Fonctions affines Fonctions affines
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est dite affine lorsqu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ $\in$ $\mathbb{R}$, $f(x)$ $=$ $ax+b$.

Les nombres $a$ et $b$ sont respectivement appelés le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$. Dans le cas particulier où $a$ $=$ $0$, la fonction est dite constante.

Dans le cas où $b$ $=$ $0$, la fonction est dite linéaire. La fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=3x-11$ est une fonction affine. Son ordonnée à l'origine vaut $-11$ et son coefficient directeur $3$.
On peut remplir le tableau de valeurs ci-dessous pour cette fonction :

$x$ $-10$ $-1$ $0$ $0,5$ $\dfrac{11}{3}$ $111$
$g(x)=3x-11$ $-41$ $-14$ $-11$ $-9,5$ $0$ $322$

Dans un repère orthonormé du plan, la courbe représentative d'une fonction affine est une droite sécante avec l'axe des ordonnées. Dans le repère ci-dessous, construire les courbes représentatives des deux fonctions affines $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :
$f(x)=\dfrac{1}{2}x-3$ $g(x)=-x+1$
Pour la fonction $f$ :
On a $f(0)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times0-3$ $=$ $-3$. Donc la droite passe par le point $(0;-3)$.

De plus, $f(4)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times4-3$ $=$ $-1$. Donc la droite passe également par le point $(4;-1)$.

Pour la fonction $g$ :
On a $g(0)$ $=$ $-0+1$ $=$ $1$. Donc la droite passe par le point $(0;1)$.

De plus, $g(6)$ $=$ $-6+1$ $=$ $-5$. Donc la droite passe également par le point $(6;-5)$.
Deux fonctions affines ont des représentations graphiques parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Illustration
Cette propriété qui permet d'étudier le parallélisme entre deux droites sera complétée lors du chapitre sur les vecteurs
Soit $f$ une fonction affine dont le coefficient directeur est un nombre réel $a$.
$\bullet$ 3 Si $ a > 0 $ alors $f$ est strictement croissante.
$\bullet$ 3 Si $ a < 0 $ alors $f$ est strictement décroissante. Illustration
Faire varier les valeurs de $a$ et $b$
Soient $a$ et $b$ deux réels, $a\neq0$, et soit $f$ la fonction affine définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.

Il existe alors un unique réel $x$ tel que $f(x)=0$ et il vaut $x=-\dfrac{b}{a}$. Preuve
Résolvons l'équation $f(x)=0$.
$f(x)$ $=$ $0$
$ax+b$ $=$ $0$
$ax$ $=$ $-b$
$x$ $=$ $-\dfrac{b}{a}$.

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a\neq0$, et soit $f$ la fonction affine définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.
$\bullet$ Si $a>0$ alors : $f(x)>0$ si et seulement si $x> -\dfrac{b}{a}$.
$x$ $-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$ $f(x)$ $-$ 0 $+$

$\bullet$ Si $a < 0$ alors : $f(x)>0$ si et seulement si $x< -\dfrac{b}{a}$.
$x$ $-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$
Illustration
Soit $h$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $h(t)=3t-5$. Déterminer le tableau de signe de $h$ sur $\mathbb{R}$. Résolvons tout d'abord $h(t)=0$.
$h(t)$ $=$ $0$
$3t-5$ $=$ $0$
$3t$ $=$ $5$
$t$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.
Ainsi, puisque le coefficient directeur de $g$ vaut $3$ qui est un nombre positif, nous avons le tableau de signes suivant :
$t$ $-\infty$ $-\dfrac{5}{3}$ $+\infty$ $h(t)$ $-$ 0 $+$

Soit $f$ une fonction affine dont on note $a$ le coefficient directeur.
Pour tout nombre réel distincts $x_1$ et $x_2$, on a alors : $a$ $=$ $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ On peut reformuler cette propriété en disant que le coefficient directeur est égale à la variation verticale divisée par la variation horizontale.

On a encore : $a$ $=$ $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Soit $f$ la fonction affine dont la droite représentative passe par les points $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$.
Déterminer l'expression algébrique de $f$. Notons $a$ et $b$ le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$. On a alors :

$a$ $=$ $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ $=$ $\dfrac{-1-3}{4-(-2)}$ $=$ $\dfrac{-4}{6}$ $=$ $-\dfrac{2}{3}$.

Nous avons ainsi que pour tout réel $x$, $f(x)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}x+b$.

Pour déterminer $b$, il nous suffit alors de remplacer $x$ et $f(x)$ par les coordonnées respectives de $A$.

