2nde ∼ Péparation du devoir commun mai 2023 Partie A
On considère une fonction ff dont la représentation graphique est donnée dans le repère ci-dessous.
On définit de plus la fonction affine gg, pour tout réel xx, par g(x)=−2x−5g(x)=-2x-5.
Les courbes représentatives des fonctions ff et gg sont notées respectivement Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
024−2−4−61234−1−2−3−4−5−6
Cf\mathcal{C}_f
  1. Tracer dans le repère la courbe représentative de la fonction gg.
    2. Pour pouvoir tracer la courbe représentative de la fonction affine gg il nous suffit d'avoir deux points puisque celle-ci est une droite.
    On calcule alors deux images par gg :
    g(0)=−2×0−5g(0)=-2\times0-5 == −5-5 et g(−3)=−2×(−3)−5g(-3) = -2\times(-3)-5 == 11.
    La droite représentant gg passe donc par les points (0;−5)(0\,;-5) et (−3;1)(-3\,;1).
    024−2−4−61234−1−2−3−4−5−6
    Cf\mathcal{C}_f
    Cg\mathcal{C}_g
  2. Déterminer graphiquement l'image de −4-4 et de −12-\dfrac{1}{2} par la fonction ff.
    3. 024−2−4−61234−1−2−3−4−5−6
    Cf\mathcal{C}_f
    Graphiquement on a que l'image de −4-4 par ff est 33.
    L'image de −12-\dfrac{1}{2} est proche de −2,3-2,3.
  3. Résoudre graphiquement l'équation f(x)=1f(x)=1.
    4. 024−2−4−61234−1−2−3−4−5−6
    Cf\mathcal{C}_f
    On lit les abscisses des points d'intersection entre Cf\mathcal{C}_f et la droite d'équation y=1y=1.
    On trouve alors que l'équation f(x)=1f(x)=1 admet deux solutions dont les valeurs approchées sont : x≈−4,7x\approx -4,7 et x≈−1,3x\approx -1,3.
  4. Tout nombre de l'intervalle [−4;−2][-4;-2] est-il solution de l'inéquation f(x)>3f(x)>3 ? La réponse sera argumentée à l'aide du graphique.
    5. On voit sur le graphique que f(−4)=3f(-4)=3 et f(−2)=3f(-2)=3. Ainsi, f(x)f(x) n'est pas strictement supérieur à 33 sur [−4;−2][-4\,;-2].
  5. Déterminer les coordonnées des points d'intersection entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
    6. 024−2−4−61234−1−2−3−4−5−6
    Cf\mathcal{C}_f
    Cg\mathcal{C}_g
    Graphiquement, nous voyons que les courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g se coupent aux points (−4;3)(-4\,;3) et (0;−5)(0\,;-5).
  6. Donner les positions relatives des courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g sur l'intervalle [−6;0,2][-6\,;\,0,2].
    7. On se base ici sur le graphique de la correction de la question précédente.

