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Spécialité mathématique Écrire les expressions suivantes sous la forme $a+b\sqrt{c}$, avec $a$, $b$ et $c$ des entiers.
$A=5\sqrt{96}+\sqrt{24}+2\sqrt{54}$

$B=\sqrt{20}\times\sqrt{80}\times\sqrt{45}$

$C=(4\sqrt{7}+3\sqrt{2})^2$

$D=(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2$

$E=(1+\sqrt{2})^3$

$F=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

$G=(3-3\sqrt{6})(3+3\sqrt{6})$

$H=\dfrac{24\sqrt{90}}{9\sqrt{160}}$
$A=\dfrac{\dfrac{-4}{9}+9}{\dfrac{-3}{2}+2}+1$

$B=\dfrac{-10}{7}\div\dfrac{\dfrac{-1}{9}-6}{\dfrac{10}{7}-\dfrac{2}{3}}$

Montrer que les égalités suivantes sont vraies.
  1. Pour tout réels $a$ et $b$, $\dfrac{1}{2}\left( (a+b)^2+(a-b)^2 \right) = a^2+b^2$.

  2. Pour tout réels $a$ et $b$, $\dfrac{1}{4}\left( (a+b)^2-(a-b)^2 \right) = ab$.

  3. Pour tout réels $a$ et $b$, $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

  4. Pour tout réels $a$ et $b$ $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

  5. Pour tout entier $n\neq0$, $\dfrac{1}{n^2+n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$.

  6. Pour tout entier $n\neq0$, $\dfrac{1}{n^3+3n^2+2n}=\dfrac{1/2}{n}-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1/2}{n+2}$.

  7. Pour tout réel $x\neq\dfrac{1}{3}\,$, $\,\dfrac{9x^2-1}{3x+1}=3x-1$.

  8. Pour tout entier $n\geq1$, $(x^n-x^{n-1})(x^n+x^{n-1})=x^{2n-2}(x-1)(x+1)$.

  9. Pour tout réels $x$ et $y$ non nuls, $\dfrac{1-\dfrac{x}{y}}{\dfrac{y^2}{x}-x}=\dfrac{x}{y(y+x)}$.
  1. Résoudre le système d'équations suivant : $\left\{ \begin{array}{rcl} 3x - 2y & = & 5 \\ x + y & = & 1 \end{array}\right.$

  2. Résoudre le système d'équations suivant : $\left\{\begin{array}{rcl}7x+6y & = & 46 \\ 3x+9y & = & 39 \end{array}\right.$
Pour chacune des suites $u$ suivantes, calculer : (a) le troisième terme ; (b) le terme de rang 3 ; (c) $u_4$.
  1. $u$ est une suite de premier terme $u_1=-5$, et dont chaque terme (sauf le premier) est égal à l'inverse du précédent.

  2. $u$ est la suite définie pour $n\geq0$ par : $u_n=\dfrac{ 1 }{ 3 }n+9$.
  3. $u$ est la suite définie pour $n\geq2$ par : $$\left\{\begin{array}{l} u_2=-6 \\ \text{Pour tout $n\geq2$ : } u_{n+1}=\dfrac{ 4 }{ 5 }u_n. \end{array}\right.$$
  1. Soit $(u_n)$ la suite arithmétique telle que $u_0=2$ et de raison $r=4$. Déterminer $u_{2012}$.
  2. Soit $(v_n)$ la suite géométrique telle que $v_0=1$ et de raison $r=1,1$. Déterminer $v_{2012}$
    3. .
Soit $(a_n)$ la suite arithmétrique de raison $-\dfrac{1}{2}$ telle que $a_7=12$.
Calculer $a_6$, $a_5$, puis $a_{0}$.
Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région. Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8 % des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps.
  1. On considère le programme Python ci-dessous :

    C = 300 n = 0 while C < 400: C = C -C*0.08+50 n = n+1
    Quelle valeur prend la variable $n$ après exécution de cet algorithme ? On pourra utiliser la fonction print.
    Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
  2. On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite $\left(C_n\right)$ le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année $2014 + n$. Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies en 2014.
    1. Exprimer pour tout entier $n$ le terme $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
    2. On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $V_n = 625 - C_n$.
      Montrer que pour tout nombre entier $n$ on a $V_{n+1} = 0,92 \times V_n$.
    3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = 625 - 325 \times 0,92^n$.
  3. L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
    1. Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ?
    2. Donner une réponse à cette question de l'apiculteur.
Dans le graphique ci-dessous on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$, ainsi que les droites $(AB)$ et $(ED)$ qui sont tangentes à $\mathcal{C}$ respectivement en $0$ et $1,7$.
On a de plus les coordonnées suivantes :
$A(-6\,;6)$, $B(0\,;6)$, $C(1,7\,;1,5)$, $D(-1\,;5)$ et $E(6\,;-4)$.
Déterminer graphiquement $f(0)$, $f'(0)$, $f(1,7)$ et $f'(1,7)$.
Déterminer l'expression des dérivées des fonctions ci-dessous.

