2nde ∼ Interrogation n°2 Nom - Prénom : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ Soit $f$ la fonction affine définie pour tout entier $x$ par $f(x)=-\dfrac{1}{3}x+2$.
  1. Déterminer l'image de $0$ puis l'image de $5$ et l'image de $-3$ par $f$.
    2. $f(0)=-\dfrac{1}{3}\times0+2$ $=$ $0+2$ $=$ $2$.

    $f(5) = -\dfrac{1}{3}\times5+2$ $=$ $-\dfrac{5}{3}+\dfrac{6}{3}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$.

    $f(-3) = -\dfrac{1}{3}\times(-3)+2$ $=$ $1+2$ $=$ $3$.
  2. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère ci-dessous.
    3. On utilise les résultats de la question précédente pour tracer la droite qui représente $f$.
    Celle-ci passe par les points $(0\,;\,2)$ et $(-3\,;\,3)$.
  3. Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    4. La fonction affine $f$ change de signe en $-\dfrac{b}{a}$ avec $a=-\dfrac{1}{3}$ et $b=2$.
    Or, $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-\frac{1}{3}}$ $=$ $2\times\dfrac{3}{1}$ $=$ $6$.
    Le coefficient directeur $a=-\dfrac{1}{3}$ étant strictement négatif on obtient le tableau de signe suivant :
    $x$ $-\infty$ $6$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$

    Remarque : on aurait pu résoudre l'équation $f(x)=0$ pour trouver la valeur qui annule $f(x)$.
Dans le repère ci-dessous ont été tracées les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ de fonctions affines $f$, $g$ et $h$.
  1. Déterminer l'expression algébrique de chacune de ces fonctions affines.
    2. $f(x)=\dfrac{1}{3}x-4$
    $g(x)=-2x+2$
    $h(x)=1$
  2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    3. On résout pour cela l'équation $f(x)=g(x)$.
    $f(x)$ $=$ $g(x)$
    $\dfrac{1}{3}x-4$ $=$ $-2x+2$
    $\dfrac{1}{3}x+2x$ $=$ $2+4$
    $\dfrac{1}{3}x+\dfrac{6}{3}x$ $=$ $6$
    $\dfrac{7}{3}x$ $=$ $6$
    $x$ $=$ $6\times\dfrac{3}{7}$
    $x$ $=$ $\dfrac{18}{7}$.
    L'abscisse du point d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ vaut $\dfrac{18}{7}$, son ordonnée est : $g\left(\dfrac{18}{7}\right)=-2\times\dfrac{18}{7}+2$ $=$ $-\dfrac{36}{7}+\dfrac{14}{7}$ $=$ $-\dfrac{22}{7}$.

    Les coordonnées du point d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont : $\left( \dfrac{12}{5} ; -\dfrac{14}{5} \right)$.
  3. Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    4. On résout pour cela l'inéquation $f(x)\leq g(x)$.
    $f(x)$ $\leq$ $g(x)$
    $\dfrac{1}{3}x-4$ $\leq$ $-2x+2$
    $\dfrac{1}{3}x+2x$ $\leq$ $2+4$
    $\dfrac{1}{3}x+\dfrac{6}{3}x$ $\leq$ $6$
    $\dfrac{7}{3}x$ $\leq$ $6$
    $x$ $\leq$ $6\times\dfrac{3}{7}$
    $x$ $\leq$ $\dfrac{18}{7}$.
    Ainsi :

    $x$ $-\infty$ $\dfrac{18}{7}$ $+\infty$ Position relative $\mathcal{C}_f$ est au dessous de $\mathcal{C}_g$ 0 $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$
On considère, dans un repère orthonormée, les points $A(-3;2)$ et $B(2;4)$.
Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine $f$ représentée par la droite $(AB)$. On cherche $a$ et $b$ tels que $f(x)=ax+b$.
On a : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ $=$ $\dfrac{4-2}{2-(-3)}$ $=$ $\dfrac{2}{5}$.

Ainsi, $f(x)=\dfrac{2}{5}x+b$, et pour déterminer $b$ on remplace $x$ par $x_B$ :
$f(x_B)$ $=$ $\dfrac{2}{5}x_B+b$
$4$ $=$ $\dfrac{2}{5}\times2+b$
$4$ $=$ $\dfrac{4}{5}+b$
$4-\dfrac{4}{5}$ $=$ $b$
$b$ $=$ $4-\dfrac{4}{5}$
$b$ $=$ $\dfrac{20}{5}-\dfrac{4}{5}$
$b$ $=$ $\dfrac{16}{5}$
Ainsi, pour tout réel $x$, $\,\,f(x)=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{16}{5}$.
Dans la figure ci-dessus, le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle, et le triangle $CDE$ est équilatéral.
Le segment $[BC]$ mesure $10$, et $[AB]$ a une longueur inconnue $x$.
  1. Justifier que le périmètre du rectangle $ABCD$ vérifie $p(x)=2x+20$.
    2. $p(x)=AB+BC+CD+DA$ $=$ $x+10+x+10$ $=$ $2x+20$.
  2. Déterminer l'expression algébrique de $q(x)$, périmètre du triangle $CDE$.
    3. $Q(x)=CD+DE+EC$ $=$ $x+x+x$ $=$ $3x$.
  3. Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ le périmètre du rectangle $ABCD$ est-il égal à celui du triangle $CDE$ ?
    4. On résout l'équation $p(x)=q(x)$.
    $p(x)$ $=$ $q(x)$
    $2x+20$ $=$ $3x$
    $2x-3x$ $=$ $-20$
    $-x$ $=$ $-20$
    $x$ $=$ $20$.
    Ainsi lorsque $x=20$, le rectangle et le triangle ont le même périmètre.
  4. Est-il possible que le rectangle $ABCD$ ait un périmètre supérieur à celui du triangle $CDE$ ?
    5. On résout l'inéquation $p(x)\geq q(x)$.
    $p(x)$ $\geq$ $q(x)$
    $2x+20$ $\geq$ $3x$
    $2x-3x$ $\geq$ $-20$
    $-x$ $\geq$ $-20$
    $x$ $\leq$ $20$.
    Le périmètre du rectangle est donc supérieur à celui du triangle lorsque $x\leq 20$.