    Sur l'intervalle [−6;−4][-6\,;-4] la courbe Cg\mathcal{C}_g est au-dessus de Cf\mathcal{C}_f.
    Sur l'intervalle [−4;0][-4\,;0] la courbe Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de Cg\mathcal{C}_g.
    Sur l'intervalle [0;0,2][0\,;0,2] la courbe Cg\mathcal{C}_g est au-dessus de Cf\mathcal{C}_f.
Partie B
On admet que pour tout nombre réel xx, f(x)=−x2−6x−5f(x)=-x^2-6x-5.
  1. Montrer que pour tout réel xx, f(x)=(−5−x)(x+1)f(x)=(-5-x)(x+1).
    2. Pour tout réel xx on a :
    (−5−x)(x+1)(-5-x)(x+1) == −5x−5−x2−x-5x-5-x^2-x
    == −x2−6x−5-x^2-6x-5
    == f(x)f(x).
  2. Montrer que pour tout réel xx, f(x)=4−(x+3)2f(x)=4-(x+3)^2.
    3. Pour tout réel xx on a :
    4−(x+3)24-(x+3)^2 == 4−(x2+6x+9)4-(x^2+6x+9)
    == 4−x2−6x−94-x^2-6x-9
    == −x2−6x−5-x^2-6x-5
    == f(x)f(x).
  3. En choisissant l'écriture la plus adaptée pour ff :
    1. résoudre f(x)=0f(x)=0,
      2. On utilise pour cette question la forme factorisée de ff.
      f(x)f(x) == 00
      (−5−x)(x+1)(-5-x)(x+1) == 00.
      Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. On a donc :
      −5−x-5-x == 00
      −x-x == 55
      xx == −5-5.
      		ou
      x+1x+1 == 00
      xx == −1-1.
    2. résoudre f(x)>0f(x)>0,
      3. On utilise ici la forme factorisée de ff en dressant son tableau de signes.
      Nous avons vu à la question précédente pour quelles valeurs de xx chacun des facteurs de f(x)f(x) s'annuler, on peut donc directement construire le tableau de signes de ff.
      xx −∞-\infty −5-5 −1-1 +∞+\infty −5−x-5-x ++ 0 −- barre −- x+1x+1 −- barre −- 0 ++ f(x)f(x) −- 0 ++ 0 −-
      Les solutions de l'équation sont donc tous les nombres de l'intervalle ]−5;−1[]-5\,;-1[.
    3. déterminer la valeur maximale de f(x)f(x).
      4. On utilise ici la forme canonique f(x)=4−(x+3)2f(x)=4-(x+3)^2.
      Un carré étant toujours positif la différence 4−(x+3)24-(x+3)^2 est maximale lorsque (x+3)2(x+3)^2 est nul, c'est-à-dire lorsque x=−3x=-3.
      Ainsi la f(x)f(x) est maximale pour x=−3x=-3 et le son maximum vaut f(−3)=4f(-3)=4.
  1. Compléter le tableau de signes ci-dessous :
    xx −∞-\infty 12\dfrac{1}{2} …\dots +∞+\infty 2x−12x-1 0 barre −x+3-x+3 barre barre (2x−1)(−x+3)(2x-1)(-x+3) barre barre
    2. On a : −x+3=0-x+3=0 ssi x=3x=3.
    On peut alors compléter le tableau de signes.
    xx −∞-\infty 12\dfrac{1}{2} 33 +∞+\infty 2x−12x-1 −- 0 ++ barre ++ −x+3-x+3 ++ barre ++ 0 −- (2x−1)(−x+3)(2x-1)(-x+3) −- 0 ++ 0 −-
  2. Résoudre l'inéquation : (2x−1)(−x+3)≥0(2x-1)(-x+3)\geq0.
    3. À partir du tableau de la question précédente on trouve que les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle : [12;3].\left[\dfrac{1}{2}\,;3\right].
La liste des questions de cours à connaître est consultable ici.
  1. Donner le sens de variation de la fonction carrée sur R\mathbb{R}.
    2. La fonction carrée est strictement décroissante sur ]−∞;0]]-\infty\,;0] et strictement croissante sur [0;+∞[[0\,;+\infty[.
  2. Donner la définition d'une fonction impaire.
