Tout cocher/décocher

Définition n°1
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$, tel que pour tout $x\in D$, on a $-x\in D$.

• la fonction $f$ est dite paire, si pour tout $x\in D$ : $f(-x)$ $=$ $f(x)$.
• la fonction $f$ est dite impaire, si pour tout $x\in D$ : $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

Propriété n°1
Soit $f$ une fonction paire définie sur un ensembe $D$ de $\mathbb{R}$. La courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Propriété n°2
Soit $f$ une fonction impaire définie sur un ensembe $D$ de $\mathbb{R}$. La courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Définition n°2
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est dite croissante sur $I$, si pour tous réels $a$ et $b$, tels que $a \leq b$, on a $f(a) \leq f(b)$.

Définition n°3
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est dite décroissante sur $I$, si pour tous réels $a$ et $b$, tels que $a \leq b$, on a $f(a) \geq f(b)$.

Propriété n°3
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$.
Pour déterminer les éventuels points d'intersection entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'équation :

$$f(x) = g(x).$$
Si il existe une solution $x_0$, le point d'intersection à alors pour coordonnées $(x_0;f(x_0))$.

Propriété n°4
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur courbe représentative respective.
Pour déterminer la position relative des courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'inéquation :

$$f(x) \leq g(x).$$

Les solutions nous donnent les abscisses des points où $\mathcal{C}_g$ est au dessus de $\mathcal{C}_f$.
Les nombres qui ne sont pas solutions nous donnent les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$.

Définition n°4
La fonction carrée est la fonction qui, à tout réel $x$, associe le réel $x^2$.

Courbe représentative de la fonction carrée

Propriété n°5

La fonction carrée est décroissante sur $]-\infty;0]$.
La fonction carrée est croissante sur $[0;+\infty[$.

Propriété n°6
Soit $a$ un nombre réel. L'équation $x^2= a$ :

n'admet aucune solution si $a < 0$.
admet une unique solution si $a=0$ : $x=0$.
admet deux solutions distinctes si $a >0 $ : $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$.

Propriété n°7
Soit $a\geq0$.

Les solutions de l'inéquation : $x^2 \leq a$ sont tous les nombres $x\in[-\sqrt{a};\sqrt{a}]$.
Les solutions de l'inéquation : $x^2 \geq a$ sont tous les nombres $x\in\left]-\infty;-\sqrt{a}\right]\cup\left[\sqrt{a};+\infty\right[$.

Définition n°5
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel $x$ positif, associe le réel $\sqrt{x}$.

Courbe représentative de la fonction racine carrée

Propriété n°8
La fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty[$.

Définition n°6
La fonction cube est la fonction qui, à tout réel $x$, associe le réel $x^3$.

Courbe représentative de la fonction cube

Propriété n°9
La fonction cube est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine.

Propriété n°10
La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$.

Propriété n°11
Pour tout réel $a$, l'équation $x^3 = a$ admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de $a$.

Propriété n°12

Pour tout $x\in[0;1]$ : $x^3$ $\leq$ $x^2$ $\leq$ $x$ $\leq$ $\sqrt{x}$.
Pour tout $x\in[1;+\infty[$ : $\sqrt{x}$ $\leq$ $x$ $\leq$ $x^2$ $\leq$ $x^3$.

Définition n°7
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel $x$ non nul, associe le réel $\dfrac{1}{x}$.

Courbe représentative de la fonction inverse

Propriété n°13
La fonction inverse est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine.

Propriété n°14
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ et est décroissante sur $]0;+\infty[$.

Propriété n°15
Soit $a>0$. Pour tout $x\in]0;+\infty[$ :

si $\dfrac{1}{x}\leq a$ alors $x\geq\dfrac{1}{a}$.
si $\dfrac{1}{x}\geq a$ alors $x\leq\dfrac{1}{a}$.