Intervalles ∼ Valeur absolue 1Intervalles Definition 1
Soient aa et bb deux nombres réels.
• On appelle
intervalle fermé
[a;b][a;b] l'ensemble des nombres réels xx tels que
axba\leq x \leq b.


• On appelle
intervalle ouvert ]a;b[]a;b[
l'ensemble des nombres réels xx tels que
a<x<ba < x < b.


• L'intervalle
[a;b[[a;b[
est l'ensemble des nombres réels xx tels que
ax<ba\leq x < b.


• L'intervalle
]a;b]]a;b]
est l'ensemble des nombres réels xx tels que
a<xba< x \leq b.
Exemple 1 L'intervalle I=[1;2[I = [-1;2[ est l'ensemble des nombres xx tels que
1x<2-1\leq x <2.

En particulier :
0[1;2[0\in[-1;2[
;
10-10 \notin [1;2[[-1;2[
;
1-1 \in [1;2[[-1;2[
;
22 \notin [1;2[[-1;2[.
Definition 2
Soit aa un nombre réel.
• On note
[a;+[[a;+\infty[
l'ensemble des nombres réels xx tels que
xax\geq a.


• On note
]a;+[]a;+\infty[
l'ensemble des nombres réels xx tels que
x>ax> a.


• On note
];a]]-\infty;a]
l'ensemble des nombres réels xx tels que
xax\leq a.


• On note
];a[]-\infty;a[
l'ensemble des nombres réels xx tels que
x<ax < a.
Exemple 2 On a :
10-10
\in ];9]]-\infty;9].
Remark 1 On peut représenter un intervalle sur la droite graduée des nombres réels. Par exemple pour l'intervalle ]4;8]]-4;8] on obtient :
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Definition 3
Soient II et JJ deux intervalles.
L'intersection
de II et JJ est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent
à la fois à II et à JJ.
On note
IJI\cap J
cet ensemble.

La réunion
de II et JJ est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à
II et/ou à JJ.
On note
IJI\cup J
cet ensemble.
Exemple 3 Soit I=[2;11]I = [2;11] et J=]4;13[J = ]4;13[.

On a : IJI\cap J ==
]4;11]]4;11]
et IJI\cup J ==
[2;13[[2;13[.
Remark 2 L'intersection entre deux intervalles est soit
un intervalle
soit
l'ensemble vide
\oslash.

L'union entre deux intervalles peut
ne pas être un intervalle.
Par exemple [0;1][2;3][0;1]\cup[2;3]
n'est pas un intervalle.
2Valeur absolue Definition 4
On appelle
valeur absolue
d'un nombre réel xx
la distance entre xx et 00.
On la note
x|x|.
Exemple 4
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

On a
5|-5|
==
55
et
5|5|
==
55.
Property 1
Soit xRx\in\mathbb{R}. On a alors :

x|x| == {xsi x0xsi x0\left\{ \begin{array}{cc} x & \text{si } x\geq 0 \\ -x & \text{si } x\leq 0 \\ \end{array} \right.
Exercice 1 Déterminer toutes les valeurs possibles de xx tel que x+1=3|x+1| = 3.
Correction
Si x+1=3|x+1| = 3 alors :

• soit
x+1x+1
==
33
et
xx
==
313-1
==
22.


• soit
x+1x+1
==
3-3
et
xx
==
31-3-1
==
4-4.


Ainsi les valeurs cherchées sont
4-4 et 22.
Definition 5
Soient aa et bb deux nombres réels. On appelle
distance entre aa et bb
le nombre ba|b-a|.
Exemple 5 La distance entre les nombre 33 et 88 vaut
83|8-3|
==
5|5|
==
55.

La distance entre les nombre 33 et 11-11 vaut
113|-11-3|
==
14|-14|
==
1414.
Property 2
Soit aa un nombre réel et soit rr un nombre réel strictement positif.

• L'ensemble des nombres réels xx tels que
xar|x-a|\leq r
est l'ensemble des nombres de
l'intervalle
[ar;a+r][a-r;a+r].


• L'ensemble des nombres réels xx tels que
xa<r|x-a|< r
est l'ensemble des nombres de
l'intervalle
]ar;a+r[]a-r;a+r[.
Exemple 6 L'ensemble des nombres réels xx tels que x102|x-10|\leq 2 est l'intervalle
[8;12][8;12].
3Quizz
  1. L'ensemble II composé des nombres réels xx tel que 3<x5 3 < x \leq 5 vérifie :
    1. I=]3;5[I=]3;5[
    2. I=[3;5[I=[3;5[
    3. I=]3;5]I=]3;5]
    4. I=[3;5]I=[3;5]

  2. Soit I=[3;+[I = [-3;+\infty[ et J=[5;0[J = [-5;0[ . On a alors :
    1. IJ=[5;+[I\cap J = [-5;+\infty[
    2. IJ=[3;0]I\cap J = [-3;0]
    3. IJ=[5;+[I\cup J = [-5;+\infty[
    4. IJ=[3;+[I\cup J = [-3;+\infty[

  3. Soit a=5×32×(37)a = -5\times3-2\times(3-7)
    1. a=7|a| = -7
    2. a=7|a| = 7
    3. a=23|a| = -23
    4. a=23|a| = 23

  4. Soit xRx\in\mathbb{R} tel que x8<5|x-8| < 5. Alors :
    1. x[5;8]x\in[5;8]
    2. x]3;13[x\in]3;13[
    3. x[3;13]x\in[3;13]
    4. x]3;13[x\in]-3;13[