    3. Soit ff une fonction définie sur un ensemble D\mathscr{D} inclus dans R\mathbb{R}.
    La fonction ff est impaire, si pour tout x∈Dx\in\mathscr{D} on a −x∈D-x\in\mathscr{D}, et f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
  3. Soient A(xA;yA)A(x_A\,; y_A) et B(xB;yB)B(x_B\,; y_B) deux points d'un repère orthogonal du plan. Donner la formule permettant de trouver les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB}.
    4. AB→\overrightarrow{AB} == (xB−xAyB−yA)\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix}.
  4. Énoncer les trois identités remarquables.
    5. Pour tout réel aa et bb on a :
1 Partie A Dans un lycée, parmi les 900900 élèves possédant un smartphone, on s'intéresse à l'autonomie des appareils en fonction du système d'exploitation.
7070 % des élèves possède un smartphone sous Humanoïde et les autres sous Cerise.
Parmi ceux possédant un smartphone sous Humanoïde, 4040 % affirme ne pas avoir une autonomie suffisante à la fin de la journée, alors qu'il y en a 243243 parmi ceux possédant un smartphone sous Cerise.
  1. Compléter le tableau ci-dessous représenant les effectifs des élèves dans ce lycée en fonction du système d'exploitation de leur smartphone ainsi que de l'autonomie de ce dernier :
    Nombre d'élèves ayant un smartphone sous Humanoïde Nombre d'élèves ayant un smartphone sous Cerise Total
    Nombre d'élèves ayant un problème d'autonomie
    Nombre d'élèves n'ayant pas de problème d'autonomie
    Total 900900
    2. Le nombre d'élèves possédant un smartphone sous Humanoïde est de : 900×0,70=630900\times0,70 = 630.
    Parmi ces 630630 élèves 4040 % affirme ne pas avoir une autonomie suffisante à la fin de la journée, c'est-à-dire que ceux-ci sont au nombre de 630×0,4=252630\times0,4 = 252.
    On peut alors compléter le tableau, en effectuant des soustractions et des additions pour trouver les cases encore manquantes.
    Nombre d'élèves ayant un smartphone sous Humanoïde Nombre d'élèves ayant un smartphone sous Cerise Total
    Nombre d'élèves ayant un problème d'autonomie 252252 243243 495495
    Nombre d'élèves n'ayant pas de problème d'autonomie 378378 2727 405405
    Total 630630 270270 900900
  2. On rencontre un élève de ce lycée au hasard, et on note HH et AA les évènements suivants :
    1. Déterminer la probabilité P(H)P(H) que l'élève possède un smartphone sous Humanoïde.
      2. P(H)=630900=0,7P(H)=\dfrac{630}{900}=0,7.
    2. Définir par une phrase les évènements H‾\overline{H}, H∩AH\cap A et H∪AH\cup A.
      3. H‾\overline{H} : « L'élève possède un smartphone qui n'est pas sous Humanoïde » ou encore « L'élève possède un smartphone qui est sous Cerise ».
      H∩AH\cap A : « L'élève possède un smartphone qui est sous Humanoïde et celui-ci a un problème d'autonomie ».
      H∪AH\cup A : « L'élève possède un smartphone qui est sous Humanoïde et/ou celui-ci a un problème d'autonomie ».
    3. Déterminer P(H∩A)P(H\cap A) et en déduire P(H∪A)P(H\cup A).
      4. P(H∩A)=252900P(H\cap A) = \dfrac{252}{900} == 0,280,28.

