Statistiques (1)
Statistiques descriptives 1Proportions Definition 1
Le

cardinal

d'un ensemble

fini

E

désigne le

nombre d'éléments de

E

Definition 2
Soit

E

un ensemble

non vide

dont on note

n_E

cardinal.

Soit

A

une partie de l'ensemble

E

dont on note

n_A

cardinal.

proportion

p

A

dans

E

est le nombre

réel

défini par

p

=

\dfrac{n_A}{n_E}

Remark 1

La proportion peut s'appeler également
fréquence.
Une proportion peut s'exprimer en pourcentage. Par exemple une proportion de $0,13$ correspond à
$13$ %.
Un pourcentage de $19,93$ % correspond à une proportion de
$0,199\,3$ .

Exemple 1 Déterminer une proportion
Dans un groupe de 40 personnes, 12 sont mineures. Quelle est la proportion de personnes mineures dans ce groupe ?

Correction

\text{proportion}

=

\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Tout} }

=

\dfrac{12}{40}

=

0,3

soit

30

Exemple 2 Déterminer la partie
Dans une entreprise de 360 personnes les fumeurs représentent 15 % de l'effectif total. Combien dénombre-t-on de fumeurs dans cette entreprise ?

Correction

\text{proportion}

=

\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Tout} }

donc

\text{Partie}

=

\text{Tout} \times \text{Proportion}

C'est-à-dire :

360\times0,15

=

54

fumeurs.

Exemple 3 Déterminer le tout
Dans un village on dénombre

1\, 608

électrices qui représentent

75

% du corps électoral. Déterminer le nombre total d'électeurs de ce village.

Correction

\text{proportion}

=

\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Tout} }

donc

\text{Tout}

=

\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Fréquence} }

C'est-à-dire :

\dfrac{1\,608}{0,75}

=

2\,144

électeurs.

Remark 2 On peut récapituler les trois formules liant proportion, effectif total et effectif de la partie :

\text{Proportion} =

\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Tout} }

\text{Partie} =

\text{Tout} \times \text{Proportion}

\text{Tout} =

\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Proportion} }

Property 1
Une proportion

p

d'une partie d'un ensemble vérifie :

0 \leq p \leq 1

Preuve
Dans la formule

p

=

\text{Proportion} =

\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Tout} }

les nombres du quotient sont tous deux

positifs

, ainsi

p \geq 0

et puisque le numérateur est

inférieur

dénominateur

alors on a bien

p \geq

1

Property 2
Soient

A

une partie d'un ensemble

E

B

une partie de

A

.
En notant

p_1

la proportion de

A

dans

E

p_2

la proportion de

B

dans

A

alors la proportion

p

B

dans

E

vaut :

p

=

p_1\times p_2

0,0

A

E

B

Exemple 4 Dans une commune

22

% de la population est âgé de

18

30

ans. Dans cette tranche d'âge

75

% des personnes possèdent un permis de conduire.
Quelle proportion de la population totale de cette commune représentent les personnes âgées de

18

30

ans qui possèdent un permis de conduire ?

Correction

La proportion cherchée vaut :

0,22\times 0,75

=

0,165

soit

16,5

2Évolutions Definition 3
On considère une donnée numérique qui a évolué d'une valeur

V_D

en une valeur

V_A

La
variation absolue
vaut alors
$\Delta V$

$=$

$V_A-V_D$ .
La
variation relative
, ou
taux d'évolution,
vaut
$t$

$=$

$\dfrac{V_A-V_D}{V_D}$ .

Remark 3 Si une quantité

augmente

ces variations sont

positives,

et si elle

diminue

elles sont

négatives.

Exemple 5 La population d'un village est passée de

813

651

habitants en

10

ans.
Déterminer le taux de diminution sur la période.

Correction

Le taux cherché vaut

\dfrac{V_A-V_D}{V_D}

=

\dfrac{651-813}{813}

=

\dfrac{-162}{813}

\approx

-0,199

soit une baisse de

19,9

Property 3
Soit

t

le taux d'évolution qui permet à une quantité de passer d'une valeur

V_D

non nulle à une valeur

V_A

. On a alors :

V_A

=

(1+t)V_D.

