2nde ∼ Devoir commun mai 2024
  1. Dans un univers probabilités, la probabilité de l'union de deux évènements $A$ et $B$ est donnée par :
    2. Dans un univers probabilités, la probabilité de l'union de deux évènements $A$ et $B$ est donnée par : $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$
  2. Donner les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction des coordonnées des points $A$ et $B$.
    3. $$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}.$$
  3. Donner la définition de la valeur absolue d'un nombre réel $x$..
    4. $|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x \leq 0 \\ \end{array} \right.$
  4. Donner le sens de variation de fonction racine carrée sur $[0\,;\,+\infty[$.
    5. La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
Partie A
On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée dans le repère ci-dessous.
On définit de plus la fonction affine $g$, pour tout réel $x$, par $g(x)=\dfrac{1}{2}x+4$.
Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont notées respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  1. Tracer dans le repère la courbe représentative de la fonction $g$.
    2. Pour pouvoir tracer la courbe représentative de la fonction affine $g$ il nous suffit d'avoir deux points puisque celle-ci est une droite.
    On calcule alors deux images par $g$ :
    $g(0)=\dfrac{1}{2}\times0+4$ $=$ $4$ et $g(4) = \dfrac{1}{2}\times4+4$ $=$ $2+4$ $=$ $6$.
    La droite représentant $g$ passe donc par les points $(0\,;\,4)$ et $(4\,;\,6)$.
  2. Déterminer graphiquement l'image de $-2$ et de $0$ par la fonction $f$.
    3. Graphiquement on a que l'image de $-2$ par $f$ est $0$ car la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses pour $x=-2$.
    L'image de $0$ est $-6$ car $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées en $y=-6$.
  3. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=-4$.
    4. On lit les abscisses des points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et la droite d'équation $y=-4$.
    On trouve alors que l'équation $f(x)=-4$ admet deux solutions dont les valeurs semble être : $x = -1$ et $x = 2$.
  4. Tout nombre de l'intervalle $[-3;4]$ est-il solution de l'inéquation $f(x) < 6$ ? La réponse sera argumentée à l'aide du graphique.
    5. On voit sur le graphique que $f(4)=6$. Ainsi, $f(x)$ n'est pas strictement inférieur à $6$ sur $[-3\,;4]$.
  5. Déterminer les coordonnées des points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    6. Graphiquement, nous voyons que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent aux points $(-2,5\,;\,2,7)$ et $(4\,;\, 6)$.
  6. Donner les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $[-3\,;\,4,5]$.
    7. On se base ici sur le graphique de la correction de la question précédente.

