Cours 2nde 14
Équations de droites
Définition n°1
On appelle vecteur directeur d'une droite $d$ tout vecteur non nul $\vec{u}$ qui possède la même direction que la droite $d$.
Propriété n°1
Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l'ensemble des points $M(x;y)$ d'une droite vérifient une relation $ax+by+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sot des nombres réels.
Définition n°2
La relation $ax+by+c=0$ s'appelle équation cartésienne de la droite $d$.
Propriété n°2
Soit $d$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.
Le vecteur $(-b\,;\,a)$ est un vecteur directeur de $d$.
Propriété n°3
Soit $d$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$, avec $b\neq0$.
Il existe un unique nombre $m$ et un unique nombre $p$ tels que $y=mx+p$.
Définition n°3
L'écriture $y=mx+p$ s'appelle équation réduite de $d$.
Le nombre $m$ s'appelle coefficient directeur de $d$ et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Propriété n°4
  • Toute droite horizontale à une équation de la forme $y = d$ avec $d\in\mathbb{R}$.
  • Toute droite verticale à une équation de la forme $x = d$ avec $d\in\mathbb{R}$.
Propriété n°5
Soient $d$ et $d'$ deux droites d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'x+c'=0$.
  • Les droites $d$ et $d'$ sont paralléles si et seulement si $ab'-a'b=0$.
  • Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes si et seulement si $ab'-a'b\neq0$.
Propriété n°6
Soient $d$ et $d'$ deux droites sécantes d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$.
Les coordonnées $(x;y)$ du point d'intersection de $d$ et $d'$ sont solutions du système d'équations :
$$\left\{\begin{array}{rcl} ax+by+c & = & 0 \\ a'x+b'y+c' & = & 0 \end{array}\right.$$
Propriété n°7
Soient $d$ et $d'$ deux droites parallèles d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $ax+by+c'=0$.
Les droites $d$ et $d'$ sont strictement parallèles si et seulement si $c$ $\neq$ $c'$.
Propriété n°8
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.