Arithmétique Diviseur / multiple
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
On dit que $a$ est un diviseur de $b$ lorsqu'il existe $k$ $\in$ $\mathbb{Z}$ tel que $b=k\times a$. Si $a$ est un diviseur de $b$ on peut alors dire que $a$ divise $b$, ou que $b$ est un multiple de $a$, ou encore que $b$ est divisible par $a$. Le nombre $3$ est un diviseur de $153$ car $153$ $=$ $3\times 51$. Déterminer la liste des diviseurs de $132$. On remarque que $132$ $=$ $2\times2\times 3\times 11$, ainsi en prenant toutes les combinaisons possibles parmi tous ces diviseurs, la listes des diviseurs de $132$ est :

$1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $12$ ; $11$ ; $22$ ; $33$ ; $44$ ; $66$ ; $132$ Déterminer la liste des diviseurs de $109$. Le nombre $109$ ne possède que deux diviseurs $1$ et $109$.
Soit $a\in\mathbb{Z}$. Si $b$ et $b'$ sont deux multiples de $a$, alors $b+b'$ est un multiple de $a$. Preuve
Soit $a\in\mathbb{Z}$, et soient $b$ et $b'$ deux multiples de $a$.
On a alors qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $b=a\times k$, et qu'il existe $k'\in\mathbb{Z}$ tel que $b'=a\times k'$.
Ainsi, $b+b'$ $=$ $ka+k'a$ $=$ $a(k+k')$ est bien un multiple de $a$. Nombre pair / nombre impair
• Un nombre est dit pair si il est divisible par $2$.

• Un nombre est dit impair si il n'est pas divisible par $2$.
Soit $a\in\mathbb{Z}$ :
• $a$ est pair si il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a$ $=$ $2\times k$;

• $a$ est impair si il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a$ $=$ $2\times k+1$. $17$ $=$ $2\times8+1$ est un nombre impair.

$158$ $=$ $2\times79$ est un nombre pair.
Soit $a\in\mathbb{Z}$.
Si $a$ est impair alors $a^2$ est impair. Preuve
Soit $a\in\mathbb{Z}$ un nombre impair. Il existe alors $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a$ $=$ $2k+1$.

$a^2$	$=$	$(2k+1)^2$
	$=$	$(2k)^2+2\times(2k)\times1+1^2$
	$=$	$4k^2+4k+1$
	$=$	$2(2k^2+2k)+1$
	$=$	$2N+1$,

en posant $N$ $=$ $2k^2+2k$.
Ainsi, $a^2$ est bien un nombre impair.
Soit $a\in\mathbb{Z}$.
Si $a^2$ est impair alors $a$ est impair. Preuve
Nous allons raisonner par contraposée. C'est-à-dire que l'on cherche à montrer que « si $a$ est un nombre pair alors $a^2$ est un nombre pair ».
Ainsi, si $a$ est pair il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a$ $=$ $2k$.
On a alors que $a^2$ $=$ $(2k)^2$ $=$ $4k^2$ $=$ $2\times(2k^2)$, et donc $a^2$ est un nombre pair. On aurait pu énoncer ces deux dernières propriétés en une seule de la sorte :
Soit $a\in\mathbb{Z}$.
$a^2$ est impair si et seulement si $a$ est impair. Nombres premiers
Un entier naturel non nul est appelé nombre premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Les nombres $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ sont premiers.
Le nombre $60$ n'est pas premier, il possède plus que deux diviseurs : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ ; $12$ ; $15$ ; $20$ ; $30$ et $60$. Voici un algorithme inspiré du crible d'Ératosthène pour obtenir les nombres premiers inférieurs à $100$.

from math import* for i in range(2,101): premier = 1 for j in range(2,i): if i%j == 0: premier = 0 if premier == 1: print(i) Quizz

1. Parmi les nombres suivants lequel n'est pas divisible par $4$ ?
   1. $164$
   2. $124$
   3. $246$
   4. $616$


2. Trouver le nombre premier dans la liste ci-dessous.
   1. $113$
   2. $114$
   3. $115$
   4. $117$


3. Parmi les propositions ci-dessous une seule est fausse. Laquelle ?
   1. Un multiple de $4$ est divisible par $2$
   2. Si un nombre est divisible par $15$ il est divisible par $3$
   3. Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par $7$ ce nombre est un multiple de $7$
   4. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs.


4. Parmi les propositions ci-dessous une seule est correcte. Laquelle ?
   1. Le carré d'un nombre premier possède exactement trois diviseurs.
   2. $597$ est un nombre premier.
   3. Il n'existe pas deux nombres premiers consécutifs.
   4. La somme de deux nombres premiers n'est jamais un nombre premier.