Tout cocher/décocher

Définition n°1
Dans un repère du plan, dont l'origine est noté $O$, les coordonnées d'un vecteur $\vec{u}$ sont les coordonnées du point $M$ tel que : $\vec{u}$ $=$ $\overrightarrow{OM}$.

Propriété n°1
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si, dans un repère donné, ils ont les mêmes coordonnées.

Propriété n°2
Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels.
Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont égaux si, et seulement si, $x$ $=$ $x'$ et $y$ $=$ $y'$.

Propriété n°3
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points d'un repère du plan.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
$$\overrightarrow{AB} = \left( x_B-x_A ; y_B-y_A \right).$$

Propriété n°4 -- Somme de vecteurs
Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels, et soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ les vecteurs de coordonnées respectives $(x;y)$ et $(x';y')$ d'un repère du plan.
On a alors que le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées : $(x+x';y+y')$.

Définition n°2
Soit $\lambda$ un nombre réel et $\vec{u}(a;b)$ un vecteur d'un repère du plan.
Le vecteur $\lambda\vec{u}$ est le vecteur de coordonnées $(\lambda\times a;\lambda\times b)$.

Propriété n°5
Soit $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ un vecteur non nul et $\lambda$ un nombre réel. On définit le point $C$ par la relation $\lambda\vec{u}$ $=$ $\overrightarrow{AC}$, on a alors :

Si $\lambda\in[0;1]$ alors $C\in[AB]$.
Si $\lambda\in]1;+\infty[$ alors $C\in[AB)$ et $C\notin[AB]$.
Si $\lambda\in]-\infty;0[$ alors $C\in[BA)$ et $C\notin[AB]$.

Propriété n°6

$\lambda\vec{u} = \vec{0}$ si et seulement si, $\lambda = 0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$.
On note $-\vec{u}$ le vecteur $(-1)\times\vec{u}$. On alors que : $-\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{BA}$.
$\lambda(\vec{u}+\vec{v})$ $=$ $\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$.
$(\lambda+\lambda')\vec{u}$ $=$ $\lambda\vec{u}+\lambda'\vec{u}$.
$(\lambda\times\lambda')\vec{u}$ $=$ $\lambda\left(\lambda'\vec{u}\right)$.

Définition n°3
Dire que deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, signifie qu'il existe un nombre réel non nul $\lambda$ tel que $\vec{v}$ $=$ $\lambda \vec{u}$.

Définition n°4
Soient deux vecteurs du plan $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$. On définit le déterminant de ces deux vecteurs, et on le note $\text{det}(\vec{u},\vec{v})$ par :

$$\text{det}(\vec{u},\vec{v}) = xy'-x'y.$$

Propriété n°7
Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ d'un repère du plan sont colinéaires, si et seulement si :

$$\text{det}(\vec{u},\vec{v}) = 0,$$ c'est-à-dire, si et seulement si : $$x\times y' - x'\times y = 0.$$

Propriété n°8
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Propriété n°9
Deux droites (non verticales) d’un repère du plan sont parallèles si, et seulement si leur équation possède le même coefficient directeur.