Compléments Aires et volumes Aires de figures planes
Aire d'un triangle
bb
hh
 AA == b×h2\dfrac{b\times h}{2}
Aire d'un trapèze
BB
bb
hh
 A=A= (b+B)×h2\dfrac{(b+B)\times h}{2}
Aire d'un parallélogramme
hh
bb
 A=A= b×hb\times h
Aire d'un disque
O
rr
 A=A= πr2\pi r^2
Volume de solides de l'espace
Volume d'un parallélépipède rectangle (pavé droit)
aa
bb
cc
 V=V= a×b×ca\times b \times c
Volume d'un prisme
hh
BB
 V=V= AB×hA_B\times h

avec ABA_B l'aire de la base
Volume d'une pyramide
hh
BB
 V=V= 13AB×h\dfrac{1}{3}A_B \times h

avec ABA_B l'aire de la base et hh la hauteur associée
Volume d'un cylindre
hh
rr
 V=V= πr2h\pi r^2 h
Volume d'un cône
hh
rr
 V=V= 13πr2h\dfrac{1}{3}\pi r^2 h
Volume d'une boule
rr
 V=V= 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^3
Compléments sur les triangles Droites remarquables dans les triangles
Une médiane dans un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
A
B
C
C′C'

Dans un triangle les trois médianes sont toujours concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle.
A
B
C
C′C'
B′B'
A′A'
G

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants aux extrémités de ce segment.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
A
B
C

Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle circonscrit au triangle.
A
B
C
C′C'
B′B'
A′A'
OO
Quand le triangle a trois angles aigus le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle.
Une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
A
B
C
C1

Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
A
B
C
C1
A1
B1
H
Quand le triangle a trois angles aigus l'orthocentre est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.
La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet qui le partage en deux secteurs angulaires superposables.
A
B
C

La bissectrice d'un secteur angulaire repose sur l'axe de symétrie de ce secteur angulaire. La bissectrice repose sur l'axe de symétrie car celle-ci est une demi-droite et non toute une droite.
Tout point de la bissectrice d'un angle est à égale distance des côtés de cet angle.
M
M1
M2
MM1 = 0.9800128865132125
MM2 = 0.9800128865132128

Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle tangent aux trois côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle.
A
B
C
I
I1
I2
I3
Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle. Compléments sur la trigonométrie
Soit α\alpha la mesure d'un angle d'un triangle rectangle distinct de l'angle droit.
On note cos⁡2(α)\cos^2(\alpha) le nombre réel (cos⁡(α))2(\cos(\alpha))^2 et sin⁡2(α)\sin^2(\alpha) le nombre réel (sin⁡(α))2(\sin(\alpha))^2.
Soit α\alpha la mesure d'un angle d'un triangle rectangle distinct de l'angle droit.
On a alors : cos⁡2(α)+sin⁡2(α)\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha) == 1.1. Preuve
On considère le triangle rectangle ci-dessous :
AA
BB
CC
α
On a alors : cos⁡(α)\cos(\alpha) == ABBC\dfrac{AB}{BC} et sin⁡(α)\sin(\alpha) == ACBC\dfrac{AC}{BC}.

Ainsi :
cos⁡2(α)+sin⁡2(α)\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha) == (ABBC)2+(ACBC)2\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2+\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2
== AB2BC2+AC2BC2\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2}
== AB2+AC2BC2\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}
== BC2BC2\dfrac{BC^2}{BC^2} d'après le théorème de Pythagore
== 11.
Projeté orthogonal
Soit AA un point et dd une droite du plan.
Le projeté orthogonal de AA sur dd est l'unique point HH de dd tel que les droites (AH)(AH) et dd soient perpendiculaires.
dd
A
H

Le projeté orthogonal d'un point AA sur une droite dd est le point de dd le plus proche de AA. Preuve
On raisonne par l'absurde.
On suppose donc qu'il existe un point KK de dd qui est plus proche de AA que ne l'est le point HH.
dd
A
H
K
C'est-à-dire que l'on suppose que KAKA << HAHA.
La fonction carrée étant croissante sur [0;+∞[[0\,;\,+\infty[ on a : KA2<HA2KA^2 < HA^2.
Or, le triangle AKHAKH est rectangle en HH par définition du projeté orthogonal, ainsi on obtient :
KA2KA^2 << HA2HA^2
KH2+HA2KH^2+HA^2 << HA2HA^2
KH2KH^2 << HA2−HA2HA^2-HA^2
KH2KH^2 << 00.
Or, un carré est toujours positif, ainsi nous aboutissons à une contradiction, et nous pouvons affirmer que le projeté orthogonal d'un point sur une droite est bien le point de la droite le plus proche de ce point.