Étude de fonctions Exercice 1 Résoudre les équations suivantes.
  1. x2=25x^2 = 25
  2. x2=−1x^2=-1
  3. x3=−8x^3 = -8
  4. 1x=0,1\dfrac{1}{x} = 0,1
  5. x=6\sqrt{x} = 6
  6. x2=3x^2 = 3
  7. 1x=38\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{8}
  8. x=−2\sqrt{x} = -2
  9. x3=−1x^3 = -1
Exercice 2 Résoudre les inéquations suivantes.
  1. x2≤4x^2 \leq 4
  2. x2<9x^2 < 9
  3. x2≤−1x^2 \leq -1
  4. x2≥3x^2 \geq 3
  5. 1x<12\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2}
  6. 1x≥3\dfrac{1}{x} \geq 3
Exercice 3 Sans utiliser la calculatrice compléter les pointillés par <<, >> ou ==.
  1. 32…42 3^2\dots4^2
  2. (−2)2…(−2,1)2 (-2)^2\dots(-2,1)^2
  3. 13…12,8 \sqrt{13}\dots\sqrt{12,8}
  4. 137…117\sqrt{\dfrac{13}{7}} \dots \sqrt{\dfrac{11}{7}}
  5. 210…7 2\sqrt{10}\dots 7
  6. 719…519\dfrac{7}{19} \dots \dfrac{5}{19}
  7. 1π…1π−1 \dfrac{1}{\pi}\dots\dfrac{1}{\pi-1}
  8. −13⋯−14 -\dfrac{1}{3}\dots-\dfrac{1}{4}
  9. 33…53 3^3\dots5^3
  10. (−141)3…(−143)3 (-141)^3\dots(-143)^3
Exercice 4
  1. Soit xx un nombre réel tel que −2≤x≤3-2 \leq x \leq 3. Montrer que : 0≤x2≤90\leq x^2\leq 9.
  2. Soit tt un nombre réel tel que 3≤t≤53\leq t\leq 5. Déterminer un encadrement le plus précis possible pour tt.
  3. Soit yy un nombre réel tel que −4≤y≤2-4\leq y\leq 2. Déterminer un encadrement le plus précis possible pour yy.
Exercice 5 Pour tout réel xx positif on définit les fonctions ff, gg, hh et ii par : On note Cf\mathcal{C}_f, Cg\mathcal{C}_g, et Ch\mathcal{C}_h leur courbe représentative respective dans un repère du plan.
  1. Montrer que pour tout x≥0x\geq 0, h(x)−g(x)=x2(x−1)h(x)-g(x)=x^2(x-1).
  2. Quel est le signe de x2x^2 ?
  3. Si x∈[0;1]x\in[0;1], déterminer la position relative de Cg\mathcal{C}_g et Ch\mathcal{C}_h.
  4. Même question pour x≥1x\geq1.
  5. Factoriser l'expression g(x)−f(x)g(x)-f(x) et en déduire la position relative de Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
Exercice 6 Soit ff la fonction définie sur R∗\mathbb{R}^* par f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}.
Soient aa et bb deux réels strictement positifis tels que a≤ba \leq b.
  1. Montrer que f(b)−f(a)=a−babf(b)-f(a)=\dfrac{a-b}{ab}.
  2. En déduire le signe de f(b)−f(a)f(b)-f(a) et que f(b)≤f(a)f(b) \leq f(a).
  3. Que venons-nous de démontrer pour la fonction ff sur ]0;+∞[]0;+\infty[ ?
Exercice 7 Dans chacun des cas étudier la parité de la fonction ff définie sur II.
  1. f(x)=x4f(x)=x^4,   I=RI=\mathbb{R}.
  2. f(x)=x4f(x)=x^4,   I=[−2;1]I=[-2;1].
  3. f(x)=x3−5xf(x)=x^3-5x,   [−10;10][-10;10].
  4. f(x)=xx2+1f(x)=x\sqrt{x^2+1},   I=RI=\mathbb{R}.
Exercice 8 Partie A
Soient ff et gg deux fonctions définies sur R\mathbb{R}. On donne leur représentation graphique dans le repère ci-dessous.
1234−1−2−3−410203040506070
Cg
Cf
  1. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersections entre les deux courbes.
  2. Déterminer graphiquement leur position relative.
Partie B
Pour tout réel xx nous avons que f(x)=x3−2x+1f(x)=x^3-2x+1 et g(x)=4x2−2x+1g(x)=4x^2-2x+1.
  1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersections entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
  2. Déterminer par le calcul leur position relative de Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
Exercice 9 Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−x2+3x+4f(x)=-x^2+3x+4. On considère de plus la fonction affine gg constante égale à 44.
Déterminer la position relative des courbes de ces deux fonctions dans un repère du plan :
  1. Conjecturer la position relative des courbes de ces deux fonctions à l'aide de la calculatrice.
  2. Démontrer cette conjecture par le calcul.