Preuve
Par définition de

t

on a :

$t$	$=$	$\dfrac{V_A-V_D}{V_D}$
$t$	$=$	$\dfrac{V_A}{V_D}-\dfrac{V_D}{V_D}$
$t$	$=$	$\dfrac{V_A}{V_D}-1$
$t+1$	$=$	$\dfrac{V_A}{V_D}$
$(t+1) \textcolor{red}{\times V_D}$	$=$	$\dfrac{V_A}{V_D}\textcolor{red}{\times V_D}$
$(t+1) \times V_D$	$=$	$V_A$ .

Remark 4 Ce nombre

1+t

est appelé

coefficient multiplicateur

. On peut le noter

CM

et on a alors les formules suivantes :

CM

=

1+t

CM

=

\dfrac{V_A}{V_D}

V_A

=

V_D\times CM

V_D

=

\dfrac{V_A}{CM}

t

=

CM-1

0,0

V_D

V_A

\times CM

\times \dfrac{1}{CM}

Property 4
Soit une quantité évoluant d'une valeur

V_D

à une valeur

V_A

CM

le coefficient multiplicateur associé.
Le coefficient multiplicateur

CM_R

associée à l'évolution

réciproque

d'une quantité qui évolue de

V_A

V_D

vaut :

CM_R

=

\dfrac{1}{CM}

Le taux d'évolution

réciproque

associé vaut :

t_R

=

CM_R-1

Exemple 6 Compléter le tableau de correspondance entre taux d'évolution et coefficients multiplicateurs suivant :

Taux d'évolution	$CM$
$+25$ %	$1,25$
$+8$ %	$1,08$
$+7,5$ %	$1,075$
$-35$ %	$0,65$
$-6$ %	$0,94$
$-4,3$ %	$0,957$
$+4$ %	1,04
$+13$ %	1,13
$+6,4$ %	1,064
$-20$ %	0,80
$-1$ %	0,99
$-26,6$ %	0,734

Remark 5

Si le taux d'évolution est
positif
alors le $CM$ associé vérifie
$CM \geq 1$ .
Si le taux d'évolution est
négatif
alors le $CM$ associé vérifie
$0\leq CM \leq 1$ .

Exercice 1 Une quantité qui baisse deux fois à la suite de

30

% a-t-elle globalement diminué de

60

% ?

Correction

Imaginons par exemple que cette quantité valait initialement

100

Puisqu'à une diminution de

30

% correspond un coefficient multiplicateur de

0,70

après la première diminution la quantité vaut :

100\times 0,70

=

70

Après la deuxième baisse de

30

elle vaut :

70\times 0,70

=

49

Si elle avait baissé de

60

%, elle aurait une valeur finale de :

100\times

0,40

=

40

Donc, non la quantité n'a pas globalement diminué de

60

mais de

51

Property 5
Soit une quantité qui subit

deux

évolutions. Une première évolution où elle passe d'une valeur

V_1

à une valeur

V_2

puis une deuxième où elle passe de

V_2

à une valeur

V_3

On note

CM_1

CM_2

les deux coefficients

multiplicateurs

associés à ces évolutions.
Le coefficient multiplicateur

global

de l'évolution de

V_1

V_3

vaut alors :

CM_g

=

CM_1\times CM_2

Le taux d'évolution

global

vaut :

t_g

=

CM_g-1

Exemple 7 Le prix d'achat d'une voiture achetée neuve diminue lors de sa première année de

25

%, puis de

15

% la deuxième année.
De combien sa valeur aura-t-elle diminuée après ces deux premières années ?

Correction

Le coefficient

multiplicateur

associé à la première diminution vaut :

1-0,25

=

0,75

Le coefficient

multiplicateur

associé à la deuxième diminution vaut :

1-0,15

=

0,85

Le coefficient multiplicateur

global

vaut donc :

CM_g

=

0,75\times0,75

=

0,637\,5

Ce nombre correspond à un taux d'évolution

global

0,637\,5-1

=

-0,362\,5

soit une baisse de

36,25

Remark 6 On peut généraliser cette propriété à un nombre

quelconque d'évolutions.

