Cours 2nde 13
Vecteurs du plan (2)
Définition n°1
Dans un repère du plan, dont l'origine est noté OO, les coordonnées d'un vecteur u⃗\vec{u} sont les coordonnées du point MM tel que : u⃗\vec{u} == OM→\overrightarrow{OM}.
Propriété n°1
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si, dans un repère donné, ils ont les mêmes coordonnées.
Propriété n°2
Soient xx, yy, x′x' et y′y' quatre nombres réels.
Deux vecteurs u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') sont égaux si, et seulement si, xx == x′x' et yy == y′y'.
Propriété n°3
Soient A(xA;yA)A(x_A;y_A) et B(xB;yB)B(x_B;y_B) deux points d'un repère du plan.
Les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB} sont :
AB→=(xB−xA;yB−yA).\overrightarrow{AB} = \left( x_B-x_A ; y_B-y_A \right).
Propriété n°4 -- Somme de vecteurs
Soient xx, yy, x′x' et y′y' quatre nombres réels, et soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} les vecteurs de coordonnées respectives (x;y)(x;y) et (x′;y′)(x';y') d'un repère du plan.
On a alors que le vecteur u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v} a pour coordonnées : (x+x′;y+y′)(x+x';y+y').
Définition n°2
Soit λ\lambda un nombre réel et u⃗(a;b)\vec{u}(a;b) un vecteur d'un repère du plan.
Le vecteur λu⃗\lambda\vec{u} est le vecteur de coordonnées (λ×a;λ×b)(\lambda\times a;\lambda\times b).
Propriété n°5
Soit u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB} un vecteur non nul et λ\lambda un nombre réel. On définit le point CC par la relation λu⃗\lambda\vec{u} == AC→\overrightarrow{AC}, on a alors :
  • Si λ∈[0;1]\lambda\in[0;1] alors C∈[AB]C\in[AB].
  • Si λ∈]1;+∞[\lambda\in]1;+\infty[ alors C∈[AB)C\in[AB) et C∉[AB]C\notin[AB].
  • Si λ∈]−∞;0[\lambda\in]-\infty;0[ alors C∈[BA)C\in[BA) et C∉[AB]C\notin[AB].
Propriété n°6
  • λu⃗=0⃗\lambda\vec{u} = \vec{0} si et seulement si, λ=0\lambda = 0 ou u⃗=0⃗\vec{u}=\vec{0}.
  • On note −u⃗-\vec{u} le vecteur (−1)×u⃗(-1)\times\vec{u}. On alors que : −AB→-\overrightarrow{AB} == BA→\overrightarrow{BA}.
  • λ(u⃗+v⃗)\lambda(\vec{u}+\vec{v}) == λu⃗+λv⃗\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}.
  • (λ+λ′)u⃗(\lambda+\lambda')\vec{u} == λu⃗+λ′u⃗\lambda\vec{u}+\lambda'\vec{u}.
  • (λ×λ′)u⃗(\lambda\times\lambda')\vec{u} == λ(λ′u⃗)\lambda\left(\lambda'\vec{u}\right).
Définition n°3
Dire que deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires, signifie qu'il existe un nombre réel non nul λ\lambda tel que v⃗\vec{v} == λu⃗\lambda \vec{u}.
Définition n°4
Soient deux vecteurs du plan u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y'). On définit le déterminant de ces deux vecteurs, et on le note det(u⃗,v⃗)\text{det}(\vec{u},\vec{v}) par :

det(u⃗,v⃗)=xy′−x′y.\text{det}(\vec{u},\vec{v}) = xy'-x'y.
Propriété n°7
Deux vecteurs u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') d'un repère du plan sont colinéaires, si et seulement si :

det(u⃗,v⃗)=0,\text{det}(\vec{u},\vec{v}) = 0, c'est-à-dire, si et seulement si : x×y′−x′×y=0.x\times y' - x'\times y = 0.
Propriété n°8
Trois points AA, BB et CC sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Propriété n°9
Deux droites (non verticales) d’un repère du plan sont parallèles si, et seulement si leur équation possède le même coefficient directeur.