2nde ∼ DM n°6 Dans un repère du plan on considère les points suivants : $A(2\,;3)$, $B(-1\,;0)$ et $C(1\,;-3)$.

1. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
2. Déterminer les coordonnées d'un point $M$ tel que $AM = \sqrt{3}$.
3. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $B$ soit le milieu de $[AD]$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x-7$.

1. Déterminer l'image par $f$ de $0$ puis de $\dfrac{1}{4}$.
2. Le nombre $0$ possède-t-il un antécédent par $f$ ? Si oui, lequel ?
3. Existe-t-il un nombre qui soit sa propre image par $f$ ?

Soient $x$, $y$ et $z$ trois entiers. On considère l'équation $(E)$ : $$x^2+y^2=z^2.$$ Toute solution dans $\mathbb{N}$ de $(E)$ est appelé triplet pythagoricien.

1. Le triplet $(10\,;8\,;13)$ est-il solution de $(E)$ ?
2. Montrer que $(3\,;4\,;5)$ est un triplet pythagoricien puis déterminer un triplet pythagoricien dont un des termes vaut $500$ et les autres sont non nuls.
3. Expliquer ce que fait l'algorithme ci-dessous :
   
   for x in range(0,50): for y in range(0,50): for z in range(0,100): if x**2+y**2 == z**2: print(x,y,z)
   
4. Soient $u$ et $v$ deux entiers naturels tels que $u>v$. Montrer que le triplet $(u^2-v^2 \, ; 2uv \,; u^2+v^2)$ est un triplet pythagoricien.
5. À partir de la question précédente, déterminer un triplet pythagoricien dont tous les termes sont supérieurs à $1\,000$ en détaillant les calculs.