Équations de droites 1Équations cartésienne d'une droite Exercice 1 Soit EE l'ensemble des points M(x;y)M(x;y) du plan tel que 2x+y−4=02x+y-4=0.
  1. Trouver un exemple de point qui appartient à EE.
    2. Correction
    On remarque par exemple que le point
    (2;0)(2;0)
    a ses coordonnées qui vérifient
    l'égalité souhaitée.
    ✕
  2. Pour les différentes valeurs de xx du tableau suivant, déterminer la valeur de yy pour que le point de coordonnées (x;y)(x;y) appartienne à EE.
    xx −1-1 00 11 33 55
    yy tel que 2x+y−4=02x+y-4=0
    66
    44
    22
    −2-2
    −6-6
  3. Placer ses points dans le repère ci-dessous. Que remarque-t-on ?
    4. 12345−1−2−3246−2−4−6
    Correction
    12345−1−2−3246−2−4−6
    On remarque que ces points sont
    alignés.
    Ils appartiennent à la droite représentant la fonction affine ff, telle que pour tout xx,
    f(x)=−2x+4f(x)=-2x+4.

    Puisque f(x)f(x) est une
    ordonnée,
    nous pouvons le remplacer par
    yy,
    ce qui nous donne :
    y=−2x+4y=-2x+4,
    c'est-à-dire :
    2x+y−4=02x+y-4=0.
    ✕
Definition 1
On appelle
vecteur directeur
d'une droite dd tout vecteur représenté par deux points
distincts
de cette droite. Exercice 2 Donner les coordonnées de deux vecteurs directeurs différents de la droite tracée dans le repère ci-dessous.
1234−1−2−3−41234−1−2−3−4
Correction
Choisissons plusieurs points sur la droite.
1234−1−2−3−41234−1−2−3−4
A
B
C
Le vecteur
AB→(21)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}
est un vecteur
directeur
de la droite, ainsi que le vecteur
AC→(−4−2)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-4 \\ -2 \end{pmatrix}.


Considérons, par ailleurs, un point M(x;y)M(x;y) de cette droite. Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} a pour coordonnées :
AM→\overrightarrow{AM} ==
(xM−xAyM−yA)\begin{pmatrix}x_M-x_A \\ y_M-y_A \end{pmatrix}
==
(xy−1)\begin{pmatrix}x \\ y-1 \end{pmatrix}.

Nous avons de plus, que AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont
colinéaires.

Ainsi :
det(AM→,AB→)\text{det}(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})
==
00
x×1−(y−1)×2x\times1-(y-1)\times2
==
00
x−2y+2x-2y+2
==
00.
Cette dernière égalité est à rapprocher de l'équation du premier exercice.
✕
Property 1
Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l'ensemble des points M(x;y)M(x;y) d'une
droite
vérifient une relation
ax+by+c=0ax+by+c=0,
où aa, bb et cc sot des nombres réels. Preuve
Soient A(xA;yA)A(x_A;y_A), B(xB;yB)B(x_B;y_B) et M(x;y)M(x;y) trois points d'une droite dd.
On a AB→\overrightarrow{AB} ==
(xB−xAyB−yA)\begin{pmatrix}x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}
et AM→\overrightarrow{AM} ==
(x−xAy−yA)\begin{pmatrix}x-x_A \\ y-y_A \end{pmatrix}.

Puisque ces points sont
alignés,
nous avons que
det(AM→,AB→)\text{det}(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})
==
00.

C'est-à-dire :
(x−xA)(yB−yA)−(y−yA)(xB−xA)(x-x_A)(y_B-y_A)-(y-y_A)(x_B-x_A)
==
00
x(yB−yA)−xA(yB−yA)−y(xB−xA)−yA(xB−xB)x(y_B-y_A)-x_A(y_B-y_A)-y(x_B-x_A)-y_A(x_B-x_B)
==
00
(yB−yA)x+(xA−xB)y−yA(xB−xB)−xA(yB−yA)(y_B-y_A)x+(x_A-x_B)y-y_A(x_B-x_B)-x_A(y_B-y_A)
==
00
ax+by+cax+by+c
==
00
avec
a=yB−yAa=y_B-y_A,
b=xA−xBb=x_A-x_B
et
c=−xA(yB−yA)−yA(xB−xB)c=-x_A(y_B-y_A)-y_A(x_B-x_B).
Definition 2
La relation
ax+by+c=0ax+by+c=0
s'appelle
équation cartésienne
de la droite dd. Property 2
Soit dd une droite d'équation
cartésienne
ax+by+c=0ax+by+c=0.
Le vecteur
(−b;a)(-b;a)
est un vecteur
directeur
de dd. Exemple 1 La droite dd d'équation cartésienne
x−2y+2=0x-2y+2=0
de l'exercice 2 a pour vecteur direteur
(2;1)(2;1).
2Équation réduite d'une droite Exemple 2 En reprenant la droite d'équation cartésienne x−2y+2=0x-2y+2=0, nous avons que :
x−2y+2x-2y+2
==
00
−2y-2y
==
−x−2-x-2
yy
==
−x−2−2\dfrac{-x-2}{-2}
yy
==
−x−2−2−2\dfrac{-x}{-2}-\dfrac{2}{-2}
yy
==
12x+1\dfrac{1}{2}x+1.
On retrouve ici une expression proche d'une
fonction affine,
avec pour
coefficient directeur
12\dfrac{1}{2}
et
ordonnée à l'origine
11.
Property 3
Soit dd une droite d'équation cartésienne
ax+by+c=0ax+by+c=0,
avec
b≠0b\neq0.

Il existe un unique nombre mm et un unique nombre pp tels que
y=mx+py=mx+p.
 Definition 3
L'écriture
y=mx+py=mx+p
s'appelle
équation réduite
de dd.
Le nombre mm s'appelle
coefficient directeur
de dd et pp
ordonnée à l'origine.
 Property 4 Preuve Exemple 3
1234−1−2−3−41234−1−2−3−4
3Positions relatives de deux droites Property 5
Soient dd et d′d' deux droites d'équations cartésiennes respectives
ax+by+c=0ax+by+c=0
et
a′x+b′x+c′=0a'x+b'x+c'=0.
 Preuve
Les vecteurs
u⃗=(−b;a)\vec{u}=(-b;a)
et
u′⃗=(−b′;a′)\vec{u'}=(-b';a')
sont des vecteurs
directeurs
respectifs de dd et d′d'.
On a :
det(u⃗,u′⃗)\text{det}(\vec{u},\vec{u'})
==
−ba′−a(−b′)-ba'-a(-b')
==
ab′−a′bab'-a'b.
D'où la conclusion.
Property 6
Soient dd et d′d' deux droites
sécantes
d'équations cartésiennes respectives ax+by+c=0ax+by+c=0 et a′x+b′y+c′=0a'x+b'y+c'=0.
Les coordonnées (x;y)(x;y) du point
d'intersection
de dd et d′d' sont solutions
du système d'équations :

{ax+by+c=0a′x+b′y+c′=0\left\{\begin{array}{rcl} ax+by+c & = & 0\\ a'x+b'y+c' & = & 0 \end{array}\right.
 Property 7
Soient dd et d′d' deux droites
parallèles
d'équations cartésiennes respectives ax+by+c=0ax+by+c=0 et ax+by+c′=0ax+by+c'=0.
Les droites dd et d′d' sont
strictement parallèles
si et seulement si
cc ≠\neq c′c'.
 Property 8
Deux droites sont
parallèles
si et seulement si elles ont
le même
coefficient directeur.