer ces deux valeurs, puis les probabilités P(X=a)P(X=a) et P(X=b)P(X=b), et l’espérance de XX.
R
R
T
T
T
T
...
...
...
...
...
...
7 2