Probabilités Vocabulaire et premières définitions
Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle on peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles mais on ne peut prévoir le résultat à l'avance avec certitude car le hasard intervient.
Dans une expérience aléatoire, l'ensemble des issues possibles est appelé univers et est généralement noté $\Omega$. Pour un lancer de dé cubique on a : $\Omega =$ $\{ 1;2;3;4;5;6 \}$.
Un événement est une partie de l'univers. Dans l'exemple d'un lancer de dé, donner quelques événements.
On appelle cardinal de l'univers le nombre d'éléments que contient l'univers. On le note $\text{card}(\Omega)$. Toujours dans un lancer de dé cubique on a $\mathrm{card(\Omega)}$ $=$ $6$.
Dans une expérience aléatoire, on appelle événément élémentaire un événement ne possédant qu'un seul élément. Dans un lancer de dé cubique « Obtenir la face 1 » est un événément élémentaire, alors que « Obtenir une face portant un numéro pair » n'en est pas un. Loi de probabilité
On dit que l'on définit une loi de probabilité $p$ sur l'univers $\Omega$ lorsque l'on associe à chaque issue $x_i$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$ noté $p_i$ où $p_i$ est appelé la probabilité de l'issue $x_i$. La somme des probabilités de toutes les issues devant être égale à $1$. Ainsi, on a :

$\sum p_i=$ $1$ et, pour tout $ i$, $0\leq p_i\leq 1.$ Dans notre exemple nos pouvons résumer la loi de probabilité dans le tableau ci-dessous :
$x_i$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$p_i$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$
On dit que la loi est équiprobable si toutes les issues $x_i$ ont la même probabilité et alors $p_i=$ $\dfrac{1}{\mathrm{card}(\Omega)}$.
C'est le cas des deux exemples précédents.
La probabilité d'un événement $A$ notée $P(A)$ est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Dans l'expérience aléatoire du lancer de dé cubique, on pose $A$ l'événement « obtenir un multiple de trois ».
On a alors : $A=\{ 3;6 \}$ et $P(A)$ $=$ $P(\{3\})+P(\{6\})$ $=$ $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$.
Soit $A$ un événement d'une expérience aléatoire. Si on peut dénombrer les issues de cette expérience, et que la loi de probabilité est équiprobabe, alors nous avons la formule suivante :

$P(A)$ $=$ $\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$. Dans l'expérience aléatoire du lancer de dé cubique, on pose $B$ l'événement « obtenir un résultat pair ».
$P(B)$ $=$ $\dfrac{3}{6}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.
Soit $P$ une loi de probabilité sur un univers $\Omega$. Propriétés algébriques
L'intersection de deux événements $A$ et $B$ notée $A\cap B$ est l'événement constitué des issues qui sont à la fois favorables à $A$ et $B$.
La réunion de deux événements $A$ et $B$ notée $A\cup B$ est l'événement constitué des issues qui sont favorables à l'un au moins des deux événements. Dans nos exemples, si $A$ est l'événement « obtenir un résultat multiple de trois » et $B$ est l'événement « obtenir un résultat pair », alors $A\cap B$ est l'événement « obtenir un multiple de trois ET un nombre pair » : $A=\{3;6\}$; $B= \{ 2;4;6 \}$; $A\cap B =$ $\{ 6 \}$.
Puis, $A\cup B =$ $\{ 2;3;4;6 \}$.
$A\cup B$
$A\cap B$
Deux événéments $A$ et $B$ sont dits incompatibles (ou disjoints), si $A\cap B$ $=$ $\emptyset$.
Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) alors : $P(A\cap B)$ $=$ $0$. -- Probabilité de la réunion
$P(A\cup B)$ $=$ $P(A)+P(B) - P(A\cap B).$ Pour déterminer la probabilité de l'événements $A\cup B$, on compte le nombre d'éléments de $A$, on ajoute ceux que l'on compte dans $B$ et on retire ceux que l'on a comptés deux fois, à savoir ceux de $A\cap B$.
L'événement contraire (ou complémentaire) d'un événement $A$ est l'événement constitué de toutes les issues qui ne sont pas favorables à $A$.
On le note $\overline{A}$.
Toujours dans l'expérience du lancer d'un dé cubique, on considère $C$ l'événemet « obtenir au moins 2 ».
Écrire une phrase définissant $\overline{C}$. $\overline{C}$ : « Obtenir au plus 1 », c'est-à-dire ici, « Obtenir 1 ».
Pour tout événement $A$ d'un univers probabilisé $\Omega$, on a : Une personne possède un dé équilibré à 12 faces en forme de dodécaèdre. Il propose un jeu d'argent : le joueur paye 2 euros pour participer, et le tableau des gains est le suivant :
Face 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gain 0€ 0,20€ 0€ 0,50€ 0€ 0,10€ 0€ 10€ 0€ 0€ 0,50€ 1€
Quelle est la probabilité de perdre de l'argent en jouant à ce jeu ? Seule l'obtention de la face 8 nous permet de gagner au final 8€. La probabilité de cet événement est de $\dfrac{1}{12}$.
Ainsi, la probabilité de ne rien gagner (événement contraire d'être gagnant) vaut $\dfrac{11}{12}$. Quizz
  1. On possède un dé en forme d'octaèdre régulier dont les faces sont numérotées de $1$ à $8$.
    On note $X$ le numéro de la face obtenu après un lancer. Une seule des propositions ci-dessous est correcte. Laquelle ?
    1. $P(X=1)=\dfrac{1}{6}$
    2. $P(X\geq 7)=\dfrac{1}{4}$
    3. $P(X>0)=\dfrac{7}{8}$
    4. $P(X < 4)=\dfrac{1}{2}$

  2. Dans un univers $\Omega$ les évènements $A$ et $B$ vérifient :
    $P(A)=0,4$, $P(B)=0,3$ et $P(A\cap B)=0,1$.
    On a alors :
    1. $P(A\cup B)=0,6$
    2. $P(A\cup B)=0,7$
    3. $P(A\cup B)=0,12$
    4. $P(A\cup B)=0,9$

  3. On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
    La probabilité de l'évènement « Obtenir une reine » est :
    1. $4$
    2. $\dfrac{1}{8}$
    3. $\dfrac{1}{2}$
    4. $\dfrac{1}{4}$

  4. Soient $A$ et $B$ sont deux évènements incompatibles tels que $P(A)$ et $P(B)$ sont non nulles. Alors :
    1. $P(A\cap B)=1$.
    2. $P(A\cap B)=P(A\cup B)$.
    3. $P(A\cup B)=0$.
    4. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.