    Sur l'intervalle $[-3\,;\,-2.5]$ la courbe $\mathcal{f}_g$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
    Sur l'intervalle $[-2,5\,;\, 4]$ la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\mathcal{C}_f$.
    Sur l'intervalle $[4\,;\,4,5]$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
Partie B
On admet que pour tout nombre réel $x$, $f(x)=x^2-x-6$.
  1. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=(x-3)(x+2)$.
    2. Pour tout réel $x$ on a :
    $(x-3)(x+2)$ $=$ $x^2+2x-3x-6$
    $=$ $x^2-x-6$
    $=$ $f(x)$.
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=-\dfrac{25}{4}+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$.
    3. Pour tout réel $x$ on a :
    $-\dfrac{25}{4}+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$ $=$ $-\dfrac{25}{4}+x^2-2\times\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$
    $=$ $-\dfrac{25}{4}+x^2-x+\dfrac{1}{4}$
    $=$ $x^2-x-\dfrac{24}{4}$
    $=$ $x^2-x-6$
    $=$ $f(x)$.
  3. En choisissant l'écriture la plus adaptée pour $f$ :
    1. résoudre $f(x)=0$,
      2. On utilise pour cette question la forme factorisée de $f$.
      $f(x)$ $=$ $0$
      $(x-3)(x+2)$ $=$ $0$.
      Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. On a donc :
      $x-3$ $=$ $0$
      $x$ $=$ $3$
      		ou
      $x+2$ $=$ $0$
      $x$ $=$ $-2$.
      L'équation $f(x)=0$ admet donc deux solutions : $-2$ et $3$.
    2. résoudre $f(x)>0$,
      3. On utilise ici la forme factorisée de $f$ en dressant son tableau de signes.
      Nous avons vu à la question précédente pour quelles valeurs de $x$ chacun des facteurs de $f(x)$ s'annulaient, on peut donc directement construire le tableau de signes de $f$.
      $x$ $-\infty$ $-2$ $3$ $+\infty$ $x-3$ $-$ barre $+$ 0 $+$ $x+2$ $-$ 0 $+$ barre $+$ $f(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$
      Les solutions de l'équation sont donc tous les nombres de $]-\infty\,;-2[\cup]3\,;+\infty[$.
    3. déterminer la valeur minimale de $f(x)$.
      4. On utilise ici la forme canonique $f(x)=-\dfrac{25}{4}+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$.
      Un carré étant toujours positif la somme $f(x)=-\dfrac{25}{4}+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$. est minimale lorsque $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$ est nul, c'est-à-dire lorsque $x=\dfrac{1}{2}$.
      Ainsi la $f(x)$ est minimale pour $x=\dfrac{1}{2}$ et le son maximum vaut $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{25}{4}$.
1 Partie A Une auto-école souhaite analyser la relation entre le nombre de leçons de conduite suivies par ses élèves et leur réussite à l'examen du permis. Elle a collecté les données suivantes :
  1. Compléter le tableau ci-dessous représentant les effectifs des élèves de cette auto-école en fonction de la formule choisie et de leur réussite à l'examen de conduite.
    Nombre d'élèves ayant choisi la formule Eco Nombre d'élèves ayant choisi la formule Avantage Total
    Nombre d'élèves ayant échoué à l'examen
    Nombre d'élèves ayant réussi l'examen
    Total $500$
    2. Le nombre d'élèves ayant choisi la formule Eco est de : $500\times0,40 = 200$.
    Parmi ces $200$ élèves $50\%$ ont réussi l'examen, c'est-à-dire que ceux-ci sont au nombre de $200\times0,5 = 100$.
    Le nombre d'élèves ayant choisi la formule Avantage est de $500\times0,6=300$.
    Parmi ces $300$ élèves $80\%$ ont réussi l'examen, soit $300\times0,8=240$ élèves.
    On peut alors compléter le tableau, en effectuant des soustractions et des additions pour trouver les cases encore manquantes.
    Nombre d'élèves ayant choisi la formule Eco Nombre d'élèves ayant choisi la formule Avantage Total
    Nombre d'élèves ayant échoué à l'examen $100$ $60$ $160$
    Nombre d'élèves ayant réussi l'examen $100$ $240$ $340$
    Total $200$ $300$ $500$
  2. On interroge un élève au hasard de cette auto-école et on note $A$ et $S$ les évènements suivants :
    1. Déterminer la probabilité $P(A)$ que l'élève ait choisi la formule Avantage.
      2. $P(A)=\dfrac{300}{500}=0,6$.
    2. Définir par une phrase chacun des trois évènements $\overline{S}$, $A\cap S$ et $A\cup S$.
      3. $\overline{S}$ : « L'élève a échoué à l'examen ».
      $A\cap S$ : « L'élève a choisi la formule Avantage et a passé l'examen avec Succès ».
      $A\cup S$ : « L'élève a choisi la formule Avantage et/ou a passé l'examen avec Succès ».
    3. Déterminer $P(A\cap S)$ et en déduire $P(A\cup S)$.
      4. $P(A\cap S) = \dfrac{240}{500}$ $=$ $0,48$.

