Tout cocher/décocher

Définition n°1
Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle on peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles mais on ne peut prévoir le résultat à l'avance avec certitude car le hasard intervient.

Définition n°2
Dans une expérience aléatoire, l'ensemble des issues possibles est appelé univers et est généralement noté $\Omega$.

Définition n°3
Un événement est une partie de l'univers.

Définition n°4
On appelle cardinal de l'univers le nombre d'éléments que contient l'univers. On le note $\text{card}(\Omega)$.

Définition n°5
Dans une expérience aléatoire, on appelle événément élémentaire un événement ne possédant qu'un seul élément.

Définition n°6
On dit que l'on définit une loi de probabilité $p$ sur l'univers $\Omega$ lorsque l'on associe à chaque issue $x_i$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$ noté $p_i$ où $p_i$ est appelé la probabilité de l'issue $x_i$. La somme des probabilités de toutes les issues devant être égale à $1$. Ainsi, on a :

$\sum p_i=$ $1$ et, pour tout $ i$, $0\leq p_i\leq 1.$

Définition n°7
La probabilité d'un événement $A$ notée $P(A)$ est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Propriété n°1
Soit $A$ un événement d'une expérience aléatoire. Si on peut dénombrer les issues de cette expérience, et que la loi de probabilité est équiprobabe, alors nous avons la formule suivante :

$P(A)$ $=$ $\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$.

Propriété n°2
Soit $P$ une loi de probabilité sur un univers $\Omega$.

Aucun événément ne réalise l'événement impossible $\emptyset$, donc $P(\emptyset) =$ $0$.
L'événement certain est réalisé par tous les événements élémentaires de $\Omega$, donc $P(\Omega) =$ $1.$
Pour tout événement $A$ de $\Omega$, on a : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Définition n°8
L'intersection de deux événements $A$ et $B$ notée $A\cap B$ est l'événement constitué des issues qui sont à la fois favorables à $A$ et $B$.

Définition n°9
La réunion de deux événements $A$ et $B$ notée $A\cup B$ est l'événement constitué des issues qui sont favorables à l'un au moins des deux événements.

$A\cup B$

$A\cap B$

Définition n°10
Deux événéments $A$ et $B$ sont dits incompatibles (ou disjoints), si $A\cap B$ $=$ $\emptyset$.

$A\cap B = \emptyset$

Propriété n°3 -- Probabilité de la réunion
$P(A\cup B)$ $=$ $P(A)+P(B) - P(A\cap B).$

Définition n°11
L'événement contraire (ou complémentaire) d'un événement $A$ est l'événement constitué de toutes les issues qui ne sont pas favorables à $A$.
On le note $\overline{A}$.

Événemenst contraires

Propriété n°4
Pour tout événement $A$ d'un univers probabilisé $\Omega$, on a :

$A\cup \overline{A} =$ $\Omega$,
$A \cap \overline{A} =$ $\emptyset$.
$P(\overline{A}) =$ $1 - P(A)$.