2nde ∼ Interrogation n°2 Nom - Prénom : ………………………………………………………\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots Exercice 1 Soit ff la fonction affine définie pour tout entier xx par f(x)=−13x+2f(x)=-\dfrac{1}{3}x+2.
  1. Déterminer l'image de 00 puis l'image de 55 et l'image de −3-3 par ff.
    2. Correction
    f(0)=−13×0+2f(0)=-\dfrac{1}{3}\times0+2 == 0+20+2 == 22.

    f(5)=−13×5+2f(5) = -\dfrac{1}{3}\times5+2 == −53+63-\dfrac{5}{3}+\dfrac{6}{3} == 13\dfrac{1}{3}.

    f(−3)=−13×(−3)+2f(-3) = -\dfrac{1}{3}\times(-3)+2 == 1+21+2 == 33.
    ✕
  2. Tracer la courbe représentative de la fonction ff dans le repère ci-dessous.
    3. Correction
    On utilise les résultats de la question précédente pour tracer la droite qui représente ff.
    Celle-ci passe par les points (0;2)(0\,;\,2) et (−3;3)(-3\,;\,3).
    246−2−4−6246−2−4−6
    ✕
  3. Dresser le tableau de signes de la fonction ff sur R\mathbb{R}.
    4. Correction
    La fonction affine ff change de signe en −ba-\dfrac{b}{a} avec a=−13a=-\dfrac{1}{3} et b=2b=2.
    Or, −ba=−2−13-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-\frac{1}{3}} == 2×312\times\dfrac{3}{1} == 66.
    Le coefficient directeur a=−13a=-\dfrac{1}{3} étant strictement négatif on obtient le tableau de signe suivant :
    xx −∞-\infty 66 +∞+\infty f(x)f(x) ++ 0 −-
    xx−∞-\infty66+∞+\infty
    f(x)f(x)++0−-

    Remarque : on aurait pu résoudre l'équation f(x)=0f(x)=0 pour trouver la valeur qui annule f(x)f(x).
    ✕
246−2−4−6246−2−4−6
Exercice 2 Dans le repère ci-dessous ont été tracées les courbes représentatives Cf\mathcal{C}_f, Cg\mathcal{C}_g et Ch\mathcal{C}_h de fonctions affines ff, gg et hh.
246−2−4−6246−2−4−6
Cf
Cg
Ch
  1. Déterminer l'expression algébrique de chacune de ces fonctions affines.
    2. Correction
    f(x)=13x−4f(x)=\dfrac{1}{3}x-4
    g(x)=−2x+2g(x)=-2x+2
    h(x)=1h(x)=1
    ✕
  2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
    3. Correction
    On résout pour cela l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x).
    f(x)f(x) == g(x)g(x)
    13x−4\dfrac{1}{3}x-4 == −2x+2-2x+2
    13x+2x\dfrac{1}{3}x+2x == 2+42+4
    13x+63x\dfrac{1}{3}x+\dfrac{6}{3}x == 66
    73x\dfrac{7}{3}x == 66
    xx == 6×376\times\dfrac{3}{7}
    xx == 187\dfrac{18}{7}.
    L'abscisse du point d'intersection entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g vaut 187\dfrac{18}{7}, son ordonnée est : g(187)=−2×187+2g\left(\dfrac{18}{7}\right)=-2\times\dfrac{18}{7}+2 == −367+147-\dfrac{36}{7}+\dfrac{14}{7} == −227-\dfrac{22}{7}.