      $P(A\cup S) = P(A)+P(S)-P(A\cap S)$ $=$ $0,6+\dfrac{340}{500}-0,48=0,8$.
    4. On croise au hasard un élève de cet auto-école qui a échoué à l'examen. Quelle est la probabilité qu'il ait opté pour la formule Eco ?
      5. Il y a $160$ élèves qui ont échoué à l'examen et parmi eux $100$ ont choisi la formule Eco. La probabilité cherchée est donc :

      $\dfrac{100}{160} = \dfrac{5}{8} = 0,625$.
1 Partie B Dans le département où est située cette auto-école, $60 \%$ des élèves ont réussi l'examen de conduite en 2023. Dans l'auto-école considérée dans cet exercice, on admet que ce pourcentage est de $68 \%$.
Le directeur de cette auto-école veut savoir si cet écart peut être dû au hasard. C'est-à-dire qu'il suppose que la probabilité qu'un élève passe son examen avec succès avec une probabilité $0,6$. Il écrit un algorithme Python qui génère un échantillon de $500$ élèves et qui affiche le nombre d'entre eux qui obtiennent leur permis de conduire. from random import* nombrederecus = 0 for i in range(0,500): p = random() if p < ...: nombrederecus = nombrederecus+1 print(nombrederecus)
  1. Compléter la ligne n°5 de cet algorithme pour qu'il réponde aux exigences du directeur de l'auto-école.
    2. Le nombre $p$ étant généré aléatoirement dans l'intervalle $[0\,;\,1]$, la probabilité qu'il soit inférieur à $0,6$ est de justement $0,6$. from random import* nombrederecus = 0 for i in range(0,500): p = random() if p < 0.6: nombrederecus = nombrederecus+1 print(nombrederecus)
  2. On exécute $1\,000$ fois cet algorithme et on trouve $3$ cas où le résultat affiché est supérieur à $330$.
    1. Parmi ces $1\,000$ résultats, donner le pourcentage de ceux qui sont supérieurs à $330$.
      2. La fréquence cherchée est de $\dfrac{3}{1\,000}=0,003$ soit de $0,3\%$.
    2. Peut-on conclure que si le pourcentage d'élèves obtenant leur permis de conduire est supérieur à la moyenne départementale, cela peut être à cause de la fluctuation d'échantillonnage ?
      3. Si $330$ candidats réussissent l'examen parmi les $500$ alors le taux de réussite est de $\dfrac{330}{500}$ soit $66\%$.
      Si $68\%$ des candidats réussissent parmi les $500$ cela représente $500\times0,68=340$ personnes.
      L'algorithme nous prouve que si le taux de réussite à l'examen est de $60\,%$ alors il n'y a que très rarement un nombre de candidats qui réussissent supérieur à $330$. En effet, la simulation des $1\,000$ situations est un nombre assez élevé pour que la fluctuation d'échantillonnage soit faible.
      Ainsi, on peut supposer avec un risque d'erreur assez faible que le taux de réussite de cette auto-école est bien supérieur à celui de la moyenne départemental.
  1. Compléter le tableau de signes ci-dessous :
    $x$ $-\infty$ $\dots$ $\dfrac{4}{3}$ $+\infty$ $-7-2x$ barre barre $3x-4$ barre 0 $(-7-2x)(3x-4)$ barre barre
    2. On a : $-7-2x=0$ ssi $x=-\dfrac{7}{2}$.
    On peut alors compléter le tableau de signes.
    $x$ $-\infty$ $-\dfrac{7}{2}$ $\dfrac{4}{3}$ $+\infty$ $-7-2x$ $+$ 0 $-$ barre $-$ $3x-4$ $-$ barre $-$ 0 $+$ $(-7-2x)(3x-4)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$
  2. En déduire les solutions de l'inéquation : $(-7-2x)(3x-4)\geq0$.
    3. À partir du tableau de la question précédente on trouve que les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle : $$\left[-\dfrac{7}{2}\,;\,\dfrac{4}{3}\right].$$
On considère le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$.
Soient les points $A\left(3\,;\,0\right)$, $B\left(5\,;\,2\right)$, $C\left(-1\,;\,4\right)$ et $D\left(5\,;\,6\right)$. On nomme $I$ le milieu du segment $\left[AC\right]$.
  1. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère.
  2. Justifier que le point $I$ a pour coordonnées $(1\,;\,2)$.
    3. Puisque $I$ est le milieu de $[AC]$ on a :
    $x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ $=$ $\dfrac{3-1}{2}$ $=$ $1$,
    $y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ $=$ $\dfrac{0+4}{2}$ $=$ $2$.

