2nde ∼ Devoir commun décembre ∼ Sujet 0
Compléter le tableau ci-dessous en cochant les cases nécessaires pour indiquer que le nombre appartient à l'ensemble, comme dans l'exemple de la première ligne :
N
Z
D
Q
R
71
✗
✗
−2,9
π2
2751
−81
832
−3×158
N
Z
D
Q
R
71
✗
✗
−2,9
✗
✗
✗
π2
✗
2751
✗
✗
−81
✗
✗
✗
✗
832
✗
✗
✗
✗
✗
−3×158
✗
✗
✗
On rappelle que N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
Ainsi, dès qu'on coche une colonne, le nombre considérée appartient aux suivantes dans le tableau.
−2,9=10−29 est un nombre décimal.
π est un nombre irrationnel et donc π2 aussi.
2751=917 est une fraction irréductible possèdant une infinité de chiffres dans son écriture décimale. Ainsi c'est un nombre rationnel.
−81=−9 est un entier relatif.
832=2 (à la calculatrice) est un entier naturel.
−3×158=−58=−1,6 est un décimal.
Soit f la fonction affine définie pour tout nombre x réel par f(x)=−31x+2.
Soit g la fonction affine qui vérifie g(−3)=−3 et g(0)=−1.
Déterminer l'image de 6 par f.
f(6)=−31×6+2=−2+2=0.
L'image de 6 est 0.
Calculer f(−1). On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
f(−1)=−31×(−1)+2=31+2=31+36=37.
Donner le sens de variation et le tableau de signes de la fonction f sur R.
Le coefficient directeur de f est négatif, donc f est décroissante sur R.
De plus, f(6)=0, donc f change de signe pour x=6.
x−∞6+∞f(x)+0−
Déterminer l'expression algébrique de la fonction g.
g est une fonction affine donc il existe a et b∈R tels que g(x)=ax+b.
On sait que a=0−(−3)g(0)−g(−3)=3−1−(−3)=32.
Ainsi, g(x)=32x+b et puisque g(0)=−1, on a, en remplaçant x par 0 :
g(0)
=
−1
32×0+b
=
−1
b
=
−1.
Ainsi, pour tout réel x, g(x)=32x−1.
Tracer les courbes représentatives de f et g dans le repère donné ci-dessous.
Pour obtenir les droites représentant les fonctions affines f et g on donne deux valeurs différentes à x pour obtenir deux points pour chacune des droites.
x
0
6
f(x)=−31x+2
2
0
x
0
6
g(x)=32x−1
−1
3
0,0
mathcalCf
mathcalCg
Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point d’intersection de ces deux représentations graphiques.
On résout pour cela l'équation suivante :
f(x)
=
g(x)
−31x+2
=
32x−1
−31x−32x
=
−1−2
−33x
=
−3
−x
=
−3
x
=
3.
On a alors f(3)=−31×3+2=−1+2=1.
Les coordonnées du point d'intersection sont donc (3;1).
On considère l'algorithme python ci-contre. Compléter les pointillés pour que le message affiché soit « Cg est au-dessus de Cf ».
def positionRelative(x):
d = -1/3*x+2 -(2/3*x-1)
if d>0:
message = "Cf est au dessus de Cg"
else:
message = "Cg est au dessus de Cf"
print(message)
positionRelative(...)
On remarque que d=f(x)−g(x), donc d>0 si f(x)>g(x). Ce n'est pas ce qu'on veut, il faut donc que d<0, sur notre graphique on voit que ça arrive si on prend une valeur de x plus grande que 3.
On peut donc compléter la dernière ligne par « positionRelative(4) » par exemple.
def positionRelative(x):
d = -1.0/3*x+2 -(2.0/3*x-1)
if d > 0:
message = "Cf est au dessus de Cg"
else:
message = "Cg est au dessus de Cf"
print(message)
positionRelative(4)
0,0
Questions de Cours
Quatre questions de cours seront posées dans la liste suivante :
Définition d’un nombre décimal
Définition d’un nombre rationnel
Définition d’un nombre réel
Énoncer les trois identités remarquables
Connaître les formules sur les puissances et les racines carrées.