      P(H∪A)=P(H)+P(A)−P(H∩A)P(H\cup A) = P(H)+P(A)-P(H\cap A) == 0,7+495900−0,28=0,970,7+\dfrac{495}{900}-0,28=0,97.
    4. On croise un élève au hasard qui nous dit que son smartphone n'a pas une autonomie suffisante en fin de journée. Quelle est la probabilité que le système d'exploitation de ce dernier soit « Cerise » ?
      Le résultat sera arrondi à 10−310^{-3}.
      5. Il y a 495495 élèves qui ont un problème d'autonomie et parmi eux 243243 ont un smartphone sous « Cerise ». La probabilité cherchée est donc :

      243495=2755≈0,491\dfrac{243}{495} = \dfrac{27}{55}\approx 0,491.
1 Partie B Dans le pays auquel appartient le lycée précédent, la marque « Cerise » représente 2020 % du marché des smartphones. On rappelle que 3030 % des smartphones des élèves de cet étabissement scolaire sont sous « Cerise ».
Un élève de 2nde de ce lycée veut savoir si cet écart peut être dû au hasard. C'est-à-dire qu'il suppose que la probabilité qu'un élève possède un smartphone sous « Cerise » est de 0,20,2. Il écrit un algorithme Python qui génère un échantillon de 900900 élèves et qui affiche le nombre d'entre eux qui possède un smartphone sous « Cerise ». from random import* cerise = 0 for i in range(0,900): p = random() if p < 0.2: cerise = cerise+1 print(cerise)
  1. Expliquer les instructions des lignes 6 à 8.
    2. Ligne n°6 : on affecte à la variable p un nombre aléatoire de l'intervalle [0;1[[0\,;1[.
    Ligne n°7 et 8 : on teste si la variable p est inférieure à 0,2 et le cas échéant la variable cerise est incrémentée de 11.
  2. On exécute 10001\,000 fois cet algorithme et on trouve 3737 cas où le résultat affiché est supérieur à 200200.
    1. Parmi ces 10001\,000 résultats, donner le pourcentage de résultats supérieur à 200200.
      2. La fréquence cherchée est de 371000=0,037\dfrac{37}{1\,000}=0,037 soit de 3,73,7 %.
    2. Peut-on conclure que si le pourcentage d'élèves de ce lycée qui détiennent un smartphone de la marque « Cerise » est supérieur à la moyenne nationale, cela peut être à cause de la fluctuation d'échantillonnage ?
      3. La taille de l'échantillon, soit 900900 personnes, est suffisamment importante pour que l'effet de la fluctuation d'échantillonnage ne soit pas très important. Ceci est confirmé par le fait que lorsque 2020 % d'une population possède un smartphone sous « Cerise » alors dans un échantillon de taille 900900 il y a rarement plus de 200200 personnes qui en possède un.
      Dans ce lycée, il y a 243243 élèves qui ont un smartphone sous « Cerise ». Nous ne semblons pas être dans une petite fluctation autour de 2020 % (soit $180 élèves). Les élèves de ce lycée ne sont vraissemblablement pas représentatifs de la population du pays.
Dans le repère orthonormé du plan ci-dessous, on considère les points A(−3;4)A(-3;4), B(3;0)B(3;0), C(9;3)C(9;3) et D(3;8)D(3;8).
0246810−224681012−2
  1. Placer les points AA, BB, CC et DD dans le repère.
    2. 0246810−224681012−2
    A
    B
    C
    D
  2. Déterminer les coordonnées des vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et BC→\overrightarrow{BC}.
    3. AD→\overrightarrow{AD} == (xD−xAyD−yA)\begin{pmatrix} x_D - x_A \\ y_D-y_A\end{pmatrix} == (3−(−3)8−4)\begin{pmatrix} 3 - (-3) \\ 8-4\end{pmatrix} == (64)\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}.

    BC→\overrightarrow{BC} == (xC−xByC−yB)\begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C-y_B\end{pmatrix} == (9−33−0)\begin{pmatrix} 9 - 3 \\ 3-0\end{pmatrix} == (63)\begin{pmatrix} 6 \\ 3\end{pmatrix}.
  3. Les droites (AD)(AD) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ?
    4. On calcule dans un premier temps le déterminant des vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et BC→\overrightarrow{BC}.
    det(AD→BC→)\text{det}(\overrightarrow{AD}\,\overrightarrow{BC}) == 6×3−4×66\times3-4\times6 == −6-6.
    Puisque ce déterminant est non nul, les vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et BC→\overrightarrow{BC} ne sont pas colinéaires et les droites (AD)(AD) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.
  4. Déterminer les coordonnées du point EE tel que BE→=AD→\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AD}.
    5. BE→\overrightarrow{BE} == AD→\overrightarrow{AD}
    (xE−xByE−yB)\begin{pmatrix} x_E - x_B \\ y_E-y_B\end{pmatrix} == (64)\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}
    (xE−3yE)\begin{pmatrix} x_E - 3 \\ y_E \end{pmatrix} == (64)\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}.
    Or, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. On a donc :
    xE−3=6x_E-3=6 ssi xE=6+3=9x_E=6+3=9 et yE=4y_E=4.
    Les coordonnées du bien EE sont (9;4)(9\,; 4).
  5. Déterminer les longueurs ABAB et BEBE et en déduire la nature du quadrilatère ABEDABED.
    6. AB2AB^2 == (xB−xA)2+(yB−yA)2(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2
    == (3−(−3))2+(0−4)2(3-(-3))^2+(0-4)^2
    == 62+(−4)26^2+(-4)^2
    == 36+1636+16
    == 5252.
    Ainsi, AB=52AB=\sqrt{52} == 4×13\sqrt{4\times 13} == 4×13\sqrt{4}\times\sqrt{13} == 2132\sqrt{13}.

