Généralités sur les fonctions On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3x−5f(x)=3x-5.
  1. Déterminer les images par ff de : −3-3 ; 52\dfrac{5}{2} ; aa ; a+2a+2 ; x+1x+1.
  2. Déterminer les éventuels antécédents de : 00 ; 34\dfrac{3}{4} ; 5\sqrt{5} ; yy.
Pour chaque fonction trouver la ligne du tableau correspondante.
  1. f(x)=x2f(x)=x^2
  2. g(x)=xg(x)=x
  3. h(x)=x3h(x)=x^3
  4. i(x)=x2i(x)=\sqrt{x^2}
  5. j(x)=x2xj(x)=\dfrac{x^2}{x}
  6. k(x)=(x)2k(x)=\left( \sqrt{x} \right)^2
xx −1-1 00 11 22
? −1-1 00 11 88
? 11 00 11 22
? −1-1 00 11 22
? non définie 00 11 22
? −1-1 non définie 11 22
? 11 00 11 44
On considère la fonction suivante, définie pour tout nombre réel différent de 3 par : f:R\{3}⟶Rt⟼t2+1t−3\begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R}\backslash\{3\} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & t & \longmapsto & \dfrac{t^2+1}{t-3} \end{array}
  1. Expliquer pourquoi le nombre 33 ne peut pas faire partie de l'ensemble de définition de ff.
  2. Déterminer l'image de 00 par ff.
  3. Montrer que −13-\dfrac{1}{3} a pour image lui-même.
  4. D'autres éléments de l'ensemble de définition ont-ils pour image pour eux-même ?
Une fourmi lancée à grande vitesse effectue un freinage. On s'intéresse à la distance qu'elle parcourt en fonction du temps.

• On se dit qu'au temps t=0t=0, elle a parcouru 0 cm.
• Au bout de 1 seconde, elle a parcouru 1 cm.
• Au bout de 2 secondes, elle a parcouru, en centimètres, 1+121+\dfrac{1}{2}.
• Au bout de 3 secondes, elle a parcouru 1+12+131+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} cm.
• Au bout de 4 secondes, elle a parcouru, on s'en doute, 1+12+13+141+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} cm.
• Et ainsi de suite.

Ainsi, on peut définir une fonction dd, telle qu'à l'instant tt, exprimé en seconde, la fourmi aura parcourue la distance d(t)d(t), exprimée en centimètre.
  1. Écrire sous forme décimale, à l'aide de deux chiffres après la virgule, la distance parcourue par la fourmi au bout de 2 secondes.
  2. Calculer ensuite, d(3)d(3), d(4)d(4) et d(5)d(5). Que représentent ces nombres ?
  3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
    tt 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515
    d(t)d(t)
  4. Construire dans un repère orthonormé le nuage de points associés à ce tableau de valeurs. Pourquoi n'est-il pas réaliste de relier les points par un segment ?
  5. Au bout de combien de temps la fourmi aura-t-elle dépassé les 3 cm ? Les 3,5 cm ?
  6. Expliquer le rôle de l'algorithme suivant. d = 0.0 n = 1.0 while d < 15: d = d + 1/n n = n + 1 print(n)
  7. La fourmi va-t-elle s'arréter ?
On considère la fonction : f:x⟼x3+3x2−x−3f:x\longmapsto x^3+3x^2-x-3.
On donne sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
12−1−2−3123456−1−2−3
Répondre de la manière la plus précise possible aux questions suivantes.
  1. Quelle est l'image de −1,5-1,5 par la fonction ff?
  2. Quelle est l'image de 0 par la fonction ff?
  3. Quelle est l'image de 1 par la fonction ff?
  4. Trouver les antécédents de 2.
  5. Trouver les antécédents de 5.
  6. Trouver l'abscisse des points de la courbe d'ordonnée 0.
  7. Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0f(x)= 0.
  8. Résoudre graphiquement l'équation f(x)=−2f(x)=-2.
  9. Donner le tableau de signes de la fonction ff.
  10. Résoudre l'inéquation f(x)<0f(x)<0.
  11. Quelles sont les valeurs maximales et minimales de cette fonction ?
12−1−2−3123456−1−2−3
 On donne trois fonctions définies soit par leur courbe, soit par leur expression algébrique, soit par leur tableau de valeurs. Attention ces trois fonctions ne sont pas les mêmes !

