Vecteurs du plan (2) Tout objet géométrique peut être représenté dans un repère. Il en est de même pour les vecteurs et nous allons apprendre dans ce chapitre avec quelles formules cela se fait. Nous découvrirons alors des méthodes vectorielles qui permettront de simplifier les démonstrations. Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère du plan, dont l'origine est noté $O$, les coordonnées d'un vecteur $\vec{u}$ sont les coordonnées du point $M$ tel que : $\vec{u}$ $=$ $\overrightarrow{OM}$. Si un point $M$ est de coordonnées $(x;y)$, alors le vecteur $\vec{u}$ défini par $\vec{u}$ $=$ $\overrightarrow{OM}$ pourra se noter : $\vec{u}(x;y)$. Trouver les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tracés dans le repère ci-dessous :

Déplacer les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(-3;1)$ et le vecteur $\vec{v}$ $(5;3)$. Le vecteur nul $\vec{0}$ a pour coordonnées $(0;0)$.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si, dans un repère donné, ils ont les mêmes coordonnées. Cette propriété peut s'écrire également de la manière suivante :
Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels.
Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont égaux si, et seulement si, $x$ $=$ $x'$ et $y$ $=$ $y'$. Construire dans le repère ci-dessous deux représentants du vecteur de coordonnées $(3;-1)$.

À partir du repère ci-dessous, noter les coordonnées des points $A$ et $B$, puis du vecteur $\overrightarrow{AB}$. Que remarque-t-on ?

Déplacer les points $A$ et $B$

$A$	$B$	$\overrightarrow{AB}$
15	15	15

Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points d'un repère du plan.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
$\overrightarrow{AB}$ $=$ $\left(\right.$ $x_B-x_A$ $;$ $y_B-y_A$ $\left.\right).$ Trouver les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MN}$ avec $M(3;-1)$ et $N(-2;4)$. $\overrightarrow{MN}$ $=$ $($ $x_N-x_M$ $;$ $y_N-y_M$ $)$ $=$ $($ $-2-3$ $;$ $4-(-1)$ $)$ $=$ $(-5;5)$. -- Somme de vecteurs
Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels, et soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ les vecteurs de coordonnées respectives $(x;y)$ et $(x',y')$ d'un repère du plan.
On a alors que le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées : $(x+x';y+y')$. Preuve
On définit des points $A(x_A\,;y_A)$, $B(x_B\,;y_B)$ et $C(x_C\,;y_C)$ par $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{v}$.

On alors que : $\vec{u}$ $=$ $(x_B-x_A\,;y_B-y_A)$ et $\vec{v}$ $=$ $(x_C-x_B \,;y_C-y_B)$.

D'après la relation de Chasles on a :

$\vec{u}+\vec{v}$ $=$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $=$ $\overrightarrow{AC}$ $=$ $(x_C-x_A\,;y_C-y_A)$.

Ainsi on remarque que :

$x_{\vec{u}}+x_{\vec{v}}$ $=$ $x_B-x_A + x_C-x_B$ $=$ $-x_A+x_C$ $=$ $x_{\vec{u}+\vec{v}}$.

Et de même :

$y_{\vec{u}}+y_{\vec{v}}$ $=$ $y_B-y_A + y_C-y_B$ $=$ $-y_A+y_C$ $=$ $y_{\vec{u}+\vec{v}}$.

On peut donc affirmer que les coordoonées de la somme de deux vecteurs est bien la somme des coordonnées de ces vecteurs. Norme d'un vecteur
Soit $\vec{u}(x;y)$ un vecteur du plan. On a alors que : $||\vec{u}||$ $=$ $\sqrt{x^2+y^2}$. Preuve
Soit $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points tels que $\vec{u}$ $=$ $\overrightarrow{AB}$.
On sait que $x$ $=$ $x_B-x_A$ et $y$ $=$ $y_B-y_A$.
On a alors que $||\vec{u}||$ $=$ $AB$ $=$ $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ $=$ $\sqrt{x^2+y^2}$. La norme du vecteur $\vec{u}(3;-2)$ vaut $||\vec{u}||$ $=$ $\sqrt{3^2+(-2)^2}$ $=$ $\sqrt{13}$.

Multiplication d'un vecteur par un réel
Soit $\lambda$ un nombre réel et $\vec{u}(a;b)$ un vecteur d'un repère du plan.
Le vecteur $\lambda\vec{u}$ est le vecteur de coordonnées $(\lambda\times a;\lambda\times b)$. En reprenant le vecteur $\overrightarrow{MN}(-5;5)$ du dernier exercice, nous avons par exemple que $3\overrightarrow{MN}$ a pour coordonnées $(-15;15)$. Dans la figure ci-dessous on a $\overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AB}$. Déplacer le curseur et observer l'influence du coefficient λ en fonction de son appartenance aux intervalles $[1;+\infty[$, $[0;1]$ ou $]-\infty;0]$.

Soit $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ un vecteur non nul et $\lambda$ un nombre réel. On définit le point $C$ par la relation $\lambda\vec{u}$ $=$ $\overrightarrow{AC}$, on a alors :

• Si $\lambda\in[0;1]$ alors $C\in[AB]$.
• Si $\lambda\in]1;+\infty[$ alors $C\in[AB)$ et $C\notin[AB]$.
• Si $\lambda\in]-\infty;0[$ alors $C\in[BA)$ et $C\notin[AB]$.

• $\lambda\vec{u} = \vec{0}$ si et seulement si, $\lambda = 0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$.


• On note $-\vec{u}$ le vecteur $(-1)\times\vec{u}$. On alors que : $-\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{BA}$.


• $\lambda(\vec{u}+\vec{v})$ $=$ $\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$.


• $(\lambda+\lambda')\vec{u}$ $=$ $\lambda\vec{u}+\lambda'\vec{u}$.


• $(\lambda\times\lambda')\vec{u}$ $=$ $\lambda\left(\lambda'\vec{u}\right)$.

Vecteurs colinéaires
Dire que deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, signifie qu'il existe un nombre réel non nul $\lambda$ tel que $\vec{v}$ $=$ $\lambda \vec{u}$.

Déplacer les points $A$ et $B$
Soient deux vecteurs du plan $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$. On définit le déterminant de ces deux vecteurs, et on le note $\text{det}(\vec{u},\vec{v})$ par :

$\text{det}(\vec{u},\vec{v})$ $=$ $xy'-x'y$.
Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ d'un repère du plan sont colinéaires, si et seulement si :

$\text{det}(\vec{u},\vec{v})$ $=$ $0$, c'est-à-dire, si et seulement si : $x\times y' - x'\times y$ $=$ $0$. Preuve
Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$, et puisque $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u}$, il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec{v}$ ait pour coordonnées $(\lambda x;\lambda y)$.
Ainsi le tableau des coordonnées de ces vecteurs

$x$	$y$
$x'$	$y'$

est identique à

$x$	$y$
$\lambda x$	$\lambda y$

.
Nous remarquons que le dernier est un tableau de proportionalité, le premier l'est donc aussi et la règle du produit en croix nous donne bien que : $$xy'-x'y=0.$$ On peut également noter les coordonnées d'un vecteur en colonne plutôt qu'en ligne. On pourra écrire donc $\vec{u}\begin{pmatrix} x \ y\end{pmatrix}$ à la place de $\vec{u}(x;y)$.
On fera attention à ne pas confondre cette notation avec l'écriture d'une fraction.
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.