Généralités sur les fonctions On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x-5$.

Déterminer les images par $f$ de : $-3$ ; $\dfrac{5}{2}$ ; $a$ ; $a+2$ ; $x+1$.
Déterminer les éventuels antécédents de : $0$ ; $\dfrac{3}{4}$ ; $\sqrt{5}$ ; $y$.

Pour chaque fonction trouver la ligne du tableau correspondante.

$f(x)=x^2$
$g(x)=x$
$h(x)=x^3$
$i(x)=\sqrt{x^2}$
$j(x)=\dfrac{x^2}{x}$
$k(x)=\left( \sqrt{x} \right)^2$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
?	$-1$	$0$	$1$	$8$
?	$1$	$0$	$1$	$2$
?	$-1$	$0$	$1$	$2$
?	non définie	$0$	$1$	$2$
?	$-1$	non définie	$1$	$2$
?	$1$	$0$	$1$	$4$

On considère la fonction suivante, définie pour tout nombre réel différent de 3 par : $$\begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R}\backslash\{3\} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & t & \longmapsto & \dfrac{t^2+1}{t-3} \end{array}$$

Expliquer pourquoi le nombre $3$ ne peut pas faire partie de l'ensemble de définition de $f$.
Déterminer l'image de $0$ par $f$.
Montrer que $-\dfrac{1}{3}$ a pour image lui-même.
D'autres éléments de l'ensemble de définition ont-ils pour image pour eux-même ?

Une fourmi lancée à grande vitesse effectue un freinage. On s'intéresse à la distance qu'elle parcourt en fonction du temps.

• On se dit qu'au temps $t=0$, elle a parcouru 0 cm.
• Au bout de 1 seconde, elle a parcouru 1 cm.
• Au bout de 2 secondes, elle a parcouru, en centimètres, $1+\dfrac{1}{2}$.
• Au bout de 3 secondes, elle a parcouru $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ cm.
• Au bout de 4 secondes, elle a parcouru, on s'en doute, $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$ cm.
• Et ainsi de suite.

Ainsi, on peut définir une fonction $d$, telle qu'à l'instant $t$, exprimé en seconde, la fourmi aura parcourue la distance $d(t)$, exprimée en centimètre.

Écrire sous forme décimale, à l'aide de deux chiffres après la virgule, la distance parcourue par la fourmi au bout de 2 secondes.
Calculer ensuite, $d(3)$, $d(4)$ et $d(5)$. Que représentent ces nombres ?

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

$t$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$d(t)$

Construire dans un repère orthonormé le nuage de points associés à ce tableau de valeurs. Pourquoi n'est-il pas réaliste de relier les points par un segment ?
Au bout de combien de temps la fourmi aura-t-elle dépassé les 3 cm ? Les 3,5 cm ?
Expliquer le rôle de l'algorithme suivant. d = 0.0 n = 1.0 while d < 15: d = d + 1/n n = n + 1 print(n)
La fourmi va-t-elle s'arréter ?

On considère la fonction : $f:x\longmapsto x^3+3x^2-x-3$.
On donne sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

Répondre de la manière la plus précise possible aux questions suivantes.

Quelle est l'image de $-1,5$ par la fonction $f$?
Quelle est l'image de 0 par la fonction $f$?
Quelle est l'image de 1 par la fonction $f$?
Trouver les antécédents de 2.
Trouver les antécédents de 5.
Trouver l'abscisse des points de la courbe d'ordonnée 0.
Résoudre graphiquement l'équation $f(x)= 0$.
Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=-2$.
Donner le tableau de signes de la fonction $f$.
Résoudre l'inéquation $f(x)<0$.
Quelles sont les valeurs maximales et minimales de cette fonction ?

On donne trois fonctions définies soit par leur courbe, soit par leur expression algébrique, soit par leur tableau de valeurs. Attention ces trois fonctions ne sont pas les mêmes !

• Soit $f$ une fonction dont on connait le tableau de valeur suivant :

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$2,1$	$0$	$-1$	$-1,333$	$-0.5$	$0,001$	$2$	$10$

•Soit $g$ la fonction définie par : $$\begin{array}{cccl} g : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & g(x)=x^3-4x^2+5x-1. \end{array}$$ •Soit $h$ la fonction dont on connait graphique suivant :

Pour chacune de ces fonctions trouver l'image de $-1,5$, puis de $4$.

Trouver ensuite pour chacune d'elles les antécédents de $2$, puis de $-1,5$.

Trouver le maximum de ces fonctions.
Etablir enfin les tableaux de variations de $f$, $g$ et $h$.
Conclure sur les avantages et les inconvénients de chacune des représentations des fonctions.

On considère la figure suivante, où le point $M$ se déplace sur le segment [$AB$]. On sait de plus que $AB = 9$ et on pose $AM = x$.

On cherche à déterminer quand est-ce que l'aire de la partie colorié en clair et maximale.

Émettre une conjecture par rapport à notre problème.
Quelles sont les valeurs possibles du nombre $x$ ?
Déterminer l'aire de chacun des trois demi-disques de la figure.
En déduire l'aire de la partie hachurée en fonction de $x$. On notera celle-ci $A(x)$.
Tracer dans le repère fourni en annexe, la courbe représentative de la fonction $A$.
Trouver graphiquement la réponse à notre problème.
Construire le tableau de variations de la fonction $A$ sur son ensemble de définition.
Interpréter ce tableau de variations en termes d'évolution de l'aire de la partie hachurée.
Démontrer que : $A(x)=\dfrac{\pi}{4}(20,25-(x-4,5)^2)$.
En déduire la valeur exacte de $x$ pour que $A(x)$ soit maximale.