$f(x)=2x-2$.

$g(x)=x^2+1$.

$h(x)=3x^2$.

$i(t)=4t^2-3t+8$.

$j(x)=x^3-2x^2+5x-6$.

$\displaystyle{k(x)=\frac{2}{3}x^3+4}$.

$\displaystyle{l(x)=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x-5}$.

$\displaystyle{m(t)=0,3t^3-0,5t^2+t-1}$.

$n(x)=(2x+3)(5-x)$.

$p(x)=(3x^5-4x^3+3x-1)(3x+4)$.

$q(x)=\dfrac{7}{x}$.

$r(t)=\sqrt{3t}$.

$s(x)=(x+1)\sqrt{x}$.

$t(x)=\dfrac{x+1}{x+3}$.

$u(x)=\dfrac{3x-1}{5-2x}$.

$v(x)=\dfrac{x^2-1}{2x+7}$.
Résoudre les équations suivantes :
  1. $t^2+7t+10=0$.
  2. $-66z^2+43z+9=0$.
  3. $-t^2+9t=0$.
  1. Étudier le signe du polynôme $P(x)=x^2+6x+5$ sur $I=[0\,;5]$.
  2. Étudier le signe du polynôme $Q(x)=x^2+4x+4$ sur $I=[-5\,;5]$.
  3. Étudier le signe du polynôme $R(x)=x^2+4x+2$ sur $I=\mathbb R$.
  1. On considère la fonction $g$ définie sur $I=[-2\,;10]$ par $g(t)=\dfrac{4t+2}{-t-3}$.
    1. Justifier que $g$ est définie et dérivable sur $I$.
    2. Déterminer $g'(t)$ pour tout $t\in[-2\,;10]$.
    3. En déduire le sens de variations de $g$ sur $I$.
  2. Étudier le sens de variations de $q$ définie par $q(x)=x^3+3x^2-9x-9$ sur $\left[-10\,;10\right]$.
Déterminer les racines des polynômes :
$P(x) = 8\,x+16+x^{2}$.
$Q(x) = 8\,x+x^{2}-4$.
$R(x) = -4+4\,x^{2}$.
$S(x) = 2\,x^{2}-8$.
$T(x) = 6\,x-5-x^{2}$.
$U(x) = -7\,x^{2}-5\,x$.
  1. Étudier le sens de variations de $q$ définie par $q(x)=3x^3+81x^2+729x-3$ sur $\mathbb R$.

  2. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{5x-2}{-2x+2}$.

    1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f}$ de $f$.
    2. Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in\mathcal{D'}_{f}$.
    3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$.
Simplifier les expressions suivantes :
  1. $\text{e}^5\times \text{e}^3 \times \text{e}^8 $

  2. $\left( \text{e}^6 \right)^8$

  3. $\dfrac{\text{e}^5}{\text{e}^{12}\times\text{e}}$

  4. $\left( \dfrac{\text{e}^2\times\text{e}^4}{\text{e}} \right)^4$
Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous. $f(x)=\text{e}^x$.
$g(x)=\text{e}^{3x}$.
$h(x)=\text{e}^{7-2x}$.
$i(x)=\text{e}^{x^2+1}$.
$j(t)=5\text{e}^{1-2t}$.
$k(x)=(x+1)\text{e}^x$.
$\ell(t)=\dfrac{1-\text{e}^t}{3t-1}$.
Résoudre les équations et inéquations suivantes sur $\mathbb{R}$.
  1. $\text{e}^x = \text{e}^5$.
  2. $\text{e}^{3t+4} = \text{e}^2$.
  3. $\text{e}^{5x}=\text{e}$.
  4. $\text{e}^{2x+1} = 1$.
  5. $\text{e}^x < 1$.
  6. $\text{e}^{3x} \geq \text{e}^2$.
La pharmacocinétique étudie l'évolution d'un médicament après son administration dans l'organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c'est-dire sa concentration dans le plasma.
On étudie dans cet exercice l'évolution de la concentration plasmatique chez un patient d'une même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.
On note $g(t)$ la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par litre (µg.L$^{-1}$), au bout de $t$ heures après ingestion par voie orale.
Le modèle mathématique est : $g(t) = 20 \left(\mathrm{e}^{- 0,1t} - \mathrm{e}^{-t}\right)$ , avec $t \in [0\,;+ \infty[ $.
  1. Déterminer la concentration initiale $g(0)$.
  2. Démontrer que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0\,;+ \infty[$, on a :
    $g'(t) = 20\text{e}^{-t}\left(1 - 0,1\text{e}^{0,9t} \right)$.
  3. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0\,;+ \infty[$.
    En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près.
  4. On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieur à $0,2$ µg.L$^{-1}$.
    Compléter le programme Python ci-dessous pour déterminer le temps nécessaire à l'élimination de ce médicament à $0,1$ heure près.