    Les coordonnées de $I$ sont bien $(1\,;\,2)$.
  3. On considère le point $E$ tel que $\overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3} \overrightarrow{OA}$.
    1. Justifier, par le calcul, que $E$ a pour coordonnées $\left(-2\,;\,-1\right)$.
      2. $\overrightarrow{EO}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3} \overrightarrow{OA}$
      $\begin{pmatrix} x_O - x_E \\ y_O-y_E\end{pmatrix}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix} + \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} x_A - x_O \\ y_A-y_0\end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix} 0 - x_E \\ 0-y_E\end{pmatrix}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2-0\end{pmatrix} + \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 \\ 0-0\end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix} - x_E \\ -y_E\end{pmatrix}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix} + \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}3 \\ 0 \end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix} - x_E \\ -y_E\end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\times2 \\ \frac{1}{2}\times2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\times 3 \\ \frac{1}{3}\times0 \end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix} - x_E \\ -y_E\end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix} - x_E \\ -y_E\end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 1+1 \\ 1+0 \end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix} - x_E \\ -y_E\end{pmatrix}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

      Or, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. On a donc :
      $-x_E=2$ et donc $x_E=-2$,
      $-y_E=1$ c'est-à-dire $y_E=-1$.

      Les coordonnées de $E$ sont bien $(-2\,;\,-1)$.
    2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DI}$.
      3. $\overrightarrow{DE}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_E - x_D \\ y_E-y_D\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -2 - 5 \\ -1-6\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -7 \\ -7\end{pmatrix}$.

      $\overrightarrow{DI}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_I - x_D \ y_I-y_D\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 - 5 \ 2-6\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -4 \ -4\end{pmatrix}$.
    3. Montrer que les points $D$, $E$ et $I$ sont alignés.
      4. On calcule pour cela le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DI}$.
      $\text{det}(\overrightarrow{DE}\,\overrightarrow{DI})$ $=$ $\text{det}\left(\begin{pmatrix} -7 \ -7\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix} -4 \ -4\end{pmatrix} \right)$ $=$ $-7\times(-4)-(-7)\times(-4)$ $=$ $28-28$ $=$ $0$.
      Puisque ce déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DI}$ sont colinéaires et les points $D$, $E$ et $I$ sont alignés.
  4. Soit $P\left(x_P ; y_P\right)$ le point tel que $\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AB}$.
    1. Calculer les coordonnées du point $P$.
      2. $\overrightarrow{CP}$ $=$ $\overrightarrow{AB}$
      $\begin{pmatrix} x_P - x_C \\ y_P-y_C\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix} x_P - (-1) \\ y_P-4\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2-0\end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix} x_P +1 \\ y_P-4\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix}$

      Or deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées :
      $x_P+1=2$ ssi $x_P=1$,
      $y_P=-4=2$ ssi $y_P=6$.

      Ainsi le point $P$ a pour coordonnées $(1\,;\,6)$.
    2. Calculer la norme du vecteur $\overrightarrow{BC}$.
      3. La norme du vecteur $\overrightarrow{BC}$ est égale à la longueur $BC$, c'est-à-dire :

      $BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$ $=$ $\sqrt{(-6)^2+2^2}$ $=$ $\sqrt{40}$ $=$ $2\sqrt{10}$.
    3. Montrer que le quadrilatère $ACPB$ est un rectangle.
      4. Puisque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CP}$ on a que $ACPB$ est un parallélogramme.
      Par ailleurs dans le triangle $ABC$ on a :
      $BC^2=40$ (question précédente)
      $AB^2+AC^2=(2^2+2^2)+(-1-3)^2+(4-0)^2$ $=$ $40$.
      Ainsi, $AB^2+AC^2=BC^2$ et on peut affirmer à l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

      Le parallélogramme $ACPB$ possède donc un angle droit, c'est bien un rectangle.
  5. On considère le point $N\left(0;y_N\right)$ où $y_N \in \mathbb{R}$. Déterminer la valeur de $y_N$ telle que les droites $\left(AN\right)$ et $\left(BC\right)$ soient parallèles.
    6. Pour que les droites $\left(AN\right)$ et $\left(BC\right)$ soient parallèles il faut que le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{BC}$ soit nul.
    On a : $\overrightarrow{AN}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_N-x_A \\ y_N-y_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -3 \\ y_N\end{pmatrix}$.

