Une histoire d'aquarium
Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur 5 dm(décimètres).
On s'interroge sur les deux autres dimensions de l'aquarium, qui exprimées en décimètres doivent vérifier :
$x\in]0;20[$ et $y\in]0;20[$.
Pour construire l'aquarium on a besoin de réglettes d'aluminium, correspondant à chacune des arètes du pavé droit. Le prix de revient d'une réglette est de 0,80€ par dm.
Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.
Partie A ~ Étude d'un volume sous contrainte
Dessiner un schéma représentant l'aquarium (pas nécessairement à l'échelle), en annontant les informations sur les dimensions que donne l'énoncé.
Combien doit-on acheter de réglettes d'aluminium au total ? Parmi toutes, combien sont de longueur $x$ ? De longueur $y$ ?
Combien doit-on payer pour les réglettes d'aluminium lorsque $x=13$ $dm$ et $y=18$ $dm$ ?
Même question pour $x=150$ $cm$ et $y=30$ $cm$.
L'entreprise décide de ne dépenser que 80€ pour l'achat de ces réglettes d'aluminium. Montrer alors que, sous cette contrainte : $x+y=20$.
En déduire, toujours sous cette contrainte, l'expression de $y$ en fonction de $x$.
Calculer le volume de l'aquarium en fonction de $x$ et de $y$.
En considérant la contrainte précédente (ne dépenser que 80€ pour les réglettes d'aluminium), montrer que le volume $V$ de l'aquarium est fonction de $x$ et vérifie :
$$V(x)=5x(20-x).$$
Montrer, alors, que : $V(x)=5(100-(x-10)^2)$.
En déduire la valeur maximale du volume de l'aquarium sous cette contrainte. Quelles sont alors les dimensions de l'aquarium ?
Partie B ~ Étude d'une superficie sous contrainte
Montrer que la superficie de verre $S$ utile pour construire l'aquarium vérifie :
$$S(x;y)=xy+10(x+y).$$
Sous les contraintes de la partie A, quelle est la superficie de verre à acheter ?