2nde ~ Devoir maison n°8

1. Écrire sous forme de fraction irréductible, en donnant les étapes, le nombre $a=\dfrac{588}{1\,134}$.
2. Écrire sous forme de fraction irréductible, en donnant les étapes, le nombre $b=\dfrac{3-\frac{2}{3}}{1+\frac{5}{6}}$.
3. Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x^2+\dfrac{5}{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
   1. Écrire sous forme de fraction irréductible, en donnant les étapes, le nombre $f(3)$.
   2. Écrire sous la forme $a\sqrt{5}+b$, avec $a$ et $b$ des entiers (en donnant les étapes), le nombre $f(\sqrt{5})$.
   3. Le point $(1\,;7)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$.
   4. Donner un point à coordonnées entières qui appartient à $\mathcal{C}_f$.
   5. Expliquer pourquoi, pour tout $x\in]0\,;+\infty[$, $\left| f(x) \right|$ $=$ $f(x)$.
4. Développer l'expression $A(x)=(3x-4)(5-6x)$.
5. Développer l'expression $B(x)=(3x-4)(4-6x)+5(2x-8)$.
6. Pour tout réel $x$ on a $C(x)=x^2-7$.
   1. Montrer que pour tout $x$, $C(x)=(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})$.
   2. Résoudre alors l'équation $C(x)=0$.
7. Dans un repère orthonormé du plan on considère les trois points $A(1\,;0)$ $B(3\,;5)$ et $C(6\,;14)$.
   1. Déterminer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.
   2. Ces trois points sont-ils alignés ? La réponse sera justifiée par un calcul.
8. Soit $f$ et $g$ les deux fonctions affines définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-4$ et $g(x)=4x+7$.
   1. Donner, en justifiant, le sens de variations de chacune de ces fonctions.
   2. Déterminer les coordoonées du point d'intersection des courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère du plan.
   3. Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\dfrac{f(x)}{g(x)}=2$ ?
9. Montrer que pour tous nombres réels $x$ et $y$ nous tous deux nuls, on a : $\dfrac{(x-y)^2+(x+y)^2}{2(x^2+y^2)}=1$.
10. Pour tous réels $a$ et $b$, montrer que : $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
11. Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Montrer que $\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}$ $=$ $\dfrac{x+1}{2x+1}$.
12. Montrer que pour tous nombres réels $a$ et $b$ on a : $ab\leq\dfrac{a^2+b^2}{2}$.