Généralités sur les fonctions 1Définitions Definition 1
Définir une
fonction
ff
sur un ensemble de réels
DD
consiste à
associer
à chaque réel
x∈Dx\in D
un unique
réel
yy.
xx
 ⟶
Fonction ff
 ⟶
y=f(x)y=f(x)
Remark 1 • Dans la définition précédente, l'ensemble DD s'appelle
l'ensemble de définition
de la fonction ff.
• Le nombre f(x)f(x) est appelé
image
de xx
par ff.

• Le nombre xx est
un antécédent
de yy
==
f(x)f(x).
Exercice 1 Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R}, par h(t)=t2h(t)=t^2.
  1. Trouver l'image de 11, puis l'image de −3-3.
    2. Correction
    Image de 11
    h(1)h(1)
    ==
    121^2
    ==
    11.


    Image de −3-3
    h(−3)h(-3)
    ==
    (−3)2(-3)^2
    ==
    99.
    ✕
  2. Trouver le(s) antécédent(s) de 11.
    3. Correction
    On cherche tt tel que :
    h(t)h(t)
    ==
    11
    t2t^2
    ==
    11
    Seul les nombres 11 et −1-1 vérifient cette égalité.

    Ainsi, les antécédents de 11
    sont 11 et −1-1.
    ✕
  3. Trouver le(s) antécédent(s) de −5-5.
    4. Correction
    On cherche tt tel que :
    h(t)h(t)
    ==
    −5-5
    t2t^2
    ==
    −5-5
    Or, d'après la règle des signes un carré est toujours
    positif.
    Il est donc
    impossible de trouver
    un réel tt tel que son carré soit égale à
    −5-5.

    Ainsi le nombre −5-5
    ne possède aucun antécédent par hh.
    ✕
Remark 2 Un antécédent possède une
unique
image.

Un nombre peut posséder
un,
plusieurs
ou
aucun
antécédent.


On retiendra que :
• chercher une image revient à
faire un calcul;

• chercher si un nombre possède un antécédent revient à
résoudre une équation.


Schéma
ff
xx ∈ DD
yy ∈ ℝ
antécédent
image
abscisse
ordonnée
2Représentations 2.1Notation algébrique Voici quatres manières de définir algébriquement une fonction.
  1. Soit ff la fonction définie pour tout nombre réel par :
    f(x)=3x2−4x+1f(x)=3x^2-4x+1.
  2. Soit ff la fonction définie pour tout nombre réel par :
    f:x⟼3x2−4x+1f:x\longmapsto 3x^2-4x+1.
  3. f:R⟶Rx⟼3x2−4x+1\begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & 3x^2-4x+1\\ \end{array}
  4. f:R⟶Rx⟼f(x)=3x2−4x+1\begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & f(x)=3x^2-4x+1\\ \end{array}
Ces quatres écritures veulent dire exactement la même chose, et nous pouvons toutes les rencontrer dans divers exercices. 2.2Le tableau de valeurs On sait définir de manière algébrique une fonction, mais cela ne fournit pas nécessairement beaucoup d'information, ne nous donne pas trop d'indication sur la fonction. Nous avons vu qu'une fonction transformait les nombres en d'autres nombres, ce serait donc bien de voir ces transformations, de regarder les images de certains nombres. Mais nous allons organiser tout ceci dans un tableau.
On peut voir cela à l'aide d'un tableau de valeurs, comme ci-dessous. Exemple 1 Considérons à nouveau la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par : h:t⟼t2h:t\longmapsto t^2, et remplissons le tableau de valeurs suivants :
tt −4-4 −3-3 −2-2 −1,5-1,5 −1-1 −0,5-0,5 00 0,50,5 11 1,51,5 22 33 44
h(t)h(t)
1616
99
44
2,252,25
11
0,250,25
00
0,250,25
11
2,252,25
44
99
1616
Remark 3 On peut voir que pour tout réel tt,
h(−t)h(-t)
==
h(t)h(t).
On dit que la fonction carré est
paire.
2.3La représentation graphique La représentation graphique d'une fonction est une courbe qui va nous aider à mieux comprendre la fonction. Exemple 2 Utilisons le tableau de valeurs précédent pour tracer la représentation graphique de la fonction hh.
Definition 2
Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD de R\mathbb{R}.
Dans un repère du plan,
la courbe représentative
C\mathcal{C}
de la fonction ff, est l'ensemble des points de coordonnées
(x;y)(x;y)
tels que
yy
==
f(x)f(x).


