Compléments 1Aires et volumes 1.1Aires de figures planes
Aire d'un triangle
bb
hh
 AA ==
b×h2\dfrac{b\times h}{2}
Aire d'un trapèze
BB
bb
hh
 A=A=
(b+B)×h2\dfrac{(b+B)\times h}{2}
Aire d'un parallélogramme
hh
bb
 A=A=
b×hb\times h
Aire d'un disque
O
rr
 A=A=
πr2\pi r^2
1.2Volume de solides de l'espace
Volume d'un parallélépipède rectangle (pavé droit)
aa
bb
cc
 V=V=
a×b×ca\times b \times c
Volume d'un prisme
hh
BB
 V=V=
AB×hA_B\times h


avec ABA_B l'aire de
la base
Volume d'une pyramide
hh
BB
 V=V=
13AB×h\dfrac{1}{3}A_B \times h


avec ABA_B l'aire de la
base
et hh la
hauteur
associée
Volume d'un cylindre
hh
rr
 V=V=
πr2h\pi r^2 h
Volume d'un cône
hh
rr
 V=V=
13πr2h\dfrac{1}{3}\pi r^2 h
Volume d'une boule
rr
 V=V=
43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^3
2Compléments sur les triangles 2.1Droites remarquables dans les triangles Definition 1
Une
médiane
dans un triangle est une droite passant par
un sommet
et
par le milieu du côté opposé.
A
B
C
C′C'
Property 1
Dans un triangle les trois
médianes
sont toujours
concourantes.
Leur point d'intersection est appelé
centre de gravité du triangle.
A
B
C
C′C'
B′B'
A′A'
G
Definition 2
La
médiatrice
d'un segment est l'ensemble des points
équidistants
aux extrémités de ce segment. Property 2
La médiatrice d'un segment est la droite
perpendiculaire
à ce segment et passant par son
milieu.
A
B
C
Property 3
Les
médiatrices
des trois côtés d'un triangle sont
concourantes.
Leur point d'intersection est le
centre du cercle
passant par les trois sommets du triangle, c'est-à-dire le
centre du cercle circonscrit au triangle.
A
B
C
C′C'
B′B'
A′A'
OO
Remark 1 Quand le triangle a trois angles aigus le centre du cercle circonscrit est à
l'intérieur
du triangle, quand le triangle a un angle obtus le centre du cercle circonscrit est à
l'extérieur
du triangle. Definition 3
Une
hauteur
dans un triangle est une droite passant par un
sommet
et
perpendiculaire
au côté opposé.
A
B
C
C1
Property 4
Dans un triangle les trois
hauteurs
sont
concourantes.
Leur point d'intersection est appelé
orthocentre du triangle.
A
B
C
C1
A1
B1
H
Remark 2 Quand le triangle a trois angles aigus
l'orthocentre
est à
l'intérieur
du triangle, quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à
l'extérieur
du triangle. Definition 4
La
bissectrice
d'un secteur angulaire est la
demi-droite
issue du
sommet
qui le partage en deux secteurs angulaires
superposables.
A
B
C
Property 5
La
bissectrice
d'un secteur angulaire repose sur l'axe de
symétrie
de ce secteur angulaire. Remark 3 La bissectrice repose sur l'axe de symétrie car celle-ci est une demi-droite et non toute une droite. Property 6
Tout point de la
bissectrice
d'un angle est
à égale
distance des côtés de cet angle.
M
M1
M2
MM1 = 0.9800128865132125
MM2 = 0.9800128865132128
Property 7
Les
bissectrices
des trois angles d'un triangle sont
concourantes.
Leur point d'intersection est le
centre
du cercle
tangent
aux trois côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle
inscrit
dans le triangle.
A
B
C
I
I1
I2
I3
Remark 4 Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle. 2.2Compléments sur la trigonométrie Definition 5
Soit
α\alpha
la mesure d'un angle d'un triangle rectangle distinct de l'angle droit.
On note
cos⁡2(α)\cos^2(\alpha)
le nombre réel
(cos⁡(α))2(\cos(\alpha))^2
et
sin⁡2(α)\sin^2(\alpha)
le nombre réel
(sin⁡(α))2(\sin(\alpha))^2.
 Property 8
Soit
α\alpha
la mesure d'un angle d'un triangle rectangle distinct de l'angle droit.
On a alors :
cos⁡2(α)+sin⁡2(α)\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)
==
1.1.
 Preuve
On considère le triangle
rectangle
ci-dessous :
AA
BB
CC
α
On a alors : cos⁡(α)\cos(\alpha) ==
ABBC\dfrac{AB}{BC}
et sin⁡(α)\sin(\alpha) ==
ACBC\dfrac{AC}{BC}.


Ainsi :
cos⁡2(α)+sin⁡2(α)\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)
==
(ABBC)2+(ACBC)2\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2+\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2
==
AB2BC2+AC2BC2\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2}
==
AB2+AC2BC2\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}
==
BC2BC2\dfrac{BC^2}{BC^2}
d'après le théorème de Pythagore
==
11.
3Projeté orthogonal Definition 6
Soit AA un point et dd une droite du plan.
Le
projeté orthogonal
de AA sur dd est
l'unique point HH
de dd tel que les droites
(AH)(AH) et dd
soient
perpendiculaires.
dd
A
H
Property 9
Le
projeté orthogonal
d'un point AA sur une droite dd est le point de dd le plus
proche
de AA. Preuve
On raisonne par
l'absurde.

On suppose donc qu'il existe un point
KK
de dd qui est
plus proche
de AA que ne l'est le point HH.
dd
A
H
K
C'est-à-dire que l'on suppose que
KAKA
<<
HAHA.

La fonction carrée étant
croissant
e sur [0;+∞[[0\,;\,+\infty[ on a :
KA2<HA2KA^2 < HA^2.

Or, le triangle AKHAKH est
rectangle
en HH par définition du
projeté orthogonal,
ainsi on obtient :
KA2KA^2 << HA2HA^2
KH2+HA2KH^2+HA^2
<<
HA2HA^2
KH2KH^2
<<
HA2−HA2HA^2-HA^2
KH2KH^2
<<
00.
Or, un carré est toujours positif, ainsi nous aboutissons à une
contradiction,
et nous pouvons affirmer que le projeté orthogonal d'un point sur une droite est bien le point de la droite le plus
proche
de ce point.