    BE2BE^2 == (xE−xB)2+(yE−yB)2(x_E-x_B)^2+(y_E-y_B)^2
    == (9−3)2+(4−0)2(9-3)^2+(4-0)^2
    == 62+(4)26^2+(4)^2
    == 36+1636+16
    == 5252.
    Ainsi, BE=52BE=\sqrt{52} == 4×13\sqrt{4\times 13} == 4×13\sqrt{4}\times\sqrt{13} == 2132\sqrt{13}.

    Puisque BE→=AD→\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AD}, le quadrilatère ABEDABED est un parallélogramme.
    De plus, deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur (AB=BEAB=BE), c'est donc un losange.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions une seule des propositions est correcte et il vous faudra la déterminer. Une bonne réponse apporte un point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et une absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point. Si le total des points de l'exercice est négatif la note sera ramenée à 0.
  1. Soient A(3;−2)A(3;-2) et B(−1;1)B(-1;1) deux points d'un repère du plan. On considère de plus la droite (d)(d) d'équation y=−23x+5y=-\dfrac{2}{3}x+5.
    1. Le coefficient directeur de la droite (AB)(AB) est :
      □\square −43-\dfrac{4}{3}

      □\square −34-\dfrac{3}{4}

      □\square 14\dfrac{1}{4}

      □\square −14-\dfrac{1}{4}
      2. Le coefficient directeur de la droite (AB)(AB) est égal à : yB−yAxB−xA\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} == 1−(−2)−1−3\dfrac{1-(-2)}{-1-3} == 3−4\dfrac{3}{-4} == −34-\dfrac{3}{4}.
      C'est la deuxième proposition.
    2. Les droites (d)(d) et (AB)(AB) sont :
      □\square parallèles
      □\square sécantes en un point d'abscisse positive
      □\square sécantes en un point d'ordonnée positive
      □\square perpendiculaires
      3. On peut tracer les deux droites dans un repère est observer leur point d'intersection.
      0246810−2−4−6−8−10−1224681012−2
      A
      B
      $y=- rac{2}{3}x+5$
      On sait que les deux droites ne sont pas paralléles car elles n'ont pas le même coefficient directeur. Elles vont donc être sécantes et le graphique nous permet de voir que ce sera assez loin vers la droite dans le repère, pour un point d'abscisse négative et d'ordonnée positive.
      C'est la deuxième proposition.
  2. Pour tout nombre réel xx, pose A(x)=(2x−1)2A(x)=(2x-1)^2. On a alors :
    □\square A(x)=2x2−1A(x)=2x^2-1
    □\square A(x)=2x2+4x−1A(x)=2x^2+4x-1
    □\square A(x)=4x2−4x+1A(x)=4x^2-4x+1
    □\square A(x)=2x2−4x+1A(x)=2x^2-4x+1
    3. On utilise l'identité remarquable (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
    A(x)=(2x−1)2A(x)=(2x-1)^2 == (2x)2−4x+1(2x)^2-4x+1 == 4x2−4x+14x^2-4x+1.
    C'est la troisième proposition.
  3. L'expression factorisée de 3a2+a−a(2a+3)3a^2+a-a(2a+3) est :
    □\square −a2-a^2
    □\square a(a−2)a(a-2)
    □\square a2+4aa^2+4a
    □\square a(a+4)a(a+4)
    4. 3a2+a−a(2a+3)3a^2+a-a(2a+3) == a(3a+1−(2a+3))a(3a+1-(2a+3))
    == a(3a+1−2a−3)a(3a+1-2a-3)
    == a(a−2)a(a-2).
    C'est la deuxième proposition.
