Intervalles ∼ Valeur absolue
Intervalles
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
• On appelle intervalle fermé $[a;b]$ l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a\leq x \leq b$.
• On appelle intervalle ouvert $]a;b[$ l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a < x < b$.
• L'intervalle $[a;b[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a\leq x < b$.
• L'intervalle $]a;b]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a< x \leq b$.
L'intervalle $I = [-1;2[$ est l'ensemble des nombres $x$ tels que $-1\leq x <2$.
En particulier : $0\in[-1;2[$;$-10$ $\notin$ $[-1;2[$;$-1$ $\in$ $[-1;2[$;$2$ $\notin$ $[-1;2[$.
Soit $a$ un nombre réel.
• On note $[a;+\infty[$ l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x\geq a$.
• On note $]a;+\infty[$ l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x> a$.
• On note $]-\infty;a]$ l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x\leq a$.
• On note $]-\infty;a[$ l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x < a$.
On a : $-10$$\in$ $]-\infty;9]$.
On peut représenter un intervalle sur la droite graduée des nombres réels. Par exemple pour l'intervalle $]-4;8]$ on obtient :
Soient $I$ et $J$ deux intervalles.
• L'intersection de $I$ et $J$ est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$. On note $I\cap J$ cet ensemble.
• La réunion de $I$ et $J$ est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à $I$ et/ou à $J$. On note $I\cup J$ cet ensemble.
Soit $I = [2;11]$ et $J = ]4;13[$.
On a : $I\cap J$ $=$ $]4;11]$ et $I\cup J$ $=$ $[2;13[$.
L'intersection entre deux intervalles est soit un intervalle soit l'ensemble vide$\oslash$.
L'union entre deux intervalles peut ne pas être un intervalle. Par exemple $[0;1]\cup[2;3]$ n'est pas un intervalle.Valeur absolue
On appelle valeur absolue d'un nombre réel $x$ la distance entre $x$ et $0$. On la note $|x|$.
On a $|-5|$$=$$5$et$|5|$$=$$5$.
Soit $x\in\mathbb{R}$. On a alors :
$|x|$ $=$ $\left\{ \begin{array}{cc}
x & \text{si } x\geq 0 \\
-x & \text{si } x\leq 0 \\
\end{array} \right.$
Déterminer toutes les valeurs possibles de $x$ tel que $|x+1| = 3$.
Si $|x+1| = 3$ alors :
• soit $x+1$$=$$3$et$x$$=$$3-1$ $=$$2$.
• soit $x+1$$=$$-3$et$x$$=$$-3-1$$=$$-4$.
Ainsi les valeurs cherchées sont $-4$ et $2$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle distance entre $a$ et $b$le nombre $|b-a|$.
La distance entre les nombre $3$ et $8$ vaut $|8-3|$$=$$|5|$$=$$5$.
La distance entre les nombre $3$ et $-11$ vaut $|-11-3|$$=$$|-14|$$=$$14$.
Soit $a$ un nombre réel et soit $r$ un nombre réel strictement positif.
• L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $|x-a|\leq r$ est l'ensemble des nombres de l'intervalle$[a-r;a+r]$.
• L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $|x-a|< r$ est l'ensemble des nombres de l'intervalle$]a-r;a+r[$.
L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $|x-10|\leq 2$ est l'intervalle $[8;12]$.Quizz
L'ensemble $I$ composé des nombres réels $x$ tel que $ 3 < x \leq 5$ vérifie :
$I=]3;5[$
$I=[3;5[$
$I=]3;5]$
$I=[3;5]$
Soit $I = [-3;+\infty[$ et $J = [-5;0[ $. On a alors :
$I\cap J = [-5;+\infty[$
$I\cap J = [-3;0]$
$I\cup J = [-5;+\infty[$
$I\cup J = [-3;+\infty[$
Soit $a = -5\times3-2\times(3-7)$
$|a| = -7$
$|a| = 7$
$|a| = -23$
$|a| = 23$
Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $|x-8| < 5$. Alors :