Cours 2nde 10
Étude de fonctions
Tout cocher/décocher
Définition n°1
Soit
f
f
f
une fonction définie sur un ensemble
D
D
D
de
R
\mathbb{R}
R
, tel que pour tout
x
∈
D
x\in D
x
∈
D
, on a
−
x
∈
D
-x\in D
−
x
∈
D
.
• la fonction
f
f
f
est dite paire, si pour tout
x
∈
D
x\in D
x
∈
D
:
f
(
−
x
)
f(-x)
f
(
−
x
)
=
=
=
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
.
• la fonction
f
f
f
est dite impaire, si pour tout
x
∈
D
x\in D
x
∈
D
:
f
(
−
x
)
f(-x)
f
(
−
x
)
=
=
=
−
f
(
x
)
-f(x)
−
f
(
x
)
.
Propriété n°1
Soit
f
f
f
une fonction paire définie sur un ensembe
D
D
D
de
R
\mathbb{R}
R
. La courbe représentative de
f
f
f
dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Propriété n°2
Soit
f
f
f
une fonction impaire définie sur un ensembe
D
D
D
de
R
\mathbb{R}
R
. La courbe représentative de
f
f
f
dans un repère orthogonal du plan est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Définition n°2
Soit
f
f
f
une fonction définie sur un intervalle
I
I
I
de
R
\mathbb{R}
R
.
La fonction
f
f
f
est dite croissante sur
I
I
I
, si pour tous réels
a
a
a
et
b
b
b
, tels que
a
≤
b
a \leq b
a
≤
b
, on a
f
(
a
)
≤
f
(
b
)
f(a) \leq f(b)
f
(
a
)
≤
f
(
b
)
.
Définition n°3
Soit
f
f
f
une fonction définie sur un intervalle
I
I
I
de
R
\mathbb{R}
R
.
La fonction
f
f
f
est dite décroissante sur
I
I
I
, si pour tous réels
a
a
a
et
b
b
b
, tels que
a
≤
b
a \leq b
a
≤
b
, on a
f
(
a
)
≥
f
(
b
)
f(a) \geq f(b)
f
(
a
)
≥
f
(
b
)
.
Propriété n°3
Soient
f
f
f
et
g
g
g
deux fonctions définies sur un ensemble
D
D
D
de
R
\mathbb{R}
R
.
Pour déterminer les éventuels points d'intersection entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'équation :
f
(
x
)
=
g
(
x
)
.
f(x) = g(x).
f
(
x
)
=
g
(
x
)
.
Si il existe une solution
x
0
x_0
x
0
, le point d'intersection à alors pour coordonnées
(
x
0
;
f
(
x
0
)
)
(x_0;f(x_0))
(
x
0
;
f
(
x
0
)
)
.
Propriété n°4
Soient
f
f
f
et
g
g
g
deux fonctions définies sur un ensemble
D
D
D
de
R
\mathbb{R}
R
. On note
C
f
\mathcal{C}_f
C
f
et
C
g
\mathcal{C}_g
C
g
leur courbe représentative respective.
Pour déterminer la position relative des courbes représentatives de ces deux fonctions, on résoud l'inéquation :
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
.
f(x) \leq g(x).
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
.
Les solutions nous donnent les abscisses des points où
C
g
\mathcal{C}_g
C
g
est au dessus de
C
f
\mathcal{C}_f
C
f
.
Les nombres qui ne sont pas solutions nous donnent les abscisses des points où
C
f
\mathcal{C}_f
C
f
est au dessus de
C
g
\mathcal{C}_g
C
g
.
Définition n°4
La fonction carrée est la fonction qui, à tout réel
x
x
x
, associe le réel
x
2
x^2
x
2
.
Courbe représentative de la fonction carrée
1
2
3
−1
−2
−3
1
2
3
4
5
6
0,0
Propriété n°5
La fonction carrée est décroissante sur
]
−
∞
;
0
]
]-\infty;0]
]
−
∞
;
0
]
.
La fonction carrée est croissante sur
[
0
;
+
∞
[
[0;+\infty[
[
0
;
+
∞
[
.
