Intervalles ∼ Valeur absolue
1
Intervalles
Definition 1
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux nombres réels.
• On appelle
intervalle fermé
[
a
;
b
]
[a;b]
[
a
;
b
]
l'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
a
≤
x
≤
b
a\leq x \leq b
a
≤
x
≤
b
.
• On appelle
intervalle ouvert
]
a
;
b
[
]a;b[
]
a
;
b
[
l'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
a
<
x
<
b
a < x < b
a
<
x
<
b
.
• L'intervalle
[
a
;
b
[
[a;b[
[
a
;
b
[
est l'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
a
≤
x
<
b
a\leq x < b
a
≤
x
<
b
.
• L'intervalle
]
a
;
b
]
]a;b]
]
a
;
b
]
est l'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
a
<
x
≤
b
a< x \leq b
a
<
x
≤
b
.
Exemple 1
L'intervalle
I
=
[
−
1
;
2
[
I = [-1;2[
I
=
[
−
1
;
2
[
est l'ensemble des nombres
x
x
x
tels que
−
1
≤
x
<
2
-1\leq x <2
−
1
≤
x
<
2
.
En particulier :
0
∈
[
−
1
;
2
[
0\in[-1;2[
0
∈
[
−
1
;
2
[
;
−
1
0
-10
−
1
0
∉
\notin
∉
[
−
1
;
2
[
[-1;2[
[
−
1
;
2
[
;
−
1
-1
−
1
∈
\in
∈
[
−
1
;
2
[
[-1;2[
[
−
1
;
2
[
;
2
2
2
∉
\notin
∉
[
−
1
;
2
[
[-1;2[
[
−
1
;
2
[
.
Definition 2
Soit
a
a
a
un nombre réel.
• On note
[
a
;
+
∞
[
[a;+\infty[
[
a
;
+
∞
[
l'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
x
≥
a
x\geq a
x
≥
a
.
• On note
]
a
;
+
∞
[
]a;+\infty[
]
a
;
+
∞
[
l'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
x
>
a
x> a
x
>
a
.
• On note
]
−
∞
;
a
]
]-\infty;a]
]
−
∞
;
a
]
l'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
x
≤
a
x\leq a
x
≤
a
.
• On note
]
−
∞
;
a
[
]-\infty;a[
]
−
∞
;
a
[
l'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
x
<
a
x < a
x
<
a
.
Exemple 2
On a :
−
1
0
-10
−
1
0
∈
\in
∈
]
−
∞
;
9
]
]-\infty;9]
]
−
∞
;
9
]
.
Remark 1
On peut représenter un intervalle sur la droite graduée des nombres réels. Par exemple pour l'intervalle
]
−
4
;
8
]
]-4;8]
]
−
4
;
8
]
on obtient :
0,0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Definition 3
Soient
I
I
I
et
J
J
J
deux intervalles.
•
L'intersection
de
I
I
I
et
J
J
J
est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent
à la fois à
I
I
I
et à
J
J
J
.
On note
I
∩
J
I\cap J
I
∩
J
cet ensemble.
•
La réunion
de
I
I
I
et
J
J
J
est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à
I
I
I
et/ou à
J
J
J
.
On note
I
∪
J
I\cup J
I
∪
J
cet ensemble.
Exemple 3
Soit
I
=
[
2
;
1
1
]
I = [2;11]
I
=
[
2
;
1
1
]
et
J
=
]
4
;
1
3
[
J = ]4;13[
J
=
]
4
;
1
3
[
.
On a :
I
∩
J
I\cap J
I
∩
J
=
=
=
]
4
;
1
1
]
]4;11]
]
4
;
1
1
]
et
I
∪
J
I\cup J
I
∪
J
=
=
=
[
2
;
1
3
[
[2;13[
[
2
;
1
3
[
.
Remark 2
L'intersection entre deux intervalles est soit
un intervalle
soit
l'ensemble vide
⊘
\oslash
⊘
.
L'union entre deux intervalles peut
ne pas être un intervalle.
Par exemple
[
0
;
1
]
∪
[
2
;
3
]
[0;1]\cup[2;3]
[
0
;
1
]
∪
[
2
;
3
]
n'est pas un intervalle.
2
Valeur absolue
Definition 4
On appelle
valeur absolue
d'un nombre réel
x
x
x
la distance entre
x
x
x
et
0
0
0
.
On la note
∣
x
∣
|x|
∣
x
∣
.
Exemple 4
0,0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
On a
∣
−
5
∣
|-5|
∣
−
5
∣
=
=
=
5
5
5
et
∣
5
∣
|5|
∣
5
∣
=
=
=
5
5
5
.
Property 1
Soit
x
∈
R
x\in\mathbb{R}
x
∈
R
. On a alors :
∣
x
∣
|x|
∣
x
∣
=
=
=
{
x
si
x
≥
0
−
x
si
x
≤
0
\left\{ \begin{array}{cc} x & \text{si } x\geq 0 \\ -x & \text{si } x\leq 0 \\ \end{array} \right.
{
x
−
x
si
x
≥
0
si
x
≤
0
Exercice 1
Déterminer toutes les valeurs possibles de
x
x
x
tel que
∣
x
+
1
∣
=
3
|x+1| = 3
∣
x
+
1
∣
=
3
.
