Géométrie repérée Repère du plan
Un repère orthonormé du plan est la donnée de trois points non alignés $(O,I,J)$ tels que :

$(OI)\perp(OJ)$ et $OI$ $=$ $OJ$ $=1$. Un repère orthonormé peut s'appeler aussi repère orthonormal.

Un repère orthogonal du plan est la donnée de trois points non alignés $(O,I,J)$ tels que :

$(OI)\perp(OJ)$.

Un repère quelconque du plan est la donnée de trois points non alignés $(O,I,J)$

3Coordonnées d'un point
On considère un repère du plan. Dans ce repère un point du plan peut-être défini à l'aide de deux nombres.
On note généralement $(x;y)$ ce couple de nombres.
Le premier s'appelle abscisse. Le second s'appelle ordonnée. Placer les points $A(2;3)$, $B(-2;1,5)$, $C(-3,5;-4)$ et $D(6;0)$ dans le repère ci-dessous.

Distance entre deux points

Dans la figure ci-dessus on considère $A$, $B$ et $H$ trois points d'un repère orthogonal du plan tel que $x_H=x_B$ et $y_H=y_A$.
On a alors que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ et :

$AH$ $=$ $x_H-x_A$ $=$ $x_B-x_A$.

$BH$ $=$ $y_B - y_H$ $=$ $y_B-y_A$.

Ainsi, en appliquant le théorème de Pythgore au triangle rectangle $ABH$ :

$AB^2$	$=$	$AH^2+HB^2$
	$=$	$(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$

Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points d'un repère du plan. La distance entre les points $A$ et $B$ est en fait la longueur du segment $[AB]$.

On a alors :
$AB^2$ $=$ $(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$.
Ou encore :

$AB$ $=$ $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. On se place dans un repère orthogonal du plan. Trouver la longueur du segment $[MN]$ avec $M(-1;3)$ et $N(5;-1)$. En appliquant la formule précédente nous avons :

$MN^2$	$=$	$(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2$
	$=$	$(5-(-1))^2+(-1-3)^2$
	$=$	$6^2+(-4)^2$
	$=$	$36+16$
	$=$	$52$.

Ainsi, $MN$ $=$ $\sqrt{52}$ $=$ $\sqrt{4\times13}$ $=$ $\sqrt{4}\sqrt{13}$ $=$ $2\sqrt{13}$. Milieu d'un segment

Déplacer les points A et B
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points d'un repère du plan. On appelle $M$ le milieu de $[AB]$.
On note $(x_M;y_M)$ ses coordonnées.
On a que :

$M \left( \dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} \right)$. Soient $A(-4;-10)$ et $B(14;9)$ deux points d'un repère du plan. Déterminer les coordonnées de $M$ milieu de $[AB]$.

$M$	$=$	$\left( \dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} \right)$
	$=$	$\left( \dfrac{-4+14}{2} ; \dfrac{-10+9}{2} \right)$
	$=$	$\left( \dfrac{10}{2} ; \dfrac{-1}{2} \right)$
	$=$	$\left( 5 ; -\dfrac{1}{2} \right)$.

Quizz

Dans le repère ci-dessus les coordonnées du milieu du segment $[EF]$ sont :

$(0,5\, ; 0,5)$
$(1\, ; 0)$
$(0\, ; 1)$
$(0\, ; 0,5)$

Dans un repère du plan on considère les points de coordonnées $A(-1\,;2)$ et $B(3\, ;5)$.
Les coordonnées du milieu du segment $[AB]$ sont :

$\left(1\, ; \dfrac{3}{2} \right)$
$\left(2\, ; \dfrac{3}{2} \right)$
$\left(1\, ; \dfrac{1}{2} \right)$
$\left(2\, ; \dfrac{7}{2} \right)$

Dans le repère ci-dessus la longueur du segment $[EG]$ vaut :

$3$
$4$
$5$
$\sqrt{5}$

Dans un repère du plan on considère les points de coordonnées $A(-1\,;2)$ et $B(2\, ;5)$.
La longueur du segment $[AB]$ est :

$18$
$10$
$\sqrt{10}$
$3\sqrt{2}$