    Les coordonnées du point d'intersection entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g sont : (125;−145)\left( \dfrac{12}{5} ; -\dfrac{14}{5} \right).
    ✕
  3. Déterminer la position relative des courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
    4. Correction
    On résout pour cela l'inéquation f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x).
    f(x)f(x) ≤\leq g(x)g(x)
    13x−4\dfrac{1}{3}x-4 ≤\leq −2x+2-2x+2
    13x+2x\dfrac{1}{3}x+2x ≤\leq 2+42+4
    13x+63x\dfrac{1}{3}x+\dfrac{6}{3}x ≤\leq 66
    73x\dfrac{7}{3}x ≤\leq 66
    xx ≤\leq 6×376\times\dfrac{3}{7}
    xx ≤\leq 187\dfrac{18}{7}.
    Ainsi :

    xx −∞-\infty 187\dfrac{18}{7} +∞+\infty Position relative Cf\mathcal{C}_f est au dessous de Cg\mathcal{C}_g 0 Cf\mathcal{C}_f est au dessus de Cg\mathcal{C}_g
    xx−∞-\infty187\dfrac{18}{7}+∞+\infty
    Position relativeCf\mathcal{C}_f est au dessous de Cg\mathcal{C}_g0Cf\mathcal{C}_f est au dessus de Cg\mathcal{C}_g
    ✕
Exercice 3 On considère, dans un repère orthonormée, les points A(−3;2)A(-3;2) et B(2;4)B(2;4).
Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine ff représentée par la droite (AB)(AB).
Correction
On cherche aa et bb tels que f(x)=ax+bf(x)=ax+b.
On a : a=yB−yAxB−xAa=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} == 4−22−(−3)\dfrac{4-2}{2-(-3)} == 25\dfrac{2}{5}.

Ainsi, f(x)=25x+bf(x)=\dfrac{2}{5}x+b, et pour déterminer bb on remplace xx par xBx_B :
f(xB)f(x_B) == 25xB+b\dfrac{2}{5}x_B+b
44 == 25×2+b\dfrac{2}{5}\times2+b
44 == 45+b\dfrac{4}{5}+b
4−454-\dfrac{4}{5} == bb
bb == 4−454-\dfrac{4}{5}
bb == 205−45\dfrac{20}{5}-\dfrac{4}{5}
bb == 165\dfrac{16}{5}
Ainsi, pour tout réel xx, f(x)=25x+165\,\,f(x)=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{16}{5}.
✕
Exercice 4
A
B
C
D
E
Dans la figure ci-dessus, le quadrilatère ABCDABCD est un rectangle, et le triangle CDECDE est équilatéral.
Le segment [BC][BC] mesure 1010, et [AB][AB] a une longueur inconnue xx.
  1. Justifier que le périmètre du rectangle ABCDABCD vérifie p(x)=2x+20p(x)=2x+20.
    2. Correction
    p(x)=AB+BC+CD+DAp(x)=AB+BC+CD+DA == x+10+x+10x+10+x+10 == 2x+202x+20.
    ✕
  2. Déterminer l'expression algébrique de q(x)q(x), périmètre du triangle CDECDE.
    3. Correction
    Q(x)=CD+DE+ECQ(x)=CD+DE+EC == x+x+xx+x+x == 3x3x.
    ✕
  3. Pour quelle(s) valeur(s) de xx le périmètre du rectangle ABCDABCD est-il égal à celui du triangle CDECDE ?
    4. Correction
    On résout l'équation p(x)=q(x)p(x)=q(x).
    p(x)p(x) == q(x)q(x)
    2x+202x+20 == 3x3x
    2x−3x2x-3x == −20-20
    −x-x == −20-20
    xx == 2020.
    Ainsi lorsque x=20x=20, le rectangle et le triangle ont le même périmètre.
    ✕
  4. Est-il possible que le rectangle ABCDABCD ait un périmètre supérieur à celui du triangle CDECDE ?
    5. Correction
    On résout l'inéquation p(x)≥q(x)p(x)\geq q(x).
    p(x)p(x) ≥\geq q(x)q(x)
    2x+202x+20 ≥\geq 3x3x
    2x−3x2x-3x ≥\geq −20-20
    −x-x ≥\geq −20-20
    xx ≤\leq 2020.
    Le périmètre du rectangle est donc supérieur à celui du triangle lorsque x≤20x\leq 20.
    ✕