Cours 2nde 09
Vecteurs
Définition n°1
Une translation est une transformation qui déplace les points le long d'une droite dans un sens et sur une distance donnés.
Si une translation est suivant une droite $(AB)$, dans le sens de $A$ vers $B$, sur la distance $AB$, on l'appelera translation qui transforme $A$ en $B$.
Dans la figure ci-dessous, la translation qui transforme $A$ en $B$, transforme aussi $C$ en $D$.
Propriété n°1
• L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
• L'image d'un segment par une translation est un segment de même longueur.
• L'image d'un secteur angulaire par une translation est un secteur angulaire de même mesure.
Propriété n°2
Les translations sont des isométries.
Les translations conservent donc les distances, les aires et les mesures des angles.
Définition n°2
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un objet mathématique défini par :
• la direction de la droite $(AB)$,
• le sens, sur cette droite, de $A$ vers $B$,
• la distance $AB$.
Il représente l'objet qui transforme tout point en son image dans la translation de $A$ vers $B$. On le représente graphiquement à l'aide d'un segment suivi d'une flèche en $B$.
Propriété n°3
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts.
La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ transforme le point $C$ en un unique point $D$ tel que le quadrilatère $ABDC$ est un parallèlogramme.
Définition n°3
Dire que deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN}$ sont égaux, signifie que la translation qui transforme $A$ en $B$, transforme aussi $M$ en $N$.
On note alors : $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{MN}$.
Propriété n°4
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
Définition n°4
Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est associé à la translation qui transforme tout point en lui-même.
Définition n°5
Soient $A$ et $B$ deux points du plan. Le vecteur oppposé à $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur associé à la translation qui transforme $B$ en $A$.
On le note $-\overrightarrow{AB}$ et on a alors : $-\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{BA}$.
Définition n°6
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan et $A$ et $B$ deux points tels que $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\vec{u}$.
La norme du vecteur $\vec{u}$, notée $||\vec{u}||$ est égale à la distance $AB$.
Définition n°7
La somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur associé à la translation résultat de l'enchaînement des translations de vecteur $\vec{u}$ et de vecteur $\vec{v}$.
On note ce vecteur : $\vec{u}+\vec{v}$.
Propriété n°5
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ :
• $\vec{u}+\vec{v}$ $=$ $\vec{v}+\vec{u}$.
• $\vec{u}+\vec{0}$ $=$ $\vec{0}+\vec{u}$ $=$ $\vec{u}$.
• $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ $=$ $\left(\vec{u}+\vec{v}\right)+\vec{w}$ $=$ $\vec{u}+\left(\vec{v}+\vec{w}\right)$.
Propriété n°63Relation de Chasles
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. On a alors : $\overrightarrow{AC}$ $=$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.