Propriété n°6
Soit
a
a
a
un nombre réel. L'équation
x
2
=
a
x^2= a
x
2
=
a
:
n'admet aucune solution si
a
<
0
a < 0
a
<
0
.
admet une unique solution si
a
=
0
a=0
a
=
0
:
x
=
0
x=0
x
=
0
.
admet deux solutions distinctes si
a
>
0
a >0
a
>
0
:
x
=
−
a
x=-\sqrt{a}
x
=
−
a
et
x
=
a
x=\sqrt{a}
x
=
a
.
Propriété n°7
Soit
a
≥
0
a\geq0
a
≥
0
.
Les solutions de l'inéquation :
x
2
≤
a
x^2 \leq a
x
2
≤
a
sont tous les nombres
x
∈
[
−
a
;
a
]
x\in[-\sqrt{a};\sqrt{a}]
x
∈
[
−
a
;
a
]
.
Les solutions de l'inéquation :
x
2
≥
a
x^2 \geq a
x
2
≥
a
sont tous les nombres
x
∈
]
−
∞
;
−
a
]
∪
[
a
;
+
∞
[
x\in\left]-\infty;-\sqrt{a}\right]\cup\left[\sqrt{a};+\infty\right[
x
∈
]
−
∞
;
−
a
]
∪
[
a
;
+
∞
[
.
Définition n°5
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel
x
x
x
positif, associe le réel
x
\sqrt{x}
x
.
Courbe représentative de la fonction racine carrée
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−0.5
0,0
Propriété n°8
La fonction racine carrée est croissante sur
[
0
;
+
∞
[
[0;+\infty[
[
0
;
+
∞
[
.
Définition n°6
La fonction cube est la fonction qui, à tout réel
x
x
x
, associe le réel
x
3
x^3
x
3
.
Courbe représentative de la fonction cube
0.5
1
1.5
2
2.5
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
2
4
6
−2
−4
−6
0,0
Propriété n°9
La fonction cube est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine.
Propriété n°10
La fonction cube est croissante sur
R
\mathbb{R}
R
.
Propriété n°11
Pour tout réel
a
a
a
, l'équation
x
3
=
a
x^3 = a
x
3
=
a
admet exactement une solution, que l'on appelle racine cubique de
a
a
a
.
Propriété n°12
Pour tout
x
∈
[
0
;
1
]
x\in[0;1]
x
∈
[
0
;
1
]
:
x
3
x^3
x
3
≤
\leq
≤
x
2
x^2
x
2
≤
\leq
≤
x
x
x
≤
\leq
≤
x
\sqrt{x}
x
.
Pour tout
x
∈
[
1
;
+
∞
[
x\in[1;+\infty[
x
∈
[
1
;
+
∞
[
:
x
\sqrt{x}
x
≤
\leq
≤
x
x
x
≤
\leq
≤
x
2
x^2
x
2
≤
\leq
≤
x
3
x^3
x
3
.
Définition n°7
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel
x
x
x
non nul, associe le réel
1
x
\dfrac{1}{x}
x
1
.
Courbe représentative de la fonction inverse
0.5
1
1.5
2
2.5
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
2
4
6
−2
−4
−6
0,0
Propriété n°13
La fonction inverse est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l'origine.
Propriété n°14
La fonction inverse est décroissante sur
]
−
∞
;
0
[
]-\infty;0[
]
−
∞
;
0
[
et est décroissante sur
]
0
;
+
∞
[
]0;+\infty[
]
0
;
+
∞
[
.
Propriété n°15
Soit
a
>
0
a>0
a
>
0
. Pour tout
x
∈
]
0
;
+
∞
[
x\in]0;+\infty[
x
∈
]
0
;
+
∞
[
:
si
1
x
≤
a
\dfrac{1}{x}\leq a
x
1
≤
a
alors
x
≥
1
a
x\geq\dfrac{1}{a}
x
≥
a
1
.
si
1
x
≥
a
\dfrac{1}{x}\geq a
x
1
≥
a
alors
x
≤
1
a
x\leq\dfrac{1}{a}
x
≤
a
1
.
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