Étude de fonctions Propriétés Parité
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$, tel que pour tout $x\in D$, on a $-x\in D$.

• la fonction $f$ est dite paire, si pour tout $x\in D$ : $f(-x)$ $=$ $f(x)$.
• la fonction $f$ est dite impaire, si pour tout $x\in D$ : $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
Nous avons alors que $f(-x)$ $=$ $(-x)^2$ $=$ $x^2$ $=$ $f(x)$. Cette fonction est donc paire.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x$.
Pour tout réel $x$, $g(-x)$ $=$ $3\times(-x)$ $=$ $-3x$ $=$ $-g(x)$. Cette fonction est impaire.

Soit $f$ une fonction paire définie sur un ensembe $D$ de $\mathbb{R}$. La courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Soit $f$ une fonction impaire définie sur un ensembe $D$ de $\mathbb{R}$. La courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Sens de variation
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est dite croissante sur $I$, si pour tous réels $a$ et $b$, tels que $a \leq b$, on a $f(a) \leq f(b)$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est dite décroissante sur $I$, si pour tous réels $a$ et $b$, tels que $a \leq b$, on a $f(a) \geq f(b)$.

Intersection ∼ Position relative
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$.
Pour déterminer les éventuels points d'intersection entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'équation :

$f(x)$ $=$ $g(x)$.
Si il existe une solution $x_0$, le point d'intersection à alors pour coordonnées $(x_0;f(x_0))$. Réciproquement, résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ revient à chercher l'abscisse des points d'intersection entre les courbes des deux fonctions.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur courbe représentative respective.
Pour déterminer la position relative des courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'inéquation :

$f(x)$ $\leq$ $g(x)$.

Les solutions nous donnent les abscisses des points où $\mathcal{C}_g$ est au dessus de $\mathcal{C}_f$.
Les nombres qui ne sont pas solutions nous donnent les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$.

Fonctions de référence La fonction carrée
La fonction carrée est la fonction qui, à tout réel $x$, associe le réel $x^2$.

La fonction carrée est une fonction paire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées.

La fonction carrée est décroissante sur $]-\infty;0]$.
La fonction carrée est croissante sur $[0;+\infty[$.

Son tableau de variation est donc :

$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$ $x^2$ décroissante croissante $0$

Soit $a$ un nombre réel. L'équation $x^2= a$ :

n'admet aucune solution si $a < 0$.
admet une unique solution si $a=0$ : $x=0$.
admet deux solutions distinctes si $a >0 $ : $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$.

Preuve pour le cas $a > 0$ :

$x^2$	$=$	$a$
$x^2 - a$	$=$	$0$
$x^2 - \sqrt{a}^2$	$=$	$0$
$(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})$	$=$	$0$

Ainsi, d'après la règle du produit nul :

$x - \sqrt{a}$	$=$	$0$
$x$	$=$	$ \sqrt{a}$

$x + \sqrt{a}$	$=$	$0$
$x$	$=$	$ -\sqrt{a}$

Soit $a\geq0$.

Les solutions de l'inéquation : $x^2 \leq a$ sont tous les nombres $x\in[-\sqrt{a};\sqrt{a}]$.
Les solutions de l'inéquation : $x^2 \geq a$ sont tous les nombres $x\in\left]-\infty;-\sqrt{a}\right]\cup\left[\sqrt{a};+\infty\right[$.

La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel $x$ positif, associe le réel $\sqrt{x}$.

La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole. Elle s'obtient par symétrie de la parabole de la fonction carrée sur $[0;+\infty[$ par rapport à la droite d'équation $y=x$.

La fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty[$. Son tableau de variation est donc :

$x$ $0$ $+\infty$ $+\infty$ $\sqrt{x}$ croissante $0$

La fonction cube
La fonction cube est la fonction qui, à tout réel $x$, associe le réel $x^3$.

La fonction cube est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine. Preuve
En posant $f(x)=x^3$ on a, pour tout réel $x$,
$f(-x)$ $=$ $(-x)^3$ $=$ $(-x)\times(-x)\times(-x)$ $=$ $-x^3$ $=$ $-f(x)$.
La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$. Son tableau de variation est donc :

$x$ $-\infty$ $+\infty$ $x^3$ croissante

Pour tout réel $a$, l'équation $x^3 = a$ admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de $a$. L'équation $x^3= 27$ admet comme unique solution $3$, car $3^3$ $=$ $27$.
Ainsi, $\sqrt[3]{27}$ $=$ $3$. Soit $f$, $g$, $h$ et $i$ les fonction définies pour tout réel $x$ par : $f(x)=x$ ; $g(x) = x^2$ ; $h(x)=x^3$ ; $i(x)=\sqrt{x}$.
Associer à chacune de ces fonctions sa courbe dans le repère ci-dessous.

La courbe $C_1$ représente la fonction racine carrée $i$.
La courbe $C_2$ représente la fonction $f$.
La courbe $C_3$ représente la fonction carrée $g$.
La courbe $C_4$ représente la fonction cube $h$.

Pour tout $x\in[0;1]$ : 3$x^3$ $\leq$ $x^2$ $\leq$ $x$ $\leq$ $\sqrt{x}$.
Pour tout $x\in[1;+\infty[$ : 3$\sqrt{x}$ $\leq$ $x$ $\leq$ $x^2$ $\leq$ $x^3$.

La fonction inverse
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel $x$ non nul, associe le réel $\dfrac{1}{x}$. L'ensemble de définition de la fonction inverse est $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$, que l'on note également $\mathbb{R}^*$.

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est composée de deux branches.
La fonction inverse est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine. Preuve
Pour tout $x\neq0$, notons $f(x)=\dfrac{1}{x}$ :
$f(-x)$ $=$ $\dfrac{1}{-x}$ $=$ $-\dfrac{1}{x}$ $=$ $-f(x)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ et est décroissante sur $]0;+\infty[$. Son tableau de variation est donc :

$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$ interdit $\dfrac{1}{x}$ décroissante interdit décroissante interdit

Soit $a>0$. Pour tout $x\in]0;+\infty[$ :

• si $\dfrac{1}{x}\leq a$ 1 alors 1 $x\geq\dfrac{1}{a}$.
• si $\dfrac{1}{x}\geq a$ 1 alors 1 $x\leq\dfrac{1}{a}$.

Quizz

Dans le repère ci-dessous trouver la courbe représentative de la fonction cube.

$C_1$
$C_2$
$C_3$
$C_4$

Parmi les propositions ci-dessous une seule est fausse. Laquelle ?

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[\cup]0\,;+\infty[$.
La fonction carrée est croissante sur $\mathbb{R}$.
La fonction carrée est croissante sur $]0\,;+\infty[$.
La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction strictement décroissante sur $[-10\,;10]$.
Une seule des propositions ci-dessous est vraie. Laquelle ?

$f(-10)=f(10)$
$f(-5) < f(-4)$
$f(5) < f(4)$
$f(-1,5) < f(-1,3)$

Parmi les nombres ci-dessous lequel est solution de l'équation $x^3 = 216$ ?

$\sqrt{216}$
$\sqrt[3]{6}$
$6$
$-6$