Généralités sur les fonctions
Définitions
Définir une fonction$f$ sur un ensemble de réels $D$ consiste à associer à chaque réel $x\in D$un uniqueréel$y$.
$x$
⟶
Fonction $f$
⟶
$y=f(x)$
• Dans la définition précédente, l'ensemble $D$ s'appelle l'ensemble de définition de la fonction $f$.
• Le nombre $f(x)$ est appelé imagede $x$par $f$.
• Le nombre $x$ est un antécédentde $y$$=$$f(x)$.
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, par $h(t)=t^2$.
Trouver l'image de $1$, puis l'image de $-3$.
Image de $1$ $h(1)$$=$$1^2$$=$$1$.
Image de $-3$ $h(-3)$$=$$(-3)^2$$=$$9$.
Trouver le(s) antécédent(s) de $1$.
On cherche $t$ tel que :
$h(t)$
$=$
$1$
$t^2$
$=$
$1$
Seul les nombres $1$ et $-1$ vérifient cette égalité.
Ainsi, les antécédents de $1$ sont $1$ et $-1$.
Trouver le(s) antécédent(s) de $-5$.
On cherche $t$ tel que :
$h(t)$
$=$
$-5$
$t^2$
$=$
$-5$
Or, d'après la règle des signes un carré est toujours positif. Il est
donc impossible de trouver un réel $t$ tel que son carré soit égale à $-5$.
Ainsi le nombre $-5$ ne possède aucun antécédent par $h$.
Un antécédent possède une uniqueimage.
Un nombre peut posséder un,plusieursouaucunantécédent.
On retiendra que :
• chercher une image revient à faire un calcul;
• chercher si un nombre possède un antécédent revient à résoudre une équation.
Schéma
ReprésentationsNotation algébrique
Voici quatres manières de définir algébriquement une fonction.
Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel par : $f(x)=3x^2-4x+1$.
Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel par : $f:x\longmapsto 3x^2-4x+1$.
Ces quatres écritures veulent dire exactement la même chose, et nous pouvons toutes les rencontrer dans divers exercices.
Le tableau de valeurs
On sait définir de manière algébrique une fonction, mais cela ne fournit pas nécessairement beaucoup d'information, ne nous donne pas trop d'indication sur la fonction. Nous avons vu qu'une fonction transformait les nombres en d'autres nombres, ce serait donc bien de voir ces transformations, de regarder les images de certains nombres. Mais nous allons organiser tout ceci dans un tableau.
On peut voir cela à l'aide d'un tableau de valeurs, comme ci-dessous.
Considérons à nouveau la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h:t\longmapsto t^2$, et remplissons le tableau de valeurs suivants :
$t$
$-4$
$-3$
$-2$
$-1,5$
$-1$
$-0,5$
$0$
$0,5$
$1$
$1,5$
$2$
$3$
$4$
$h(t)$
$16$
$9$
$4$
$2,25$
$1$
$0,25$
$0$
$0,25$
$1$
$2,25$
$4$
$9$
$16$
On peut voir que pour tout réel $t$, $h(-t)$$=$$h(t)$. On dit que la fonction carré est paire.La représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction est une courbe qui va nous aider à mieux comprendre la fonction.
Utilisons le tableau de valeurs précédent pour tracer la représentation graphique de la fonction $h$.
function affiche(){
couleur = noir
peinture = "#ffffff"
transparence = 1
rectangle([-20,20],40,40)
Xmin = -4.5
Xmax = 4.5
Ymin = -1
Ymax = 16.5
traceG()
traceX()
traceY()
segment([1,-0.2],[1,0.2])
segment([-0.1,1],[0.1,1])
texte("0",[-0.3,-0.7])
texte("1",[0.9,-0.8])
texte("1",[-0.4,0.8])
}
affiche()
n = 0
L = [-4,-3,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,3,4]
var btn = document.createElement("BUTTON");
btn.innerHTML = "Cliquer";
document.getElementById('addB').appendChild(btn);
btn.addEventListener ("click", function() {
function f(t){
return t*t;
}
if ( n == 14 ){
affiche()
n = -1
}
if( n == 13 ){
graphe(f,-4.5,4.5);
n++
}
if( n < 13){
couleur = rouge
ptc(L[n]);
n++
}
});
function ptc(x){
point([x,x*x]);
}
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$.
Dans un repère du plan, la courbe représentative$\mathcal{C}$ de la fonction $f$, est l'ensemble des points de coordonnées $(x;y)$ tels que $y$$=$$f(x)$.
On retiendra les relations :
Antécédent
⇆
$x$
⇆
Abscisse
Image
⇆
$f(x)$
⇆
Ordonnée
Dans le graphique ci-dessous est construit la courbe d'une fonction $g$. Déterminer :
• l'image de $3$ par $g$;
• les éventuels antécédents de $-1$ par $g$.
Image de $3$
On trace pour cela, à partir du point $(3;0)$, un segment de droite verticale jusqu'à toucher la courbe. On construit alors à partir de ce dernier point un segment horizontal jusqu'à l'axe des ordonnées et on lit l'ordonnée du point obtenu.
On a donc que l'image de $3$ par $g$ vaut $g(3)$$\approx$$-1,4$.
Antécédents de $-1$
On trace la droite horizontale dont tous les points sont d'ordonnées $-1$. On regarde alors les abscissesdes points d'intersection de cette droite avec la courbe représentative de la fonction $g$.
On a donc que les antécédents de $-1$ par $g$ sont : $-0,9$;$2,6$;$4,2$.Quelle est la meilleure représentation ?
En effet, pourquoi représenter les fonctions de manières différentes ? Et parmi ces représentations laquelle est la meilleure ?
Réponse : nous verrons cela dans les exercices.Tableau de variation
On se rend compte, par exemple sur le graphique de la fonction $h$ que la fonction semble diminuer puis augmenter. On peut résumer cela en un tableau de variation :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-5$. L'image de $-1$ par $f$ vaut :
$-8$
$-2$
$4$
$-14$
Soit $h$ une fonction définie sur $[-4\,;4]$ dont la représentation graphique dans un repère du plan est :
Parmi les propositions ci-dessous une seule est fausse. Laquelle ?
$h(0)=1$
$h(-2)=0$
$h(3)=4$
$h(-1)=4$
Soit $g$ une fonction définie sur $[-5\,;5]$ dont la représentation graphique dans un repère du plan est :
Une seule des propositions ci-dessous est correcte. Laquelle ?
L'image de $3$ est négative.
L'image de $0$ est le double de l'image de $1$.
L'image de $2$ est supérieure à l'image de $4$.
L'image de $1$ est égale à l'image de $-1$.
Soit $f$ une fonction définie sur $[-6\,;5]$ dont la représentation graphique dans un repère du plan est :
Parmi les propositions ci-dessous une seule est fausse. Laquelle ?