Étude de signes ∼ Inéquations Dresser les tableaux de signes sur $\mathbb{R}$ des fonctions affines ci-dessus.
  1. $f(x) = 2x-5$
  2. $g(x)=-2x+1$
  3. $h(x)=\dfrac{2}{3}x+7$
  4. $i(x)=-x+\dfrac{1}{4}$
On donne le graphique d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dans le repère ci-dessous.
  1. Donner le tableau de signes de la fonction $f$.
  2. Résoudre l'inéquation $f(x)\geq0$.
Résoudre les inéquations suivantes.
  1. $(x-1)(x+2)\leq0$
  2. $(2x+1)(-3x-4)<0$
  3. $(5-4x)(-1+x)\geq0$
  4. $(7x-3)(9-3x)>0$
  5. $\dfrac{2-3x}{8x-4}\geq0$
  6. $\dfrac{-x+6}{8-3x}\leq0$
  7. $(x+3)(2x+1)+(x+3)(4-5x)\leq0$
  8. $(2x-1)(9-2x)+(2x-1)(7x+4)>0$
  9. $(1-3x)(x+4)-4(x+1)(1-3x)\geq0$
Voici le tableau de signes d'une expression $P(x)$.
$x$ $-\infty$ $-2$ $3$ $+\infty$ $P(x)$ $+$ 0 $-$ interdit $+$
  1. Quelle est la valeur de $x$ pour laquelle :
    1. On ne peut pas calculer $P(x)$ ?
    2. $P(x)$ s'annule ?
  2. Donner le signe de :
    1. $P(0)$
    2. $P(-100)$
    3. $P(2 541,35)$
  3. Recopier et compléter les pointillés par : $<$, $>$, $\leq$ ou $\geq$ :
    1. Pour $x < -2$, 2 $P(x)\dots0$.
    2. Pour $-2 < x < 3$, 2 $P(x)\dots0$.
    3. Pour $x>3$, 2 $P(x)\dots0$.
    4. Pour $x\leq-2$, 2 $P(x)\dots0$.
    5. Pour $-2\leq x<3$, 2 $P(x)\dots0$.
Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(t)=(t-3)^2-4$.
  1. Expliquer, sans faire de calculs, avec des arguments algébriques, pourquoi est-ce que la fonction $f$ atteint son minimum pour $t=3$ et que ce minimum est alors de $-4$ ?
  2. Montrer que $f(t)=t^2-6t+5$.
  3. Montrer que $f(t)=(t-5)(t-1)$.
  4. Trouver alors les antécédents de $0$ par la fonction $f$.
  5. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'inéquation : $f(t)>0$.
  6. Quels sont les nombres qui ont une image négative par la fonction $f$ ?
  7. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
    $t$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $2,5$ $3$ $3,5$ $4$ $5$ $6$ $7$
    $f(t)$
  8. Construire dans le repère donné en annexe, la courbe représentative de la fonction $f$ que l'on notera $\mathcal{C}_f$.
  9. À partir du graphique, construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1;6]$.
  10. Tracer dans ce repère la droite d'équation vertical dont tous les points sont d'abscisse $3$. Que semble-t-elle représenter pour $\mathcal{C}_f$ ?
  11. Construire dans ce repère la courbe de la fonction affine $g$ définie par : $g(t)=\dfrac{2}{5}t-2$.
  12. Résoudre graphiquement l'équation : $f(t)=g(t)$.
  13. En déduire les coordonées des points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$
    14. .