Cours 2nde 10
Étude de fonctions
Définition n°1
Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD de R\mathbb{R}, tel que pour tout xDx\in D, on a xD-x\in D.
• la fonction ff est dite paire, si pour tout xDx\in D : f(x)f(-x) == f(x)f(x).
• la fonction ff est dite impaire, si pour tout xDx\in D : f(x)f(-x) == f(x)-f(x).
Propriété n°1
Soit ff une fonction paire définie sur un ensembe DD de R\mathbb{R}. La courbe représentative de ff dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Propriété n°2
Soit ff une fonction impaire définie sur un ensembe DD de R\mathbb{R}. La courbe représentative de ff dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Définition n°2
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II de R\mathbb{R}.
La fonction ff est dite croissante sur II, si pour tous réels aa et bb, tels que aba \leq b, on a f(a)f(b)f(a) \leq f(b).
Définition n°3
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II de R\mathbb{R}.
La fonction ff est dite décroissante sur II, si pour tous réels aa et bb, tels que aba \leq b, on a f(a)f(b)f(a) \geq f(b).
Propriété n°3
Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble DD de R\mathbb{R}.
Pour déterminer les éventuels points d'intersection entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'équation :

f(x)=g(x).f(x) = g(x).
Si il existe une solution x0x_0, le point d'intersection à alors pour coordonnées (x0;f(x0))(x_0;f(x_0)).
Propriété n°4
Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble DD de R\mathbb{R}. On note Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g leur courbe représentative respective.
Pour déterminer la position relative des courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'inéquation :

f(x)g(x).f(x) \leq g(x).
  • Les solutions nous donnent les abscisses des points où Cg\mathcal{C}_g est au dessus de Cf\mathcal{C}_f.
  • Les nombres qui ne sont pas solutions nous donnent les abscisses des points où Cf\mathcal{C}_f est au dessus de Cg\mathcal{C}_g.
Définition n°4
La fonction carrée est la fonction qui, à tout réel xx, associe le réel x2x^2.
Courbe représentative de la fonction carrée
123−1−2−3123456
Propriété n°5
  • La fonction carrée est décroissante sur ];0]]-\infty;0].
  • La fonction carrée est croissante sur [0;+[[0;+\infty[.
Propriété n°6
Soit aa un nombre réel. L'équation x2=ax^2= a :
  • n'admet aucune solution si a<0a < 0.
  • admet une unique solution si a=0a=0 : x=0x=0.
  • admet deux solutions distinctes si a>0a >0 : x=ax=-\sqrt{a} et x=ax=\sqrt{a}.
Propriété n°7
Soit a0a\geq0.
  • Les solutions de l'inéquation : x2ax^2 \leq a sont tous les nombres x[a;a]x\in[-\sqrt{a};\sqrt{a}].
  • Les solutions de l'inéquation : x2ax^2 \geq a sont tous les nombres x];a][a;+[x\in\left]-\infty;-\sqrt{a}\right]\cup\left[\sqrt{a};+\infty\right[.
Définition n°5
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel xx positif, associe le réel x\sqrt{x}.
Courbe représentative de la fonction racine carrée
123456789−10.511.522.533.5−0.5
Propriété n°8
La fonction racine carrée est croissante sur [0;+[[0;+\infty[.
Définition n°6
La fonction cube est la fonction qui, à tout réel xx, associe le réel x3x^3.
Courbe représentative de la fonction cube
0.511.522.5−0.5−1−1.5−2−2.5246−2−4−6
Propriété n°9
La fonction cube est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine.
Propriété n°10
La fonction cube est croissante sur R\mathbb{R}.
Propriété n°11
Pour tout réel aa, l'équation x3=ax^3 = a admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de aa.
Propriété n°12
  • Pour tout x[0;1]x\in[0;1] :     x3x^3 \leq x2x^2 \leq xx \leq x\sqrt{x}.
  • Pour tout x[1;+[x\in[1;+\infty[ :     x\sqrt{x} \leq xx \leq x2x^2 \leq x3x^3.
Définition n°7
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel xx non nul, associe le réel 1x\dfrac{1}{x}.
Courbe représentative de la fonction inverse
0.511.522.5−0.5−1−1.5−2−2.5246−2−4−6
Propriété n°13
La fonction inverse est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine.
Propriété n°14
La fonction inverse est décroissante sur ];0[]-\infty;0[ et est décroissante sur ]0;+[]0;+\infty[.
Propriété n°15
Soit a>0a>0. Pour tout x]0;+[x\in]0;+\infty[ :
  • si 1xa\dfrac{1}{x}\leq a   alors   x1ax\geq\dfrac{1}{a}.
  • si 1xa\dfrac{1}{x}\geq a   alors   x1ax\leq\dfrac{1}{a}.