$f(6)=-\dfrac 1 3 \times 6+2$ $=$ $-2+2$ $=$ $0$.
L'image de 6 est 0.

$f(-1)=-\dfrac 1 3 \times (-1)+2$ $=$ $\dfrac 1 3 +2$ $=$ $\dfrac{1}{3}+\dfrac{6}{3}$ $=$ $\dfrac{7}{3}$.

Le coefficient directeur de $f$ est négatif, donc $f$ est décroissante sur $\mathbb R$.
De plus, $f(6)=0$, donc $f$ change de signe pour $x=6$.

$g$ est une fonction affine donc il existe $a$ et $b$ $\in\mathbb{R}$ tels que $g(x) = a x + b$.
On sait que $a=\dfrac{g(0)-g(-3)}{0-(-3)}$ $=$ $\dfrac{-1-(-3)}{3}$ $=$ $\dfrac{2}{3}$.

Ainsi, $g(x)=\dfrac{2}{3}x+b$ et puisque $g(0)=-1$, on a, en remplaçant $x$ par $0$ : Ainsi, pour tout réel $x$, $g(x)=\dfrac{2}{3}x-1$.

Pour obtenir les droites représentant les fonctions affines $f$ et $g$ on donne deux valeurs différentes à $x$ pour obtenir deux points pour chacune des droites.

On résout pour cela l'équation suivante :
On a alors $f\left(3\right)$ $=$ $-\dfrac{1}{3}\times3+2$ $=$ $-1+2$ $=$ $1$.

Les coordonnées du point d'intersection sont donc $\left(3\,; 1\right)$.

On remarque que $d=f(x)-g(x)$, donc $d>0$ si $f(x)>g(x)$. Ce n'est pas ce qu'on veut, il faut donc que $d<0$, sur notre graphique on voit que ça arrive si on prend une valeur de $x$ plus grande que $3$.
On peut donc compléter la dernière ligne par « positionRelative(4) » par exemple.

def positionRelative(x): d = -1.0/3*x+2 -(2.0/3*x-1) if d > 0: message = "Cf est au dessus de Cg" else: message = "Cg est au dessus de Cf" print(message) positionRelative(4)

xxxxxxxxxx

 

1

def positionRelative(x):

2

    d = -1.0/3*x+2 -(2.0/3*x-1)

3

    if d > 0:

4

        message = "Cf est au dessus de Cg"

5

    else:

6

        message = "Cg est au dessus de Cf"

7

    print(message)

8

positionRelative(4)

Exécuter

En utilisant la formule du cours sur les coordonnées du milieu d'un segment on doit écrire :
y = (yA+yC)/2.
Pour la dernière instruction il faut juste écrire « y » dans les pointillés.

On note $M$ le milieu de $[AC]$. On a alors :
$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ $=$ $\dfrac{-3+4}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.

$y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ $=$ $\dfrac{0+3}{2}$ $=$ $\dfrac{3}{2}$.

Les coordonnées de $M$ milieu de $[AC]$ sont $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{3}{2}\right)$.

On note $N$ le milieu de $[BD]$. On a alors :
$x_N=\dfrac{x_B+x_D}{2}$ $=$ $\dfrac{2+(-1)}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.

$y_N=\dfrac{y_B+y_D}{2}$ $=$ $\dfrac{1+2}{2}$ $=$ $\dfrac{3}{2}$.

Les coordonnées de $N$ milieu de $[BD]$ sont $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{3}{2}\right)$.

Ainsi, les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont bien le même milieu puisque $M=N$.

$OD^2$	$=$	$(x_D-x_O)^2+(y_D-y_O)^2$
	$=$	$(-1-0)^2+(2-0)^2$
	$=$	$(-1)^2+2^2$
	$=$	$1+4$
	$=$	$5$.

Ainsi, $OD=\sqrt{5}$.

$DB^2$	$=$	$(x_B-x_D)^2+(y_B-y_D)^2$
	$=$	$(2-(-1))^2+(1-2)^2$
	$=$	$3^2+(-1)^2$
	$=$	$9+1$
	$=$	$10$.

Ainsi, $DB=\sqrt{10}$.

$OB^2$	$=$	$(x_B-x_O)^2+(y_B-y_O)^2$
	$=$	$(2-0)^2+(1-0)^2$
	$=$	$2^2+1^2$
	$=$	$5$.

Ainsi, $OB=\sqrt{5}$.