3Tendances centrales et dispersion sur les séries statistiques Soit

p

un entier naturel non nul.
On considère dans ce paragraphe une série statistique

X

comportant un nombre fini

p

de valeurs

x_1

x_2

\dots

x_p

pour lesquels les effectifs correspondants sont notés

n_1

n_2

\dots

n_p

L'effectif total de cette série est noté

N

et vaut :

N = n_1+n_2+\cdots+n_p

On peut représenter cette série à l'aide du tableau ci-dessous :

Valeurs	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_p$
Effectifs	$n_1$	$n_2$	$\dots$	$n_p$

3.1Moyenne et écart-type Property 6
Soit

m

un entier naturel non nul.
Soit une série statistique composée de

m

valeurs

y_1

y_2

\dots

y_m

dont on note

\overline{y}

la moyenne.
Soient

a

b

deux nombres réels.
La série statistique composée des valeurs

ay_1+b

ay_2+b

\dots

ay_m+b

a pour moyenne

a\overline{y}+b

Exemple 8 Voici les notes obtenues par un groupe d'élèves à une évaluation notée sur

10

points :

8

;

3

;

6

;

5

;

4

.
La note moyenne est de

m=

5,2

La propriété précédente nous dit que si on convertit les notes sur

20

, il n'est pas nécessaire de calculer la nouvelle moyenne à partir des notes sur

20

mais simplement de

multiplier par

2

la moyenne

m

. On obtient alors

M=

10,4

Si on décide d'ajouter un point à toutes les notes sur

20

, là aussi il n'est pas nécessaire de refaire un calcul de moyenne mais de simplement

ajouter

un point à

M

pour obtenir la moyenne finale. Definition 4
La

moyenne pondérée

de la série statistique

X

, notée

\overline{x}

est définie par :

\overline{x}

=

\dfrac{n_1\times x_1+ n_2\times x_2 + \cdots+n_p \times x_p}{N}.

Exercice 2 Voici les notes obtenues à une évaluation sur 5 par une certaine classe de 2nde.

Notes	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectifs	$6$	$6$	$2$	$4$	$4$	$6$

Combien compte-t-on d'élèves dans cette classe ?
Déterminer à l'aide de votre calculatrice la moyenne de ces notes.

Correction

En effectuant la
somme
des effectifs on obtient
$28$
élèves dans cette classe.
À l'aide du menu
statistiques
de la calculatrice, on saisit la série et on obtient que la moyenne des notes est d'environ
$2,43$
sur $5$ .

Definition 5

L'écart-type

\sigma

de la série statistique

X

, dont la moyenne est notée

\overline{x}

est défini par :

\sigma

=

\sqrt{\dfrac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+\cdots+n_p(x_p-\overline{x})^2}{N}}.

Exemple 9 Concernant la série statistique des notes de l'exercice précédent, la calculatrice nous donne un écart-type de

1,88

On peut l'interpréter en disant,

qu'en moyenne,

les élèves ont une note qui est à

\pm 1,88

points de la note moyenne

2,43

Remark 7 L'écart-type d'une série statistique est une mesure de dispersion autour de la moyenne. Il donne une certaine information sur l'écart moyen par rapport à la moyenne. 3.2Médiane et écart interquartile Definition 6
On range les éléments de la série statistique

X

par ordre

croissant

.
On appelle

médiane

toute valeur qui

sépare

la série statistique en deux sous-séries de

même effectif.

Exemple 10 En considérant à nouveau la série statistique de l'exercice précédent, la calculatrice nous donne une médiane de

2,5

Ce que l'on peut interpréter en disant que

la moitié des élèves ont eu moins de

2,5

et l'autre moitié plus.

Definition 7
On considère une série statistique finie.

Le premier
quartile,
noté
$Q_1$ ,
est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins
$25$ %
des valeurs soient
inférieures
ou égales à
$Q_1$ .
Le
troisième quartile,
noté
$Q_3$ ,
est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins
$75$ %
des valeurs soient
inférieures
ou égales à
$Q_3$ .