• Soit ff une fonction dont on connait le tableau de valeur suivant :
xx −4-4 −3-3 −2-2 −1-1 00 11 22 33 44
f(x)f(x) 33 2,12,1 00 −1-1 −1,333-1,333 −0.5-0.5 0,0010,001 22 1010
•Soit gg la fonction définie par : $$\begin{array}{cccl} g : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \ & x & \longmapsto & g(x)=x^3-4x^2+5x-1. \end{array}$$ •Soit hh la fonction dont on connait graphique suivant :
123−1−2−3−41234−1−2
  1. Pour chacune de ces fonctions trouver l'image de −1,5-1,5, puis de 44.
    2. 123−1−2−3−41234−1−2
    x
    h(x)
  2. Trouver ensuite pour chacune d'elles les antécédents de 22, puis de −1,5-1,5.
    3. 123−1−2−3−41234−1−2
  3. Trouver le maximum de ces fonctions.
  4. Etablir enfin les tableaux de variations de ff, gg et hh.
  5. Conclure sur les avantages et les inconvénients de chacune des représentations des fonctions.
On considère la figure suivante, où le point MM se déplace sur le segment [ABAB]. On sait de plus que AB=9AB = 9 et on pose AM=xAM = x.
A
B
M
On cherche à déterminer quand est-ce que l'aire de la partie colorié en clair et maximale.
  1. Émettre une conjecture par rapport à notre problème.
  2. Quelles sont les valeurs possibles du nombre xx ?
  3. Déterminer l'aire de chacun des trois demi-disques de la figure.
  4. En déduire l'aire de la partie hachurée en fonction de xx. On notera celle-ci A(x)A(x).
  5. Tracer dans le repère fourni en annexe, la courbe représentative de la fonction AA.
  6. Trouver graphiquement la réponse à notre problème.
  7. Construire le tableau de variations de la fonction AA sur son ensemble de définition.
  8. Interpréter ce tableau de variations en termes d'évolution de l'aire de la partie hachurée.
  9. Démontrer que : A(x)=π4(20,25−(x−4,5)2)A(x)=\dfrac{\pi}{4}(20,25-(x-4,5)^2).
  10. En déduire la valeur exacte de xx pour que A(x)A(x) soit maximale.
123456789246810121416
function affiche(){ couleur = noir peinture = "#ffffff" transparence = 1 rectangle([-20,20],40,40) Xmin = -0.5 Xmax = 9.5 Ymin = -1 Ymax = 17 traceG() traceX() traceY() segment([1,-0.2],[1,0.2]) segment([-0.1,1],[0.1,1]) texte("0",[-0.3,-0.7]) texte("1",[0.9,-0.8]) texte("1",[-0.4,0.8]) } affiche() n = 0 L = [0,1,2,3,4,4.5,5,6,7,8,9] var btn = document.createElement("BUTTON"); btn.innerHTML = "Cliquer"; document.getElementById('addB').appendChild(btn); btn.addEventListener ("click", function() { function f(t){ return 0.785*(-t*t+9*t); } if ( n == 12 ){ affiche() n = -1 } if( n == 11 ){ graphe(f,0,9); n++ } if( n < 12){ couleur = rouge ptc(L[n]); n++ } }); function ptc(t){ point([t,0.785*(-t*t+9*t)]); }
Compétences Étant donnée l'expression algébrique d'une fonction est-ce que je sais déterminer l'image d'un nombre ?
Étant donnée l'expression algébrique d'une fonction est-ce que je sais déterminer les éventuels antécédents d'un nombre ?
Est-ce que je sais remplir un tableau de valeurs à l'aide de la calculatrice ?
Est-ce que je sais déterminer graphiquement des images et des antécédents ?
Est-ce que je sais déterminer graphiquement un tableau de variations ? Un tableau de signes ?
Est-ce que je sais graphiquement résoudre des équations de la forme f(x)=af(x)=a, avec aa un nombre donné par l'énoncé ?
Est-ce que je sais graphiquement résoudre des inéquations de la forme f(x)>af(x)>a, avec aa un nombre donné par l'énoncé ?
Même question avec f(x)≥af(x) \geq a, f(x)<af(x) < a ou f(x)≤af(x) \leq a.
Est-ce que je sais déterminer si un point dont on connaît les coordonnées appartient à la courbe d'une fonction ou non ?
Est-ce que j'arrive à exprimer des égalités géométriques à l'aide d'une inconnue ?
Étant donnée une forme canonique d'un polynôme, est-ce que je sais déterminer la valeur de la variable qui le rend maximal ou minimal ?