Quel est le rôle de l'algorithme ci-dessous ?
n = 3600
for i in range(1,3601):
if n%i == 0:
print(i)
Modifier l'algorithme précédent pour vérifier la réponse donnée à la question 1.
Déterminer deux nombres premiers supérieurs à $1\,000$ puis deux autres supérieurs à $1\,000\,000$.
On considère les nombres $a = 24$ et $b = 18$.
Donner deux multiples de $a$ et deux multiples de $b$.
Existe-t-il un nombre qui soit multiple de $a$ et $b$ et strictement inférieur à $ab$ ?
Déterminer le plus petit commun multiple entre $n = 36$ et $m = 168$.
Écrire sous forme irréductible les nombres suivants :
$a_1=\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{18}$
$a_2=\dfrac{7}{36}+\dfrac{13}{168}$
$a_3=\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{6}+\dfrac{1}{4}$
$a_4=\dfrac{9}{308}-\dfrac{5}{242}$
Dans chaque cas, donner tous les diviseurs de chacun des deux nombres, puis déterminer les diviseurs communs. Parmi ceux-là, déduire le plus grand commun diviseur aux deux nombres.
$15$ et $35$.
$60$ et $40$.
$45$ et $64$.
$270$ et $180$.
$56$ et $99$.
Le crible d'Ératosthène permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier.
Nous allons l'utiliser ici pour déterminer les nombres premiers inférieur à $100$.
Dans le tableau ci-dessous, barrer tous les multiples de $2$ sauf $2$. Entourer ensuite le premier nombre non barré après $2$, et barrer tous les multiples de ce nombres (sauf celui-ci) et répéter les opérations jusqu'à ne plus pouvoir rien barrer ou entourer.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
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21
22
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24
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28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Écrire les fractions ci-dessous sous forme irréductible.
$\dfrac{45}{20}$.
$\dfrac{63}{42}$.
$\dfrac{121}{56}$.
$\dfrac{156}{234}$.
$\dfrac{1080}{1350}$.
Soient $a$ et $a'$ deux nombres impairs. Montrer que $a^2+a'^2$ est un nombre pair.
Dans un club de vacances, un concours de danse par équipes regroupe $60$ hommes et $80$ femmes.
L'organisme veut constituer le plus d'équipes possibles, chacune de même nombre et contenant la même proportion d'hommes et de femmes.
Combien d'équipes l'organisme doit-il constituer ?
On dispose de $60$ dalles de jardin de $50$ cm par $50$ cm.
Combien de terrasses rectangulaires différentes peut-on faire en utilisant la totalité de ces $60$ dalles.
Parmi ces terrasses qu'elle est celle dont l'aire est maximale ?
Soit $n$ un entier naturel qui possède deux diviseurs stricts que l'on note $a$ et $b$.
C'est-à-dire que : $n=a\times b$ et $1 < a < n$ ainsi que $1 < b < n$.
L'objectif de l'exercice est de démontrer par l'absurde que $a\leq \sqrt{n}$ et $b\leq\sqrt{n}$.
Quelles hypothèses émettre pour débuter le raisonnement par l'absurde ?
Montrer, sous ces hypothèses, que $n < b\sqrt{n}$ et $b\sqrt{n} < ab$.
En déduire une contradiction et conclure.
À partir du résultat précédent optimiser l'algorithme ci-dessous.
from math import*
def isPrime(n):
borne = n
premier = True
for i in range(2,borne):
if n%i == 0:
premier = False
if premier:
print(str(n)+" est premier.")
else:
print(str(n)+" n'est pas premier.")
Leonhard Euler (1707 / 1783) a découvert que les formules $p(n)=n^2+n+17$ et $q(n)=n^2-n+41$ fournissaient, de manière très fréquente, des nombres premiers pour les premières valeurs de $n$.
En utilisant la fonction donnée (et en l'optimisant) écrire un algorithme qui donne le pourcentage de nombres premiers obtenu à l'aide de chacune de ces formules pour $n$ allant de $0$ jusqu'à $100$.
from math import*
def isPrime(n):
borne = n
premier = True
for i in range(2,borne):
if n%i ==0:
premier = False
return premier
Le but de cet exercice est de montrer que le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Nous allons raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe une fraction irréductible $\dfrac{a}{b}$, avec $a$ et $b$ des entiers, $b\neq0$, tel que :
$$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}.$$
Montrer que $a^2 = 2b^2$.
En déduire que $a$ est pair.
Montrer alors que $b^2$ est pair. Que peut-on en déduire pour $b$ ?
Conclure.
La conjecture de Goldbach affirme que « tout nombre pair supérieur ou égale à $4$ est la somme de deux nombres premiers ».
Vérifier cette conjecture pour tous les nombres pairs de l'intervalle $[10;20]$.
Trouver tous les nombres premiers $p$ et $p'$ tels que $10 = p+p'$.
De combien de façons $50$ peut-il se décomposer en une somme de deux entiers naturels ? Qu'elle est la proportion de ces décompositions répondant à la conjecture de Goldbach ?
De combien de façons un entier naturel pair $2n$ (avec $n\in\mathbb{N}$) peut-il se décomposer en une somme de deux entiers naturels ?
Certains mathématiciens estiment que la proportion de ces décompositions qui répondent à la conjecture de Goldbach est proche de $\dfrac{n}{(\ln(n))^2}$ pour $n$ assez grand, avec $\ln$ une fonction qui est sur une des touches de la calculatrice.
La conjecture de Goldbach a été vérifiée pour tous les entiers naturels pairs de $4$ jusqu'à (au moins) $1,1\times 10^{18}$.
En utilisant votre calculatrice expliquer pourquoi certains mathématiciens estiment fort probable que la conjecture de Goldbach est vraie.