  4. ABCDABCD est un parallélogramme si
    □\square CC est l'image de DD dans la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}
    □\square [AB][AB] et [BC][BC] se coupent en leur milieu
    □\square AD→=CB→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}
    □\square AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}
    5. On construit un parallélogramme ABCDABCD pour pouvoir évaluer chacune des propositions.
    A
    B
    C
    D
    On remarque que DC→=AB→\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} et donc que CC est l'image de DD dans la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}.
    C'est la première proposition.
  5. Quelle instruction faut-il saisir dans la ligne 6 de l'algorithme ci-dessous pour qu'après exécution il affiche 3232. def f(n): f = 1 for i in range(0,n): f = f*2 return f □\square print(f(2))
    □\square print(f(4))
    □\square print(f(5))
    □\square print(f(7))
    6. Lorsque la fonction ff est appelée le calcul f=f∗2f=f*2 est exécuté nn fois.
    Donc f(n)f(n) va renvoyer le résultat de 1×2×2×⋯×21\times2\times2\times\cdots\times2 avec nn fois le nombre 22.
    Or 32=1×2×2×2×2×232 = 1\times2\times2\times2\times2\times2, ce qui correspond au résultat de print(f(5)).
    On peut le vérifier ci-dessous : def f(n): f = 1 for i in range(0,n): f = f*2 return f print(f(5)) C'est la troisième proposition.
  6. Soient A(0;−50)A(0\,;-50), B(45;−35)B(45\,;-35) et C(90;−21)C(90\,;-21) trois points d'un repère du plan. On a alors
    □\square AA, BB et CC ne sont pas alignés
    □\square BB est le milieu de [AC][AC]
    □\square AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires
    □\square AB<ACAB < AC
    7. AB→\overrightarrow{AB} == (xB−xAyB−yA)\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix} == (45−0−35−(−50))\begin{pmatrix} 45 - 0 \\ -35-(-50)\end{pmatrix} == (4515)\begin{pmatrix} 45 \\ 15\end{pmatrix}.

    AC→\overrightarrow{AC} == (xC−xAyC−yA)\begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C-y_A\end{pmatrix} == (90−0−21−(−50))\begin{pmatrix} 90 - 0 \\ -21-(-50)\end{pmatrix} == (9029)\begin{pmatrix} 90 \\ 29\end{pmatrix}.

    On a det(AB→,AC→)\text{det}(\overrightarrow{AB}\,,\overrightarrow{AC}) == 45×29−15×9045\times29-15\times90 == −45-45 ≠\neq 00, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont donc pas colinéaires et les points AA, BB et CC ne sont pas alignés.
    C'est la première proposition.
  7. L'équation x2=12x^2=12
    □\square n'admet aucune solution.
    □\square admet une solution : 12\sqrt{12}.
    □\square admet deux solutions : −6-6 et 66
    □\square admet deux solutions −23-2\sqrt{3} et 232\sqrt{3}.
    8. D'après le cours nous savons que l'équation x2=12x^2=12 admet deux solutions x=−12x=-\sqrt{12} et x=12x=\sqrt{12}.
    Or 12\sqrt{12} == 4×3\sqrt{4\times3} == 4×3\sqrt{4}\times\sqrt{3} == 232\sqrt{3}.
    C'est la quatrième proposition.