Comme $OB=OD$, le triangle est isocèle et puisque $OB\neq BD$, il n'est pas équilatéral.

De plus, $BD^2=10$, et $OB^2+OD^2=5+5=10$. Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OBD$ est rectangle en $O$.

Pour que $BODP$ soit un parallélogramme il faut que ses diagonales $[BD]$ et $[OP]$ se coupent en leur milieu.

D'après la question $3$, le point $M\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{3}{2}\right)$ est le milieu de $[BD]$. Il est donc aussi le milieu de $[OP]$.
Ainsi, d'après la formule des coordonnées du milieu d'un segment on a :

$x_M$	$=$	$\dfrac{x_O+x_P}{2}$
$\dfrac{1}{2}$	$=$	$\dfrac{0+x_P}{2}$
$\dfrac{1}{2}$	$=$	$\dfrac{x_P}{2}$
$1$	$=$	$x_P$
$x_P$	$=$	$1$.

De même, avec les ordonnées on obtient :

$y_M$	$=$	$\dfrac{y_O+y_P}{2}$
$\dfrac{3}{2}$	$=$	$\dfrac{0+y_P}{2}$
$\dfrac{3}{2}$	$=$	$\dfrac{y_P}{2}$
$3$	$=$	$y_P$
$y_P$	$=$	$3$.

Ainsi, les coordonnées du point $P$ sont $(1\,;3)$.

Un château à 1 étage est composé de $2$ cartes. Un château à 2 étages est composé de $7$ cartes. Un château à 3 étages est composé de $15$ cartes.

Il faudrait $26$ cartes pour faire un château à 4 étages. Xmin = -0.5 Xmax = 5 Ymin = -1 Ymax = 9 couleur = noir peinture = blanc transparence = 1 cartesTriangle(0,0) cartesTriangle(1,0) cartesTriangle(2,0) cartesTriangle(3,0) cartesTriangle(0.5,1.75,1) cartesTriangle(1.5,1.75,1) cartesTriangle(2.5,1.75,1) cartesTriangle(1,3.5,1) cartesTriangle(2,3.5,1) cartesTriangle(1.5,5.25,1) function cartesTriangle(x0,y0,b){ var A = [x0,y0] var B = [x0+0.5,y0+0.25] var C = [x0+1,y0+2] var D = [x0+0.5,y0+1.75] var E = [x0+1.5,y0+0.25] var F = [x0+1,y0] if(b == 1){ poly([A,B,E,F]) } poly([A,B,C,D]) poly([D,C,E,F]) }

$7 - 2 = 5$ donc il faut $5$ cartes pour passer de 1 étage à 2 étages.

$15 - 7 = 8$ donc il faut $8$ cartes pour passer de 2 étages à 3 étages.

$26 - 16 = 11$ donc il faut $11$ cartes pour passer de 3 étages à 4 étages.

Dans la question précédente on peut remarquer qu'à chaque augmentation d'étage le nombre de cartes à ajouter augmente de $3$.
Pour passer de 3 à 4 étages on ajoute $11$ cartes donc pour passer à 5 étages on ajoute $14$ cartes.
Ainsi, le nombre de cartes pour un château à 5 étages s'obtient à partir du nombre de cartes, $26$, d'un château à 4 étages auquel on ajoute $14$. Soit $26+14=40$.
On raisonne de même pour les étages suivants :
6 étages : $40+17=57$,
7 étages : $57+20=77$,
8 étages : $77+23=100$,
9 étages : $100+26=126$,
10 étages : $126+29=155$.
Un château à $10$ étages contient donc $155$ cartes.
Les plus motivés peuvent les compter sur le schéma ci-dessous : Xmin = -0.5 Xmax = 11 Ymin = -1 Ymax = 18 couleur = noir peinture = blanc transparence = 1 for(var j = 0; j < 10; j++){ b = 0 if(j > 0){b = 1} for(var i = 0; i < 10-j; i++){ cartesTriangle(i+0.5*j,1.75*j,b) } } function cartesTriangle(x0,y0,b){ var A = [x0,y0] var B = [x0+0.5,y0+0.25] var C = [x0+1,y0+2] var D = [x0+0.5,y0+1.75] var E = [x0+1.5,y0+0.25] var F = [x0+1,y0] if(b == 1){ poly([A,B,E,F]) } poly([A,B,C,D]) poly([D,C,E,F]) }