Cours 2nde 10
Probabilités
Définition n°1
Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle on peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles mais on ne peut prévoir le résultat à l'avance avec certitude car le hasard intervient.
Définition n°2
Dans une expérience aléatoire, l'ensemble des issues possibles est appelé univers et est généralement noté Ω\Omega.
Définition n°3
Un événement est une partie de l'univers.
Définition n°4
On appelle cardinal de l'univers le nombre d'éléments que contient l'univers. On le note card(Ω)\text{card}(\Omega).
Définition n°5
Dans une expérience aléatoire, on appelle événément élémentaire un événement ne possédant qu'un seul élément.
Définition n°6
On dit que l'on définit une loi de probabilité pp sur l'univers Ω\Omega lorsque l'on associe à chaque issue xix_i un nombre réel compris entre 00 et 11 noté pip_ipip_i est appelé la probabilité de l'issue xix_i. La somme des probabilités de toutes les issues devant être égale à 11. Ainsi, on a :

pi=\sum p_i= 11 et, pour tout i i, 0pi1.0\leq p_i\leq 1.
Définition n°7
La probabilité d'un événement AA notée P(A)P(A) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
Propriété n°1
Soit AA un événement d'une expérience aléatoire. Si on peut dénombrer les issues de cette expérience, et que la loi de probabilité est équiprobabe, alors nous avons la formule suivante :

P(A)P(A) == Nombre de cas favorablesNombre de cas possibles\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}.
Propriété n°2
Soit PP une loi de probabilité sur un univers Ω\Omega.
  • Aucun événément ne réalise l'événement impossible \emptyset, donc P()=P(\emptyset) = 00.
  • L'événement certain est réalisé par tous les événements élémentaires de Ω\Omega, donc P(Ω)=P(\Omega) = 1.1.
  • Pour tout événement AA de Ω\Omega, on a : 0P(A)10 \leq P(A) \leq 1.
Définition n°8
L'intersection de deux événements AA et BB notée ABA\cap B est l'événement constitué des issues qui sont à la fois favorables à AA et BB.
Définition n°9
La réunion de deux événements AA et BB notée ABA\cup B est l'événement constitué des issues qui sont favorables à l'un au moins des deux événements.
ABA\cup B
A
B
ABA\cap B
A
B
Définition n°10
Deux événéments AA et BB sont dits incompatibles (ou disjoints), si ABA\cap B == \emptyset.
AB=A\cap B = \emptyset
A
B
Propriété n°3 -- Probabilité de la réunion
P(AB)P(A\cup B) == P(A)+P(B)P(AB).P(A)+P(B) - P(A\cap B).
Définition n°11
L'événement contraire (ou complémentaire) d'un événement AA est l'événement constitué de toutes les issues qui ne sont pas favorables à AA.
On le note A\overline{A}.
Événemenst contraires
A
A
Propriété n°4
Pour tout événement AA d'un univers probabilisé Ω\Omega, on a :
  • AA=A\cup \overline{A} = Ω\Omega,
  • AA=A \cap \overline{A} = \emptyset.
  • P(A)=P(\overline{A}) = 1P(A)1 - P(A).