Statistiques (1)
Statistiques descriptives
Définition n°1
Le cardinal d'un ensemble fini $E$ désigne le nombre d'éléments de $E$.
Définition n°2
Soit $E$ un ensemble non vide dont on note $n_E$ le cardinal.
Soit $A$ une partie de l'ensemble $E$ dont on note $n_A$ le cardinal.
La proportion $p$ de $A$ dans $E$ est le nombre réel défini par $p$ $=$ $\dfrac{n_A}{n_E}$.
$\text{Proportion} =$ $\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Tout} } $
$\text{Partie} =$ $\text{Tout} \times \text{Proportion}$
$\text{Tout} =$ $\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Proportion} } $
Propriété n°1
Une proportion $p$ d'une partie d'un ensemble vérifie : $0 \leq p \leq 1$.
Propriété n°2
Soient $A$ une partie d'un ensemble $E$ et $B$ une partie de $A$.
En notant $p_1$ la proportion de $A$ dans $E$ et $p_2$ la proportion de $B$ dans $A$ alors la proportion $p$ de $B$ dans $E$ vaut : $p$ $=$ $p_1\times p_2$.
Définition n°3
On considère une donnée numérique qui a évolué d'une valeur $V_D$ en une valeur $V_A$.
  • La variation absolue vaut alors $\Delta V$ $=$ $V_A-V_D$.
  • La variation relative, ou taux d'évolution, vaut $t$ $=$ $\dfrac{V_A-V_D}{V_D}$.
Propriété n°3
Soit $t$ le taux d'évolution qui permet à une quantité de passer d'une valeur $V_D$ non nulle à une valeur $V_A$. On a alors : $V_A$ $=$ $(1+t)V_D.$
$CM$ $=$ $1+t$
$CM$ $=$ $\dfrac{V_A}{V_D}$
$V_A$ $=$ $V_D\times CM$
$V_D$ $=$ $\dfrac{V_A}{CM}$
$t$ $=$ $CM-1$
Propriété n°4
Soit une quantité évoluant d'une valeur $V_D$ à une valeur $V_A$ et $CM$ le coefficient multiplicateur associé.
Le coefficient multiplicateur $CM_R$ associée à l'évolution réciproque d'une quantité qui évolue de $V_A$ à $V_D$ vaut : $CM_R$ $=$ $\dfrac{1}{CM}$.
Le taux d'évolution réciproque associé vaut : $t_R$ $=$ $CM_R-1$.
Propriété n°5
Soit une quantité qui subit deux évolutions. Une première évolution où elle passe d'une valeur $V_1$ à une valeur $V_2$, puis une deuxième où elle passe de $V_2$ à une valeur $V_3$.
On note $CM_1$ et $CM_2$ les deux coefficients multiplicateurs associés à ces évolutions.
Le coefficient multiplicateur global de l'évolution de $V_1$ à $V_3$ vaut alors : $CM_g$ $=$ $CM_1\times CM_2$. Le taux d'évolution global vaut : $t_g$ $=$ $CM_g-1$.
Propriété n°6
Soit $m$ un entier naturel non nul.
Soit une série statistique composée de $m$ valeurs $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_m$, dont on note $\overline{y}$ la moyenne.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
La série statistique composée des valeurs $ay_1+b$, $ay_2+b$, $\dots$, $ay_m+b$ a pour moyenne $a\overline{y}+b$.
Définition n°4
Valeurs $x_1$ $x_2$ $\dots$ $x_p$
Effectifs $n_1$ $n_2$ $\dots$ $n_p$
La moyenne pondérée de la série statistique $X$, notée $\overline{x}$, est définie par :
$\overline{x}$ $=$ $\dfrac{n_1\times x_1+ n_2\times x_2 + \cdots+n_p \times x_p}{N}.$
L'écart-type $\sigma$ de la série statistique $X$, dont la moyenne est notée $\overline{x}$, est défini par :
$\sigma$ $=$ $\sqrt{\dfrac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+\cdots+n_p(x_p-\overline{x})^2}{N}}.$
Définition n°5
On range les éléments de la série statistique $X$ par ordre croissant.
On appelle médiane toute valeur qui sépare la série statistique en deux sous-séries de même effectif.
Définition n°6
On considère une série statistique finie.
  • Le premier quartile, noté $Q_1$, est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25$ % des valeurs soient inférieures ou égales à $Q_1$.
  • Le troisième quartile, noté $Q_3$, est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $75$ % des valeurs soient inférieures ou égales à $Q_3$.
Définition n°7
Soit une série statistique dont on note $Q_1$ et $Q_3$ le premier et troisième quartile.
  • L'écart interquartile est la différence $Q_3-Q_1$.
  • L'intervalle interquartile, noté $[Q_1\,;\, Q_3]$ est l'ensemble des nombres réels compris entre $Q_1$ et $Q_3$ inclus.
Propriété n°7
Au moins $50$ % des valeurs d'une série statistique finie sont comprises dans son intervalle interquartile.
Définition n°8
Un diagramme en boîte, appelé aussi boîte à moustaches, permet de représenter les cinq paramètres suivant d'une série statistique :
le minimum, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le maximum.

Il est constitué d'un axe des abscisses qui permet de placer précisément les paramètres précédents.
On construit au-dessus de celui-ci un rectangle dont les bords verticaux sont aux abscisses $Q_1$ et $Q_3$. À partir des milieux des côtés verticaux de ce rectangle on trace deux segments horizontaux, l'un vers la valeur minimale de la série, l'autre vers sa valeur maximale. On termine en traçant un segment vertical au sein du rectangle à l'abscisse de la médiane.