$f(-2)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}\times(-2)+b$
$3$ $=$ $\dfrac{4}{3}+b$
$3-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{3}{1}-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{9}{3}-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{5}{3}$ $=$ $b$
$b$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.

L'expression algébrique de $f$ est donc, pour tout réel $x$, $f(x)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$. Dans le repère ci-dessous a été tracée une droite représentant une fonction affine $g$.
Déterminer l'expression algébrique de $g$.
Nous voyons que la droite passe par le point de coordonnées $(0;-2)$, ainsi l'ordonnée à l'origine vaut $-2$.

La droite passe également par le point $(3;3)$, le coefficient directeur vaut donc :

$\dfrac{3-(-2)}{3-0}$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.
L'expression algébrique de $g$ est donc pour tout réel $x$ : $g(x)$ $=$ $\dfrac{5}{3}x-2$. Intersections de droites ∼ Positions relatives
Soient $f$ et $g$ deux fonctions affines.
Pour déterminer l'éventuel point d'intersection entre les deux droites représentatives de ces deux fonctions, on résout l'équation :

$f(x)$ $=$ $g(x)$.
S'il existe une solution $x_0$, le point d'intersection a alors pour coordonnées $(x_0;f(x_0))$. Soient $f$ et $g$ les deux fonctions affines définies pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x+5$ et $g(x)=-2x-3$.

Déterminer les coordonnées de l'éventuel point d'intersection entre les droites représentatives de ces deux fonctions. Résolvons pour cela l'équation $f(x)$ $=$ $g(x)$.
$f(x)$ $=$ $g(x)$
$\dfrac{1}{2}x+5$ $=$ $-2x-3$
$\dfrac{1}{2}x+2x$ $=$ $-3-5$
$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{2}{1}x$ $=$ $-8$
$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{4}{2}x$ $=$ $-8$
$\dfrac{5}{2}x$ $=$ $-8$
$x$ $=$ $-8\times\dfrac{2}{5}$
$x$ $=$ $-\dfrac{16}{5}$.
Il nous reste à calculer $f\left( -\dfrac{16}{5} \right)$.

$f\left( -\dfrac{16}{5} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times\left( -\dfrac{16}{5}\right)+5$ $=$ $-\dfrac{8}{5}$ $+$ $\dfrac{25}{5}$ $=$ $\dfrac{17}{5}$.

Le point d'intersection cherché a donc pour coordonnées : $\left( -\dfrac{16}{5};\dfrac{17}{5} \right)$.

On peut vérifier ce résultat dans un graphique.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions affines.
Pour déterminer la position relative des deux droites représentatives de ces deux fonctions, on résout l'inéquation :

$f(x)$ $\leq$ $g(x)$. Soient $f$ et $g$ les deux fonctions affines définies pour tout réel $x$ par $f(x)=x-1$ et $g(x)=-2x+1$.
Déterminer la position relative des droites représentatives de ces deux fonctions. Résolvons tout d'abord l'inéquation $f(x) \leq g(x)$.
$f(x)$ $\leq$ $g(x)$
$x-1$ $\leq$ $-2x+1$
$x+2x$ $\leq$ $1+1$
$3x$ $\leq$ $2$
$x$ $\leq$ $\dfrac{2}{3}$.
Ainsi, pour tout réel $x\leq\dfrac{2}{3}$, la droite représentant la fonction $f$ est au-dessous de celle représentant la fonction $g$.
Pour tout réel $x\geq\dfrac{2}{3}$, la droite représentant la fonction $f$ est au-dessus de celle représentant la fonction $g$.

En notant $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les droites représentant les fonctions $f$ et $g$, on peut établir le tableau suivant :
$x$ $-\infty$ $\dfrac{2}{3}$ $+\infty$ Position relative $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}g$ 0 $\mathcal{C}f$ est au-dessus de $\mathcal{C}g$


On peut vérifier ce résultat dans un graphique.
Déplacer le point bleu
Quizz
  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=3-\dfrac{1}{5}x$. Le coefficient directeur de $f$ :
    1. n'existe pas car $f$ n'est pas une fonction affine
    2. vaut $3$
    3. vaut $\dfrac{1}{5}$
    4. $-0,2$



  2. Soit $g$ la fonction affine définie pour tout réel $t$ par $g(t)=4t+8$. L'antécédent de $0$ est :
    1. $-2$
    2. $2$
    3. $8$
    4. $4$



  3. Dans le repère ci-dessous a été tracée la courbe représentative d'une fonction affine $h$.
    Son coefficient directeur vaut :
    1. $6$
    2. $\dfrac{1}{2}$
    3. $-\dfrac{1}{2}$
    4. $-2$