Définition d’une fonction affine
Une fonction affine f de coefficient directeur a est strictement croissante sur R si et seulement si a>0.
Définition d’un repère orthonormal du plan
Formule de la distance entre deux points repérés d’un plan muni d’un repère orthonormal
Formule du milieu d’un segment dans un plan repéré
Exemple d'exercice possible :
Donner la définition d'un nombre rationnel.
Définir un repère orthonormal du plan.
Quelle formule permet dans un repère orthonormal de calculer la longueur de [AB] où A(xA;yA) et B(xB;yB) ?
Soit f la fonction affine définie par la relation f(x)=ax+b, où a et b sont des nombres réels avec a>0. Montrer que f est croissante sur R.
Développer et réduire les expressions suivantes.
(6−x)2
On utilise ici l'identité remarquable :
(a−b)2=a2−2ab+b2.
(6−x)2
=
62−2×6×x+x2
=
36−12x+x2
=
x2−12x+36.
(x+7)(4−x)
On utilise ici la double distributivité.
(x+7)(4−x)
=
x×4−x×x+7×4−7×x
=
4x−x2+28−7x
=
−x2−3x+28.
(x−3)(x+3)−(x+5)2
On utilise ici deux identités remarquables :
(a−b)(a+b)=a2−b2 (a+b)2=a2+2ab+b2.
(x−3)(x+3)−(x+5)2
=
x2−32−(x2+10x+25)
=
x2−9−x2−10x−25
=
−10x−34.
(2x+5)(4−3x)+3(x+7)
On utilise ici la double et la simple distributivité.
(2x+5)(4−3x)+3(x+7)
=
8x−6x2+20−15x+3x+21
=
−6x2−4x+41.
Résoudre les équations suivantes. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
11x−39=0
11x−39
=
0
11x
=
39
x
=
1139.
L'équation admet une unique solution : 1139.
x+4=3x−9
x+4
=
3x−9
x−3x
=
−4−9
−2x
=
−13
x
=
−2−13
x
=
213.
L'équation admet une unique solution : 213.
32x+7=21
32x+7
=
21
32x
=
21−7
32x
=
21−214
32x
=
−213
x
=
−213×23
x
=
−439.
L'équation admet une unique solution : −313.
On a tapé les instructions suivantes dans la console Python.
if p < q:
p = p**2+3*q
q = q+2
else:
p = 2*p+q
q = q-5
Quelles sont les valeurs de p et q à la fin de l'algorithme si :
p=3 et q=10 ;
Dans cette situation on a p<q donc les instructions
p = p**2+3*q q = q+2
s'éxécutent.
L'instruction p = p**2+3*q nous donne que la nouvelle valeur de p est 32+3×10=39.
L'instruction q = q+2 nous donne que la nouvelle valeur de q est 10+2=12.
Les valeurs de p et q à la fin de l'algorithme sont donc p=39 et q=12.
On peut le vérifier à l'aide l'agorithme suivant :
p = 3
q = 10
if p < q:
p = p**2+3*q
q = q+2
else:
p = 2*p+q
q = q-5
print(p,q)
p=12 et q=5.
Ddans cette situation la condition « p<q » n'est pas respectée. Ce sont donc les instructions
p = 2*p+q q = -5
qui s'éxécutent.
La nouvelle valeur de p vaut donc 2×12+5=29.
La nouvelle valeur de q vaut 5−5=0.
Les valeurs de p et q à la fin de l'algorithme sont donc p=29 et q=0.
On peut le vérifier à l'aide l'agorithme suivant :
p = 12
q = 5
if p < q:
p = p**2+3*q
q = q+2
else:
p = 2*p+q
q = q-5
print(p,q)
Soit un repère orthonormé (O;I;J). On considère les points A(−3;0), B(2;1), C(4;3) et D(−1;2).
