Généralités sur les fonctions On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x-5$.
  1. Déterminer les images par $f$ de : $-3$ ; $\dfrac{5}{2}$ ; $a$ ; $a+2$ ; $x+1$.
  2. Déterminer les éventuels antécédents de : $0$ ; $\dfrac{3}{4}$ ; $\sqrt{5}$ ; $y$.
Pour chaque fonction trouver la ligne du tableau correspondante.
  1. $f(x)=x^2$
  2. $g(x)=x$
  3. $h(x)=x^3$
  4. $i(x)=\sqrt{x^2}$
  5. $j(x)=\dfrac{x^2}{x}$
  6. $k(x)=\left( \sqrt{x} \right)^2$
$x$ $-1$ $0$ $1$ $2$
? $-1$ $0$ $1$ $8$
? $1$ $0$ $1$ $2$
? $-1$ $0$ $1$ $2$
? non définie $0$ $1$ $2$
? $-1$ non définie $1$ $2$
? $1$ $0$ $1$ $4$
On considère la fonction suivante, définie pour tout nombre réel différent de 3 par : $$\begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R}\backslash\{3\} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & t & \longmapsto & \dfrac{t^2+1}{t-3} \end{array}$$
  1. Expliquer pourquoi le nombre $3$ ne peut pas faire partie de l'ensemble de définition de $f$.
  2. Déterminer l'image de $0$ par $f$.
  3. Montrer que $-\dfrac{1}{3}$ a pour image lui-même.
  4. D'autres éléments de l'ensemble de définition ont-ils pour image pour eux-même ?
Une fourmi lancée à grande vitesse effectue un freinage. On s'intéresse à la distance qu'elle parcourt en fonction du temps.

• On se dit qu'au temps $t=0$, elle a parcouru 0 cm.
• Au bout de 1 seconde, elle a parcouru 1 cm.
• Au bout de 2 secondes, elle a parcouru, en centimètres, $1+\dfrac{1}{2}$.
• Au bout de 3 secondes, elle a parcouru $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ cm.
• Au bout de 4 secondes, elle a parcouru, on s'en doute, $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$ cm.
• Et ainsi de suite.

Ainsi, on peut définir une fonction $d$, telle qu'à l'instant $t$, exprimé en seconde, la fourmi aura parcourue la distance $d(t)$, exprimée en centimètre.
  1. Écrire sous forme décimale, à l'aide de deux chiffres après la virgule, la distance parcourue par la fourmi au bout de 2 secondes.
  2. Calculer ensuite, $d(3)$, $d(4)$ et $d(5)$. Que représentent ces nombres ?
  3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
    $t$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$ $13$ $14$ $15$
    $d(t)$
  4. Construire dans un repère orthonormé le nuage de points associés à ce tableau de valeurs. Pourquoi n'est-il pas réaliste de relier les points par un segment ?
  5. Au bout de combien de temps la fourmi aura-t-elle dépassé les 3 cm ? Les 3,5 cm ?
  6. Expliquer le rôle de l'algorithme suivant. d = 0.0 n = 1.0 while d < 15: d = d + 1/n n = n + 1 print(n)
  7. La fourmi va-t-elle s'arréter ?
On considère la fonction : $f:x\longmapsto x^3+3x^2-x-3$.
On donne sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
Répondre de la manière la plus précise possible aux questions suivantes.
  1. Quelle est l'image de $-1,5$ par la fonction $f$?
  2. Quelle est l'image de 0 par la fonction $f$?
  3. Quelle est l'image de 1 par la fonction $f$?
  4. Trouver les antécédents de 2.
  5. Trouver les antécédents de 5.
  6. Trouver l'abscisse des points de la courbe d'ordonnée 0.
  7. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)= 0$.
  8. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=-2$.
  9. Donner le tableau de signes de la fonction $f$.
  10. Résoudre l'inéquation $f(x)<0$.
  11. Quelles sont les valeurs maximales et minimales de cette fonction ?
On donne trois fonctions définies soit par leur courbe, soit par leur expression algébrique, soit par leur tableau de valeurs. Attention ces trois fonctions ne sont pas les mêmes !

• Soit $f$ une fonction dont on connait le tableau de valeur suivant :
$x$ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
$f(x)$ $3$ $2,1$ $0$ $-1$ $-1,333$ $-0.5$ $0,001$ $2$ $10$
•Soit $g$ la fonction définie par : $$\begin{array}{cccl} g : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & g(x)=x^3-4x^2+5x-1. \end{array}$$ •Soit $h$ la fonction dont on connait graphique suivant :
  1. Pour chacune de ces fonctions trouver l'image de $-1,5$, puis de $4$.
  2. Trouver ensuite pour chacune d'elles les antécédents de $2$, puis de $-1,5$.
  3. Trouver le maximum de ces fonctions.
  4. Etablir enfin les tableaux de variations de $f$, $g$ et $h$.
  5. Conclure sur les avantages et les inconvénients de chacune des représentations des fonctions.
On considère la figure suivante, où le point $M$ se déplace sur le segment [$AB$]. On sait de plus que $AB = 9$ et on pose $AM = x$.
On cherche à déterminer quand est-ce que l'aire de la partie colorié en clair et maximale.
  1. Émettre une conjecture par rapport à notre problème.
  2. Quelles sont les valeurs possibles du nombre $x$ ?
  3. Déterminer l'aire de chacun des trois demi-disques de la figure.
  4. En déduire l'aire de la partie hachurée en fonction de $x$. On notera celle-ci $A(x)$.
  5. Tracer dans le repère fourni en annexe, la courbe représentative de la fonction $A$.
  6. Trouver graphiquement la réponse à notre problème.
  7. Construire le tableau de variations de la fonction $A$ sur son ensemble de définition.
  8. Interpréter ce tableau de variations en termes d'évolution de l'aire de la partie hachurée.
  9. Démontrer que : $A(x)=\dfrac{\pi}{4}(20,25-(x-4,5)^2)$.
  10. En déduire la valeur exacte de $x$ pour que $A(x)$ soit maximale.
function affiche(){ couleur = noir peinture = "#ffffff" transparence = 1 rectangle([-20,20],40,40) Xmin = -0.5 Xmax = 9.5 Ymin = -1 Ymax = 17 traceG() traceX() traceY() segment([1,-0.2],[1,0.2]) segment([-0.1,1],[0.1,1]) texte("0",[-0.3,-0.7]) texte("1",[0.9,-0.8]) texte("1",[-0.4,0.8]) } affiche() n = 0 L = [0,1,2,3,4,4.5,5,6,7,8,9] var btn = document.createElement("BUTTON"); btn.innerHTML = "Cliquer"; document.getElementById('addB').appendChild(btn); btn.addEventListener ("click", function() { function f(t){ return 0.785*(-t*t+9*t); } if ( n == 12 ){ affiche() n = -1 } if( n == 11 ){ graphe(f,0,9); n++ } if( n < 12){ couleur = rouge ptc(L[n]); n++ } }); function ptc(t){ point([t,0.785*(-t*t+9*t)]); }