On retiendra les relations :
Antécédent
⇆
xx
⇆
Abscisse
Image
⇆
f(x)f(x)
⇆
Ordonnée
246−2−4−6123456−1−2
xx
f(x)f(x)
Exercice 2 Dans le graphique ci-dessous est construit la courbe d'une fonction gg. Déterminer :

• l'image de 33 par gg;
• les éventuels antécédents de −1-1 par gg.
246−2−4−6123456−1−2
Correction
Image de 33
On trace pour cela, à partir du point
(3;0)(3;0),
un segment de droite
verticale
jusqu'à toucher
la courbe.
On construit alors à partir de ce dernier point un segment
horizontal
jusqu'à l'axe des
ordonnées
et on lit
l'ordonnée
du point obtenu.
246−2−4−6123456−1−2
x
g(x)
On a donc que l'image de 33 par gg vaut
g(3)g(3)
≈\approx
−1,4-1,4.


Antécédents de −1-1
On trace la droite
horizontale
dont tous les points sont
d'ordonnées −1-1.
On regarde alors les
abscisses
des points d'intersection
de cette droite avec la courbe représentative de la fonction gg.
246−2−4−6123456−1−2
On a donc que les antécédents de −1-1 par gg sont :
−0,9-0,9
;
2,62,6
;
4,24,2.
✕
2.4Quelle est la meilleure représentation ? En effet, pourquoi représenter les fonctions de manières différentes ? Et parmi ces représentations laquelle est la meilleure ?

Réponse :
nous verrons cela dans les exercices.
3Tableau de variation On se rend compte, par exemple sur le graphique de la fonction hh que la fonction semble
diminuer
puis
augmenter.
On peut résumer cela en un tableau de variation :
xx −4-4 00 44 1616 1616 f(x)f(x) décroissante croissante 00
xx−4-40044
16161616
f(x)f(x)
00
4Quizz
  1. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2−5f(x)=3x^2-5. L'image de −1-1 par ff vaut :
    1. −8-8
    2. −2-2
    3. 44
    4. −14-14

  2. Soit hh une fonction définie sur [−4;4][-4\,;4] dont la représentation graphique dans un repère du plan est :
    0123−1−2−31234−1−2−3−4
    Parmi les propositions ci-dessous une seule est vraie. Laquelle ?
    1. h(0)=1h(0)=1
    2. h(−2)=0h(-2)=0
    3. h(3)=4h(3)=4
    4. h(−1)=4h(-1)=4

  3. Soit gg une fonction définie sur [−5;5][-5\,;5] dont la représentation graphique dans un repère du plan est :
    01234−1−2−3−41234−1−2−3−4
    Une seule des propositions ci-dessous est correcte. Laquelle ?
    1. L'image de 33 est négative.
    2. L'image de 00 est le double de l'image de 11.
    3. L'image de 22 est supérieure à l'image de 44.
    4. L'image de 11 est égale à l'image de −1-1.

  4. Soit ff une fonction définie sur [−6;5][-6\,;5] dont la représentation graphique dans un repère du plan est :
    01234−1−2−3−4−51234−1−2−3−4−5−6
    Parmi les propositions ci-dessous une seule est fausse. Laquelle ?
    1. −2-2 est un antécédent de −2-2 par ff.
    2. −2-2 possède 44 antécédents.
    3. −6-6 n'admet aucun antécédent.
    4. −2-2 possède 00 comme antécédent.