2nde ∼ Interrogation n°1 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 1 Lorsqu'un nombre appartient à un ensemble de nombres, cocher la case correspondante comme dans l'exemple de la première ligne.

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{2}{5}$			✗	✗	✗
$\sqrt{2}$
$\dfrac{1}{4}$
$-\sqrt{49}$
$\dfrac{12+4}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}\times\dfrac{1}{\pi}$

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$	Explications
$\dfrac{2}{5}$			✗	✗	✗	$\dfrac{2}{5} = 0,4$ $=$ $\dfrac{4}{10}$ est un nombre décimal.
$\sqrt{2}$					✗	D'après le cours $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.
$\dfrac{1}{4}$			✗	✗	✗	$\dfrac{1}{4} = 0,25$ $=$ $\dfrac{25}{10}$ est un nombre décimal.
$-\sqrt{49}$		✗	✗	✗	✗	$-\sqrt{49}$ $=$ $-7$ .
$\dfrac{12+4}{4}$	✗	✗	✗	✗	✗	$\dfrac{12+4}{4}$ $=$ $\dfrac{16}{4}$ $=$ $4$ .
$\dfrac{\pi}{3}\times\dfrac{1}{\pi}$				✗	✗	$\dfrac{\pi}{3}\times\dfrac{1}{\pi}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$ qui n'est pas un décimal d'après les exercices du cours.

Exercice 2 Développer réduire et ordonner les expressions suivantes.

f(x)=(x+3)(2x-7)

g(t)=(2t-3)^2

Correction

$f(x)$	$=$	$(x+3)(2x-7)$
	$=$	$2x^2-7x+6x-21$
	$=$	$2x^2-x-21$ .

$g(t)$	$=$	$(2t-3)^2$
	$=$	$(2t)^2-12t+3^2$
	$=$	$4t^2-12t+9$ .

Exercice 3

Compléter la phrase ci-dessous :
« La racine carrée d'un produit est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . »

Correction

« La racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées. »

Donne la définition d'un nombre décimal : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Correction

L'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble, noté

\mathbb{D}

, des nombres rationnels qui peuvent s'écrire sous la forme

\dfrac{a}{10^n}

, avec

a\in\mathbb{Z}

n\in\mathbb{N}

Quelle valeur affiche cet algorithme après son exécution ? . . . . . .
a = 0 for i in range(0,10): a = 2*i print(a)
xxxxxxxxxx

1
a = 0
2
for i in range(0,10):
3
a = 2*i
4
print(a)

Correction

La variable

a

est initialisée à

0

, mais dans la boucle for i va prendre successivement toutes les valeurs de

0

jusqu'à

9

(et non pas

10

).
À chaque itération de la boucle for

a

va prendre la valeur de

2i

, donc lors de la dernière itération où

i=9

la variable

a

sera égale à

18

.
Ainsi, le

print(a)

qui est exécuté en sortant de la boucle permet d'afficher

18

xxxxxxxxxx
 
a = 0
for i in range(0,10):
    a = 2*i
print(a)

Exécuter

Exercice 4 Écrire les nombres suivants sous la forme

a\sqrt{3}

, avec

a\in\mathbb{Q}

x_1 = \sqrt{48}-2\sqrt{12}

x_2 = \dfrac{11}{4\sqrt{75}}

Correction

$x_1$	$=$	$\sqrt{48}-2\sqrt{12}$
	$=$	$\sqrt{16\times3}-2\sqrt{4\times3}$
	$=$	$\sqrt{16}\sqrt{3}-2\sqrt{4}\sqrt{3}$
	$=$	$4\sqrt{3}-2\times2\sqrt{3}$
	$=$	$4\sqrt{3}-4\sqrt{3}$
	$=$	$0$
	$=$	$0\sqrt{3}$ .

$\dfrac{11}{4\sqrt{75}}$	$=$	$\dfrac{11}{4\sqrt{25\times3}}$
	$=$	$\dfrac{11}{4\sqrt{25}\sqrt{3}}$
	$=$	$\dfrac{11}{4\times5\sqrt{3}}$
	$=$	$\dfrac{11}{20\sqrt{3}}$
	$=$	$\dfrac{11}{20\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
	$=$	$\dfrac{11\sqrt{3}}{20\times3}$
	$=$	$\dfrac{11\sqrt{3}}{60}$
	$=$	$\dfrac{11}{60}\sqrt{3}$ .

Exercice 5 Factoriser les expressions suivantes.

h(x)=5x+2x^2

i(x)=\dfrac{2}{5}x^3-x^2+3x

Correction

$h(x)$	$=$	$5x+2x^2$
	$=$	$x(5+2x)$ .

$i(x)$	$=$	$\dfrac{2}{5}x^3-x^2+3x$
	$=$	$x\left( \dfrac{2}{5}x^2-x+3 \right)$ .

Exercice 6 On considère un triangle

ABC

, rectangle en

A

tel que

AB=7\sqrt{10}

AC=2\sqrt{59}

.
L'affirmation

BC=11\sqrt{6}

est-elle vraie ? La réponse sera justifiée et pourra s'appuyer sur une figure dont les longueurs peuvent ne pas être correctes.

Correction

0,0

7\sqrt{10}

2\sqrt{59}

Puisque le triangle

ABC

est rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore on a :

$BC^2$	$=$	$AB^2+AC^2$
	$=$	$(7\sqrt{10})^2+(2\sqrt{59})^2$
	$=$	$7^2\times\sqrt{10}^2+2^2\times\sqrt{59}^2$
	$=$	$49\times10+4\times59$
	$=$	$726$ .

Ainsi :

BC=\sqrt{726}

=

\sqrt{121\times6}

=

\sqrt{121}\times\sqrt{6}

=

11\sqrt{6}

.
L'affirmation est donc vraie.