0,0
O
I
J
Placer les points A, B, C et D dans le repère (O;I;J).
0,0
O
I
J
A
B
C
D
Compléter les pointillés des lignes 8 et 10 du programme Python ci-dessous pour qu'il retourne les coordonnées du milieu du segment [AC].
A = (-3,0)
C = (4,3)
xA,yA = A
xC,yC = C
x = (xA+xC)/2
y = ...
print("Les coordonnées du milieu de [AC] sont : ",(x,...))
En utilisant la formule du cours sur les coordonnées du milieu d'un segment on doit écrire :
y = (yA+yC)/2.
Pour la dernière instruction il faut juste écrire « y » dans les pointillés.
Démontrer que les segments [AC] et [BD] ont le même milieu, que l'on notera M.
On note M le milieu de [AC]. On a alors :
xM=2xA+xC=2−3+4=21.
yM=2yA+yC=20+3=23.
Les coordonnées de M milieu de [AC] sont (21;23).
On note N le milieu de [BD]. On a alors :
xN=2xB+xD=22+(−1)=21.
yN=2yB+yD=21+2=23.
Les coordonnées de N milieu de [BD] sont (21;23).
Ainsi, les segments [AC] et [BD] ont bien le même milieu puisque M=N.
On rappelle que le point O est l'origine du repère.
Calculer les longueurs OD, DB et OB.
OD2
=
(xD−xO)2+(yD−yO)2
=
(−1−0)2+(2−0)2
=
(−1)2+22
=
1+4
=
5.
Ainsi, OD=5.
DB2
=
(xB−xD)2+(yB−yD)2
=
(2−(−1))2+(1−2)2
=
32+(−1)2
=
9+1
=
10.
Ainsi, DB=10.
OB2
=
(xB−xO)2+(yB−yO)2
=
(2−0)2+(1−0)2
=
22+12
=
5.
Ainsi, OB=5.
Le triangle OBD est-il isocèle ? Équilatéral ? Rectangle ? Vos réponses seront justifiées.
Comme OB=OD, le triangle est isocèle et puisque OB≠BD, il n'est pas équilatéral.
De plus, BD2=10, et OB2+OD2=5+5=10. Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OBD est rectangle en O.
Déterminer les coordonnées du point P du plan tel que BODP soit un parallélogramme.
Pour que BODP soit un parallélogramme il faut que ses diagonales [BD] et [OP] se coupent en leur milieu.
D'après la question 3, le point M(21;23) est le milieu de [BD]. Il est donc aussi le milieu de [OP].
Ainsi, d'après la formule des coordonnées du milieu d'un segment on a :
xM
=
2xO+xP
21
=
20+xP
21
=
2xP
1
=
xP
xP
=
1.
De même, avec les ordonnées on obtient :
yM
=
2yO+yP
23
=
20+yP
23
=
2yP
3
=
yP
yP
=
3.
Ainsi, les coordonnées du point P sont (1;3).
Dans cet exercice s'intéresse au nombre de cartes nécessaires à la construction d'un château de cartes. Les figures ci-dessous donnent le schéma de construction d'un château de cartes, à 1, puis 2 puis 3 étages.