    from math import* def g(t): return 20*( exp(-0.1*t) - exp(-t)) t = 2 while g(t) > : t = t + print()
  1. Convertir les cinq mesures suivantes en radians : $172^\circ$, $203^\circ$, $154^\circ$, $267^\circ$ et $117^\circ$.

  2. Convertir les cinq mesures suivantes en degrés : $\dfrac{23\pi}{20}$, $\dfrac{74\pi}{45}$, $\dfrac{9\pi}{6}$, $\dfrac{245\pi}{180}$ et $\dfrac{17\pi}{12}$ rad.

  3. Déterminer les mesures principales (c'est-à-dire entre $-\pi$, exclu, et $\pi$) des angles suivants en radians : $\dfrac{32\pi}{24}$, $\pi$, $\dfrac{21\pi}{20}$, $\dfrac{117\pi}{9}$ et $\dfrac{-41\pi}{24}$ rad.

  4. Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique : $\pi$, $\dfrac{2\pi}{4}$, $\dfrac{2\pi}{3}$, $-\dfrac{5\pi}{3}$ et $\dfrac{25\pi}{4}$ rad.
Déterminer une valeur exacte des produits scalaires $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ dans chacun des cas suivants. Les angles sont donnés en radians.
  1. $AB=1$, $AC=3$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{4}$.

  2. $AB=\sqrt{3}$, $AC=2$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{6}$.

  3. $AB=\dfrac{1}{4}$, $AC=8$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{2\pi}{3}$.
On considère un carré $ABCD$ de centre $O$ et de côté $c$.
Calculer les produits scalaires suivants :
  1. $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$
  2. $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB})$
  3. $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO})$
  4. $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD})$
  5. $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$
  6. $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$
  7. $(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DA})$
  8. $(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{OC})$
  9. $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AC})$
Dans un repère orthonormé du plan on considère les points $A(-10\,;4)$, $B(-4\,;1)$ et $C(-1\,;7)$.
  1. En utilisant le produit scalaire, montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
  2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC}$ et en déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
    Que peut-on en conclure pour le triangle $ABC$ ?
  3. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un rectangle.
Dans un repère orthonormé du plan on considère les points $A(-5\,;-1)$, $B(2\,;0)$ et $C(0\,;6)$.
  1. Déterminer $\cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)$.
  2. En déduire une valeur approchée de la mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
Dans un repère orthonormé du plan on considère la droite $d_1$ d'équation $x+3y=5$.
  1. Construire dans le repère ci-dessous la droite $d$.
  2. Déterminer une équation de la droite $d_2$ qui passe par $(0\,;0)$ et qui est perpendiculaire à $d_1$.
Dans un repère orthonormé du plan on considère les points $A(-5\,;3)$ et $B(2\,-1)$.
  1. Déterminer un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
  2. En déduire une équation cartésienne de $(AB)$.
Dans un repère orthonormé du plan on considère le point $A(-2\,;6)$ et la droite $d$ d'équation $x+y=4$.
  1. Déterminer l'ordonnée du point de $d$ d'abscisse $3$. On notera $B$ ce point.
  2. Existe-t-il un point $C$ de $d$ tel que le triangle $ABC$ soit rectangle ?
Dans un repère orthonormé du plan le point $A(4\,;-1)$.
Donner une équation du cercle de centre $A$ et de rayon $3$.
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois. Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de "pur jus" est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle $[0\,;1]$.
Par ailleurs, 20 % des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation "pur jus".
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :
$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;
$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de "pur jus".
  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Déterminer la valeur exacte de $x$.
  3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de "pur jus".
    Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat : En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes : On considère un client choisi au hasard.
D’une manière générale, la probabilité d’un évènement $A$ est notée $P(A)$ et son évènement contraire est noté $\overline{A}$.
On note les évènements suivants : On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
  2. Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat "Tous risques", c’est-à-dire calculer $P(R \cap T)$.
  3. Montrer que $P(T)=0,62$.
  4. La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$.
    Déterminer ces deux valeurs, puis les probabilités $P(X=a)$ et $P(X=b)$, et l’espérance de $X$.