Exemple 11 Toujours dans la série statistique des notes sur 5, la calculatrice nous donne

Q_1=

1

Ce qui peut être interpréter en disant qu'au moins

25

des élèves ont eu une note

inférieure

ou égale à

1

.
On obtient que

Q_3=

4

ce qui nous dit qu'au moins

75

des élèves ont eu une note

inférieure

ou égale à

4

. Definition 8
Soit une série statistique dont on note

Q_1

Q_3

le premier et troisième

quartile.

L'écart interquartile
est la différence
$Q_3-Q_1$ .
L'intervalle interquartile,
noté
$[Q_1\,;\, Q_3]$
est l'ensemble des nombres réels
compris entre $Q_1$ et $Q_3$ inclus.

Remark 8 Nous reviendrons sur la notion d'intervalle dans le chapitre n°6. Exemple 12 Toujours dans la série statistique précédente, l'écart interquartile vaut

Q_3-Q_1

=

4-1

=

3

L'intervalle interquartile est

[1\,;\,4]

Property 7
Au moins

50

des valeurs d'une série statistique finie sont comprises dans son

intervalle interquartile.

Exemple 13 Dans la série statistique précédente

16

élèves ont eu une note comprise entre

1

4

, soit une proportion de

\dfrac{16}{28}

=

\dfrac{4}{7}

\approx

0,571

c'est-à-dire à peu près

57,1

Ainsi, on a bien qu'au moins

50

des élèves ont eu une note comprise dans l'intervalle

interquartile

[1\,;\,4]

Remark 9 L'écart interquartile est une mesure de

dispersion

autour de la médiane d'une série statistique. Il donne la longueur de l'intervalle interquartile qui regroupe au moins

50

% de la population de la série autour de sa médiane. Definition 9
Un diagramme

en boîte,

appelé aussi

boîte à moustaches,

permet de représenter les cinq paramètres suivant d'une série statistique :

le minimum,

le premier quartile,

la médiane,

le troisième quartile

et le maximum.

Il est constitué d'un axe des abscisses qui permet de placer précisément les paramètres précédents.
On construit au-dessus de celui-ci un rectangle dont les bords verticaux sont aux abscisses

Q_1

Q_3

. À partir des milieux des côtés verticaux de ce rectangle on trace deux segments horizontaux, l'un vers la valeur minimale de la série, l'autre vers sa valeur maximale. On termine en traçant un segment vertical au sein du rectangle à l'abscisse de la médiane. Exercice 3 On a recensé les salaires mensuels net d'une entreprise et on a pu en extraire les données suivantes :
salaire minimal

1\,340

€, premier quartile

1\,800

€, médiane

2\,100

€, troisième quartile

2\,700

€, salaire maximale

8\,500

€.
Construire le diagramme en boite de cette série.

0,0

Correction

0,0

4Quizz Exercice 4 Pour chacune des questions suivantes, une seule des propositions énoncées est correcte. Trouver la bonne réponse en justifiant votre choix.

Un coefficient multiplicateur de 1,54 correspond à :

une diminution de 1,54%
une augmentation de 0,54%
une diminution de 98,46%
une augmentation de 54%

Pour calculer une diminution de 7,1% il faut ;

multiplier par $\dfrac{7,1}{100}$
diviser par 7,1
multiplier par 0,929
soustraire 0,071

Le prix TTC d'un ordinateur est de 699€. Sachant que la TVA est de

20

%, le prix hors taxe de l'ordinateur est :

679 €
559,20 €
582,5 €
838,80 €

Le nombre annuel de naissances dans un village est passé de 15 à 54. Ce nombre a augmenté de :

3,6 %
39 %
260 %
360 %

Pam a eu deux notes en mathématiques, toutes de même coefficient :

7,5

13,5

.
L'écart-type de ses notes est de :

$1$
$3$
$6$
$7,5$

Des amis comparent leur pointure de pied :

35

36

36

39

42

43

44

49

.
Le premier quartile de cette série vaut :

$36$
$38$
$39$
$40,5$