    De plus : $\overrightarrow{BC}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_C-x_B \\ y_C-y_B\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -6 \\ 2\end{pmatrix}$.

    On a alors :
    $\text{det}(\overrightarrow{AN},\, \overrightarrow{BC})$ $=$ $0$
    $\text{det}\left(\begin{pmatrix} -3 \\ y_N\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} -6 \\ 2\end{pmatrix} \right)$ $=$ $0$
    $-3\times2-(-6)\times y_N$ $=$ $0$
    $-6+6y_N$ $=$ $0$
    $6y_N$ $=$ $6$
    $y_N$ $=$ $1$.

    Ainsi, pour que les droites $(AN)$ et $(BC)$ soient parallèles il faut que $y_N=1$.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions une seule des propositions est correcte et il vous faudra la déterminer. Une bonne réponse apporte un point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et une absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point. Si le total des points de l'exercice est négatif la note sera ramenée à 0.
  1. Pour tout entier naturel $n$, $\left(\sqrt{2}\right)^{2n}$ vaut :
    $\square$ $\sqrt{2}$

    $\square$ $2^n$

    $\square$ $\sqrt{2n}$

    $\square$ $4^n$ $\left(\sqrt{2}\right)^{2n} = \left(\sqrt{2}^{2}\right)^n$ $=$ $\left(2\right)^n$ $=$ $2^n$.
  2. Soient $x$ et $a$ deux nombres réels tels que $3x=2a$. On a alors que :
    $\square$ $x=2a-3$

    $\square$ $x=\dfrac{3}{2}a$

    $\square$ $x=\dfrac{2}{3}a$

    $\square$ $x=-a$
    3. $3x$ $=$ $2a$
    $\dfrac{3x}{3}$ $=$ $\dfrac{2a}{3}$
    $x$ $=$ $\dfrac{2}{3}a$.
  3. L'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 18$ est :
    $\square$ $\{ 16 \}$
    $\square$ $\{ -\sqrt{9}\,;\, \sqrt{9} \}$
    $\square$ $\{ 3\sqrt{2} \}$
    $\square$ $\{ -3\sqrt{2}\,;\, 3\sqrt{2} \}$
    4. D'après le cours l'ensemble des solutions de $x^2=18$ sont : $x=-\sqrt{18}$ et $x=\sqrt{18}$.
    Or, $\sqrt{18}$ $=$ $\sqrt{9\times2}$ $=$ $\sqrt{9}\times\sqrt{2}$ $=$ $3\sqrt{3}$.

    Les solutions de $x^2=18$ sont donc $\{ -3\sqrt{2}\,;\, 3\sqrt{2} \}$.
  4. Pour tout nombre $t > -4$ on a :
    $\square$ $t-4 >0$
    $\square$ $(t+4)(t+5)>0$
    $\square$ $(4+t)(t-3) \leq 0$
    $\square$ $t^2>0$
    5. La première proposition et la dernière sont fausses car si on remplace $t$ par $0$ (ce qui est possible puisque $t>-4$) on obtient des inégalités fausses.
    De plus, puisque $t>-4$ on a alors $t+4>0$.
    Il nous reste donc, pour savoir si c'est la deuxième ou la troisième proposition, à connaître le signe de $t+5$ et de $t-3$.
    Mais puisque $t>-4$ on a $t+5>-4+5$ c'est-à-dire $t+5>1$. Ainsi $t+5>0$ et $t+4>0$. D'après la règle des signes on a : $(t+4)(t+5)>0$.
    La bonne réponse est la deuxième proposition.

