2nde ∼ Sujet 0 de devoir commun Compléter le tableau ci-dessous en cochant les cases nécessaires pour indiquer que le nombre appartient à l'ensemble, comme dans l'exemple de la première ligne :
$\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$
$5,8$ ✗ ✗ ✗
$6$
$\sqrt{7}$
$-\dfrac{903}{21}$
$\dfrac{3}{\pi}$
$\dfrac{1}{9}$
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dont les représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données ci-dessous.
  1. Lire graphiquement :
    1. L'image de $1$ par $f$.
    2. Les antécédents de $4$ par $g$.
    3. $f(3)$
    4. $g(3)$
  2. À l'aide du graphique, établir :
    1. Le tableau de signes de $f$ sur $[0\,;3]$.
    2. Le tableau de signe de $g$ sur $[0\,;4]$.
  3. Résoudre graphiquement les équations est inéquations suivantes :
    1. $f(x)=1$.
    2. $f(x)=g(x)$.
    3. $f(x)\leq 0$.
    4. $g(x)>f(x)$.
Soit $f$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x-4$.
Soit $g$ la fonction affine dont la représentation graphique dans un repère du plan passe par les points $A(0\,;2)$ et $B(4\,;-2)$.
  1. Déterminer l'image de $-6$ par $f$.
  2. Calculer $f(2)$. Le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible.
  3. Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine $g$.
  4. Construire dans le repère ci-dessous les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$.
  5. Déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection entre les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
  6. En déduire les positions relatives entre les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
Quatre questions de cours seront posées dans la liste suivante : Exemple d'exercice possible :
  1. Donner la définition d'un nombre rationnel.
  2. Définir un repère orthonormal du plan.
  3. Quelle formule permet dans un repère orthonormal de calculer la longueur de $[AB]$ où $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ ?
  4. Soit $f$ la fonction affine définie par la relation $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels avec $a>0$. Montrer que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
L'exercice suivant est un QCM. Pour chaque question, une seule proposition est correcte. Aucune justification n'est demandée. La réponse est à cocher sur l'énoncé.
Pour chaque question : Soit $x$ un nombre réel.
  1. La forme factorisée de $x^2-3x$ est :
    2. $\square$ $(x-3)^2$
    $\square$ $x(x-3)$
    $\square$ $-2x^2$
    $\square$ $3x(x-1)$
  2. La forme développée de $(2x-3)^2$ est :
    3. $\square$ $2x^2-9$
    $\square$ $4x^2-9$
    $\square$ $2x^2-6x+9$
    $\square$ $4x^2-12x+9$
  3. La forme factorisée de $x^2-4$ est :
    4. $\square$ $(x-4)^2$
    $\square$ $(x-4)(x+4)$
    $\square$ $(x-2)(x+2)$
    $\square$ $-3x^2$
  4. Le nombre $\dfrac{11}{5}-\dfrac{3}{7}$ est égal à :
    5. $\square$ $\dfrac{124}{70}$

    $\square$ $\dfrac{52}{35}$

    $\square$ $1,77$

    $\square$ $\dfrac{8}{-2}$
  5. Le nombre $\dfrac{\sqrt{6}\times\sqrt{3}}{\sqrt{2}\times\sqrt{8}}$ est égal à :
    6. $\square$ $\dfrac{3}{2}$

    $\square$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    $\square$ $\dfrac{9}{8}$

    $\square$ $ \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
  6. On considère le programme Python suivant :
    7. a = 12 b = 8 c = 0 if a+b < 2*b+1: c = b+a b = a*b else: c = a+2*b a = b**2 Quelles sont les valeurs des variables a, b et c après exécution de l'algorithme ?

    $\square$ a=64, b=8, c=28
    $\square$ a=12, b=96, c=20
    $\square$ a=16, b=8, c=28
    $\square$ a=12, b=96, c=108
On considère, dans un repère orthonormé du plan les points $A(0;-2)$, $B(-5;3)$, $C(-1;7)$ et $D(4\,;2)$.
  1. Placer ces points dans le repère donné ci-dessus. On complétera la figure au fur et à mesure de l'exercice.
  2. Calculer les distance $AB$, $AC$ et $BC$.
  3. En déduire la nature du triangle $ABC$.
  4. Déterminer les coordonnées du point $M$ milieu de $[AC]$.
  5. Montrer que la quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
  6. $ABCD$ est-il un rectangle ? Un carré ?
Étape 0. On pose un jeton portant le numéro $0$ et un autre jeton le numéro $1$.
Étape 1. On pose entre les deux jetons un nouveau jeton sur lequel figure la somme des numéros des deux jetons qui l'encadrent.
Étape 2. Entre chaque paire de jetons déjà placés, insérer un nouveau jeton sur lequel figure la somme des numéros des deux jetons qui l'encadrent.
Pour les étapes suivantes on répète les instructions de l'étape 2.
  1. Faire une figure pour l'étape 3 et l'étape 4.
    On pourra agrandir l'espace entre les jetons pour obtenir une figure plus visible.
  2. Si on répéte cette construction jusqu'à l'étape 10, quelle sera alors la somme des numéros de l'ensemble des jetons placés ?