Correction
Si
∣
x
+
1
∣
=
3
|x+1| = 3
∣
x
+
1
∣
=
3
alors :
• soit
x
+
1
x+1
x
+
1
=
=
=
3
3
3
et
x
x
x
=
=
=
3
−
1
3-1
3
−
1
=
=
=
2
2
2
.
• soit
x
+
1
x+1
x
+
1
=
=
=
−
3
-3
−
3
et
x
x
x
=
=
=
−
3
−
1
-3-1
−
3
−
1
=
=
=
−
4
-4
−
4
.
Ainsi les valeurs cherchées sont
−
4
-4
−
4
et
2
2
2
.
✕
Definition 5
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux nombres réels. On appelle
distance entre
a
a
a
et
b
b
b
le nombre
∣
b
−
a
∣
|b-a|
∣
b
−
a
∣
.
Exemple 5
La distance entre les nombre
3
3
3
et
8
8
8
vaut
∣
8
−
3
∣
|8-3|
∣
8
−
3
∣
=
=
=
∣
5
∣
|5|
∣
5
∣
=
=
=
5
5
5
.
La distance entre les nombre
3
3
3
et
−
1
1
-11
−
1
1
vaut
∣
−
1
1
−
3
∣
|-11-3|
∣
−
1
1
−
3
∣
=
=
=
∣
−
1
4
∣
|-14|
∣
−
1
4
∣
=
=
=
1
4
14
1
4
.
Property 2
Soit
a
a
a
un nombre réel et soit
r
r
r
un nombre réel strictement positif.
• L'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
∣
x
−
a
∣
≤
r
|x-a|\leq r
∣
x
−
a
∣
≤
r
est l'ensemble des nombres de
l'intervalle
[
a
−
r
;
a
+
r
]
[a-r;a+r]
[
a
−
r
;
a
+
r
]
.
• L'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
∣
x
−
a
∣
<
r
|x-a|< r
∣
x
−
a
∣
<
r
est l'ensemble des nombres de
l'intervalle
]
a
−
r
;
a
+
r
[
]a-r;a+r[
]
a
−
r
;
a
+
r
[
.
Exemple 6
L'ensemble des nombres réels
x
x
x
tels que
∣
x
−
1
0
∣
≤
2
|x-10|\leq 2
∣
x
−
1
0
∣
≤
2
est l'intervalle
[
8
;
1
2
]
[8;12]
[
8
;
1
2
]
.
3
Quizz
L'ensemble
I
I
I
composé des nombres réels
x
x
x
tel que
3
<
x
≤
5
3 < x \leq 5
3
<
x
≤
5
vérifie :
I
=
]
3
;
5
[
I=]3;5[
I
=
]
3
;
5
[
I
=
[
3
;
5
[
I=[3;5[
I
=
[
3
;
5
[
I
=
]
3
;
5
]
I=]3;5]
I
=
]
3
;
5
]
I
=
[
3
;
5
]
I=[3;5]
I
=
[
3
;
5
]
Soit
I
=
[
−
3
;
+
∞
[
I = [-3;+\infty[
I
=
[
−
3
;
+
∞
[
et
J
=
[
−
5
;
0
[
J = [-5;0[
J
=
[
−
5
;
0
[
. On a alors :
I
∩
J
=
[
−
5
;
+
∞
[
I\cap J = [-5;+\infty[
I
∩
J
=
[
−
5
;
+
∞
[
I
∩
J
=
[
−
3
;
0
]
I\cap J = [-3;0]
I
∩
J
=
[
−
3
;
0
]
I
∪
J
=
[
−
5
;
+
∞
[
I\cup J = [-5;+\infty[
I
∪
J
=
[
−
5
;
+
∞
[
I
∪
J
=
[
−
3
;
+
∞
[
I\cup J = [-3;+\infty[
I
∪
J
=
[
−
3
;
+
∞
[
Soit
a
=
−
5
×
3
−
2
×
(
3
−
7
)
a = -5\times3-2\times(3-7)
a
=
−
5
×
3
−
2
×
(
3
−
7
)
∣
a
∣
=
−
7
|a| = -7
∣
a
∣
=
−
7
∣
a
∣
=
7
|a| = 7
∣
a
∣
=
7
∣
a
∣
=
−
2
3
|a| = -23
∣
a
∣
=
−
2
3
∣
a
∣
=
2
3
|a| = 23
∣
a
∣
=
2
3
Soit
x
∈
R
x\in\mathbb{R}
x
∈
R
tel que
∣
x
−
8
∣
<
5
|x-8| < 5
∣
x
−
8
∣
<
5
. Alors :
x
∈
[
5
;
8
]
x\in[5;8]
x
∈
[
5
;
8
]
x
∈
]
3
;
1
3
[
x\in]3;13[
x
∈
]
3
;
1
3
[
x
∈
[
3
;
1
3
]
x\in[3;13]
x
∈
[
3
;
1
3
]
x
∈
]
−
3
;
1
3
[
x\in]-3;13[
x
∈
]
−
3
;
1
3
[
DARK MODE