    Remarque : si on avait voulu connaître le signe de $t-3$ à partir de l'hypothèse $t>-4$, on aurait eu : $t-3>-4-3$, soit $t-3>-7$. Ainsi $t-3$ peut être autant négatif que positif, donc on ne peut pas déterminer son signe.
  5. Le nombre $\sqrt[3]{7}$ est solution de l'équation :
    $\square$ $2x^3=14$
    $\square$ $x^2=49$
    $\square$ $3x^2=7$
    $\square$ $x^3-14=0$
    6. D'après le cours nous savons que $\sqrt[3]{7}$ est solution de l'équation $x^3=7$.
    Cette équation n'étant pas dans la liste, on doit la transformer en une équation équivalente.
    On remarque qu'en multipliant par $2$ le membre de gauche et le membre de droite on obtient la première proposition :
    $x^3$ $=$ $7$
    $2x^3$ $=$ $2\times7$
    $2x^3$ $=$ $14$.
  6. L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 \leq 4$ est:
    $\square$ $[-2\,;\,2]$
    $\square$ $]-2\,;\,2[$
    $\square$ $[4\,;\,+\infty[$
    $\square$ $] -\infty \, ; -4] \cup[ +4 \, ; +\infty[$
    7. D'après le cours l'ensemble des solutions de $x^2 \leq 4$ sont tous les nombres de l'intervalle $[ -\sqrt{4} \, ; \, \sqrt{4} ]$ soit $[-2\,;\,2]$.
  7. Pour que la série de nombres $-1$, $0$, $10$, $13$, $26$, $99$, $1993$ ait une médiane égale à $26$ il faut :
    $\square$ remplacer $1993$ par $100$
    $\square$ remplacer $1993$ par $50$
    $\square$ remplacer $13$ par n'importe quel nombre inférieur à $200$
    $\square$ remplacer $13$ par n'importe quel nombre supérieur à $100$
    8. Puisque les valeurs de la série sont rangées par ordre croissant et qu'elle est composée de $7$ nombres, on sait que sa médiane correspond à son quatrième élément, soit $13$. Pour que cette médiane devienne égale à $26$ il faut donc que $26$ deviennent le quatrième nombre de la liste rangée par ordre croissant. Ainsi, $13$ doit être remplacé par un nombre supérieur à $26$.
    La seule proposition qui convient est la quatrième.
  8. Dans l'équation $|x+1|\leq 3$
    $\square$ le nombre $x=4$ est solution
    $\square$ tous les nombres $x\in[0\,;2[$ sont solutions
    $\square$ $x=2$ est l'unique solution
    $\square$ il n'y a aucune solution
    9. D'après le cours on a :
    $|x+1|$ $\leq$ $3$
    $-3$ $\leq$ $x+1$ $\leq$ $3$
    $-3-1$ $\leq$ $x+1-1$ $\leq$ $3-1$ en retirant $-1$ à chaque élément de l'encadrement
    $-4$ $\leq$ $x$ $\leq$ $2$.
    On voit donc que les solutions sont tous les nombres de l'intervalle $[-4\,;\,2]$ et on peut procéder par élimination sur les propositions de l'énoncé. On remarque que seule la deuxième est vraie, car si $x\in[0\,;\,2[$ alors on a bien que $x\in [-4\,;\,2]$.
  9. Pour tout nombre réel $a$ on a $(2a-3)(2a+3)$ qui est égale à
    $\square$ $4a^2-9$
    $\square$ $2a^2-9$
    $\square$ $4a^2-12a-9$
    $\square$ $4a^2+12a-9$
    10. On développe $(2a-3)(2a+3)$ à l'aide de la troisième identité remarquable :
    $(2a-3)(2a+3)$ $=$ $(2a)^2-3^2$ $=$ $4a^2-9$.
  10. Soient deux points $A$ et $B$ d'un repère du plan tels que $\overrightarrow{AB}(-50\,;\,10)$ et $B(15\,;-25)$.
    Les coordonnées du point $A$ :
    $\square$ sont toutes les deux positives
    $\square$ sont toutes les deux négatives
    $\square$ valent $(-35\,;\,35)$
    $\square$ valent $(65\,;\, -35)$
    11. On peut tester les deux dernières propositions avec la formule $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$.
    Troisième proposition : $x_B-x_A=15-(-35)=50$ $\neq$ $-50$. Ce n'est pas la bonne réponse.
    Quatrième proposition : $x_B-x_A=15-65=-50 = x_{\overrightarrow{AB}}$ et $y_B-y_A=-25-(-35)=10$ $=$ $y_{\overrightarrow{AB}}$.
    La bonne réponse est la quatrième.