Xmin = -0.5
Xmax = 4
Ymin = -1
Ymax = 15
A = [0,0]
B = [0.5,0.25]
C = [1,2]
D = [0.5,1.75]
E = [1.5,0.25]
F = [1,0]
couleur = noir
peinture = blanc
transparence = 1
cartesTriangle(0,0)
cartesTriangle(1,0)
cartesTriangle(2,0)
cartesTriangle(0.5,1.75,1)
cartesTriangle(1.5,1.75,1)
cartesTriangle(1,3.5,1)
texte("3 étages",[1.3,-0.5])
cartesTriangle(0.5,7)
cartesTriangle(1.5,7)
cartesTriangle(1,8.75,1)
texte("2 étages",[1.3,6.5])
cartesTriangle(1,12)
texte("1 étage",[1.3,11.5])
function cartesTriangle(x0,y0,b){
var A = [x0,y0]
var B = [x0+0.5,y0+0.25]
var C = [x0+1,y0+2]
var D = [x0+0.5,y0+1.75]
var E = [x0+1.5,y0+0.25]
var F = [x0+1,y0]
if(b == 1){
poly([A,B,E,F])
}
poly([A,B,C,D])
poly([D,C,E,F])
}
Combien de cartes faut-il pour un château à 1 étage ? Même question pour 2 puis pour 3 étages.
Un château à 1 étage est composé de 2 cartes. Un château à 2 étages est composé de 7 cartes. Un château à 3 étages est composé de 15 cartes.
Combien en faudrait-il pour un château à 4 étages ?
Il faudrait 26 cartes pour faire un château à 4 étages.
Xmin = -0.5
Xmax = 5
Ymin = -1
Ymax = 9
couleur = noir
peinture = blanc
transparence = 1
cartesTriangle(0,0)
cartesTriangle(1,0)
cartesTriangle(2,0)
cartesTriangle(3,0)
cartesTriangle(0.5,1.75,1)
cartesTriangle(1.5,1.75,1)
cartesTriangle(2.5,1.75,1)
cartesTriangle(1,3.5,1)
cartesTriangle(2,3.5,1)
cartesTriangle(1.5,5.25,1)
function cartesTriangle(x0,y0,b){
var A = [x0,y0]
var B = [x0+0.5,y0+0.25]
var C = [x0+1,y0+2]
var D = [x0+0.5,y0+1.75]
var E = [x0+1.5,y0+0.25]
var F = [x0+1,y0]
if(b == 1){
poly([A,B,E,F])
}
poly([A,B,C,D])
poly([D,C,E,F])
}
Combien faut-il ajouter de cartes pour passer de 1 étage à 2 étages? Même question de 2 à 3, puis même question de 3 à 4.
7−2=5 donc il faut 5 cartes pour passer de 1 étage à 2 étages.
15−7=8 donc il faut 8 cartes pour passer de 2 étages à 3 étages.
26−16=11 donc il faut 11 cartes pour passer de 3 étages à 4 étages.
Combien de cartes faudra-t-il pour construire un château à 10 étages ?
Dans la question précédente on peut remarquer qu'à chaque augmentation d'étage le nombre de cartes à ajouter augmente de 3.
Pour passer de 3 à 4 étages on ajoute 11 cartes donc pour passer à 5 étages on ajoute 14 cartes.
Ainsi, le nombre de cartes pour un château à 5 étages s'obtient à partir du nombre de cartes, 26, d'un château à 4 étages auquel on ajoute 14. Soit 26+14=40.
On raisonne de même pour les étages suivants :
6 étages : 40+17=57,
7 étages : 57+20=77,
8 étages : 77+23=100,
9 étages : 100+26=126,
10 étages : 126+29=155.
Un château à 10 étages contient donc 155 cartes.
Les plus motivés peuvent les compter sur le schéma ci-dessous :
Xmin = -0.5
Xmax = 11
Ymin = -1
Ymax = 18
couleur = noir
peinture = blanc
transparence = 1
for(var j = 0; j < 10; j++){
b = 0
if(j > 0){b = 1}
for(var i = 0; i < 10-j; i++){
cartesTriangle(i+0.5*j,1.75*j,b)
}
}
function cartesTriangle(x0,y0,b){
var A = [x0,y0]
var B = [x0+0.5,y0+0.25]
var C = [x0+1,y0+2]
var D = [x0+0.5,y0+1.75]
var E = [x0+1.5,y0+0.25]
var F = [x0+1,y0]
if(b == 1){
poly([A,B,E,F])
}
poly([A,B,C,D])
poly([D,C,E,F])
}