Quel est le rôle de l'algorithme ci-dessous ?
n = 3600
for i in range(1,3601):
if n%i == 0:
print(i)
Modifier l'algorithme précédent pour vérifier la réponse donnée à la question 1.
Déterminer deux nombres premiers supérieurs à $1\,000$ puis deux autres supérieurs à $1\,000\,000$.
On considère les nombres $a = 24$ et $b = 18$.
Donner deux multiples de $a$ et deux multiples de $b$.
Existe-t-il un nombre qui soit multiple de $a$ et $b$ et strictement inférieur à $ab$ ?
Déterminer le plus petit commun multiple entre $n = 36$ et $m = 168$.
Écrire sous forme irréductible les nombres suivants :
$a_1=\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{18}$
$a_2=\dfrac{7}{36}+\dfrac{13}{168}$
$a_3=\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{6}+\dfrac{1}{4}$
$a_4=\dfrac{9}{308}-\dfrac{5}{242}$
Dans chaque cas, donner tous les diviseurs de chacun des deux nombres, puis déterminer les diviseurs communs. Parmi ceux-là, déduire le plus grand commun diviseur aux deux nombres.
$15$ et $35$.
$60$ et $40$.
$45$ et $64$.
$270$ et $180$.
$56$ et $99$.
Le crible d'Ératosthène permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier.
Nous allons l'utiliser ici pour déterminer les nombres premiers inférieur à $100$.
Dans le tableau ci-dessous, barrer tous les multiples de $2$ sauf $2$. Entourer ensuite le premier nombre non barré après $2$, et barrer tous les multiples de ce nombres (sauf celui-ci) et répéter les opérations jusqu'à ne plus pouvoir rien barrer ou entourer.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
17
18
19
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21
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29
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33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
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53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Écrire les fractions ci-dessous sous forme irréductible.
$\dfrac{45}{20}$.
$\dfrac{63}{42}$.
$\dfrac{121}{56}$.
$\dfrac{156}{234}$.
$\dfrac{1080}{1350}$.
Soient $a$ et $a'$ deux nombres impairs. Montrer que $a^2+a'^2$ est un nombre pair.
Dans un club de vacances, un concours de danse par équipes regroupe $60$ hommes et $80$ femmes.
L'organisme veut constituer le plus d'équipes possibles, chacune de même nombre et contenant la même proportion d'hommes et de femmes.
Combien d'équipes l'organisme doit-il constituer ?
On dispose de $60$ dalles de jardin de $50$ cm par $50$ cm.
Combien de terrasses rectangulaires différentes peut-on faire en utilisant la totalité de ces $60$ dalles.
Parmi ces terrasses qu'elle est celle dont l'aire est maximale ?
Soit $n$ un entier naturel qui possède deux diviseurs stricts que l'on note $a$ et $b$.
C'est-à-dire que : $n=a\times b$ et $1 < a < n$ ainsi que $1 < b < n$.
L'objectif de l'exercice est de démontrer par l'absurde que $a\leq \sqrt{n}$ et $b\leq\sqrt{n}$.
Quelles hypothèses émettre pour débuter le raisonnement par l'absurde ?
Montrer, sous ces hypothèses, que $n < b\sqrt{n}$ et $b\sqrt{n} < ab$.
En déduire une contradiction et conclure.
À partir du résultat précédent optimiser l'algorithme ci-dessous.
from math import*
def isPrime(n):
borne = n
premier = True
for i in range(2,borne):
if n%i == 0:
premier = False
if premier:
print(str(n)+" est premier.")
else:
print(str(n)+" n'est pas premier.")
Leonhard Euler (1707 / 1783) a découvert que les formules $p(n)=n^2+n+17$ et $q(n)=n^2-n+41$ fournissaient, de manière très fréquente, des nombres premiers pour les premières valeurs de $n$.
En utilisant la fonction donnée (et en l'optimisant) écrire un algorithme qui donne le pourcentage de nombres premiers obtenu à l'aide de chacune de ces formules pour $n$ allant de $0$ jusqu'à $100$.
from math import*
def isPrime(n):
borne = n
premier = True
for i in range(2,borne):
if n%i ==0:
premier = False
return premier
Le but de cet exercice est de montrer que le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Nous allons raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe une fraction irréductible $\dfrac{a}{b}$, avec $a$ et $b$ des entiers, $b\neq0$, tel que :
$$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}.$$
Montrer que $a^2 = 2b^2$.
En déduire que $a$ est pair.
Montrer alors que $b^2$ est pair. Que peut-on en déduire pour $b$ ?
Conclure.
La conjecture de Goldbach affirme que « tout nombre pair supérieur ou égale à $4$ est la somme de deux nombres premiers ».
Vérifier cette conjecture pour tous les nombres pairs de l'intervalle $[10;20]$.
Trouver tous les nombres premiers $p$ et $p'$ tels que $10 = p+p'$.
De combien de façons $50$ peut-il se décomposer en une somme de deux entiers naturels ? Qu'elle est la proportion de ces décompositions répondant à la conjecture de Goldbach ?
De combien de façons un entier naturel pair $2n$ (avec $n\in\mathbb{N}$) peut-il se décomposer en une somme de deux entiers naturels ?
Certains mathématiciens estiment que la proportion de ces décompositions qui répondent à la conjecture de Goldbach est proche de $\dfrac{n}{(\ln(n))^2}$ pour $n$ assez grand, avec $\ln$ une fonction qui est sur une des touches de la calculatrice.
La conjecture de Goldbach a été vérifiée pour tous les entiers naturels pairs de $4$ jusqu'à (au moins) $1,1\times 10^{18}$.
En utilisant votre calculatrice expliquer pourquoi certains mathématiciens estiment fort probable que la conjecture de Goldbach est vraie.
Compétences
Connaître les définitions des notions : diviseur, multiple, divisible, nombre premier, nombre pair et nombre impair.
Savoir dresser la liste des diviseurs d'un nombre.
Savoir poser une division euclidienne.
Être capable de déterminer le ppcm et le pgcd de deux nombres.
Savoir montrer qu'un nombre connu à l'aide d'une écriture littéral est pair ou impair, ou multiple d'un nombre donné.
Connaître la signification de l'opérateur % en Python.