Étude de fonctions Résoudre les équations suivantes.

1. $x^2 = 25$
2. $x^2=-1$
3. $x^3 = -8$
4. $\dfrac{1}{x} = 0,1$
5. $\sqrt{x} = 6$
6. $x^2 = 3$
7. $\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{8}$
8. $\sqrt{x} = -2$
9. $x^3 = -1$

Résoudre les inéquations suivantes.

1. $x^2 \leq 4$
2. $x^2 < 9$
3. $x^2 \leq -1$
4. $x^2 \geq 3$
5. Pour $x>0$,   $\:\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2}$
6. Pour $x>0$,   $\:\dfrac{1}{x} \geq 3$

Sans utiliser la calculatrice compléter les pointillés par $<$, $>$ ou $=$.

1. $ 3^2\dots4^2 $
2. $ (-2)^2\dots(-2,1)^2 $
3. $ \sqrt{13}\dots\sqrt{12,8} $
4. $\sqrt{\dfrac{13}{7}} \dots \sqrt{\dfrac{11}{7}} $
5. $ 2\sqrt{10}\dots 7$
6. $\dfrac{7}{19} \dots \dfrac{5}{19}$
7. $ \dfrac{1}{\pi}\dots\dfrac{1}{\pi-1} $
8. $ -\dfrac{1}{3}\dots-\dfrac{1}{4} $
9. $ 3^3\dots5^3 $
10. $ (-141)^3\dots(-143)^3 $

1. Soit $x$ un nombre réel tel que $-2 \leq x \leq 3$. Montrer que : $0\leq x^2\leq 9$.
2. Soit $t$ un nombre réel tel que $3\leq t\leq 5$. Déterminer un encadrement le plus précis possible pour $\dfrac{1}{t}$.
3. Soit $y$ un nombre réel tel que $-4\leq y\leq 2$. Déterminer un encadrement le plus précis possible pour $y^3$.

Pour tout réel $x$ positif on définit les fonctions $f$, $g$, $h$ et $i$ par :

• $f(x)=x$,
• $g(x)=x^2$,
• $h(x)=x^3$.

On note $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$, et $\mathcal{C}_h$ leur courbe représentative respective dans un repère du plan.

1. Montrer que pour tout $x\geq 0$, $h(x)-g(x)=x^2(x-1)$.
2. Quel est le signe de $x^2$ ?
3. Si $x\in[0;1]$, déterminer la position relative de $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$.
4. Même question pour $x\geq1$.
5. Factoriser l'expression $g(x)-f(x)$ et en déduire la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifis tels que $a \leq b$.

1. Montrer que $f(b)-f(a)=\dfrac{a-b}{ab}$.
2. En déduire le signe de $f(b)-f(a)$ et que $f(b) \leq f(a)$.
3. Que venons-nous de démontrer pour la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$ ?

Dans chacun des cas étudier la parité de la fonction $f$ définie sur $I$.

1. $f(x)=x^4$, 2$I=\mathbb{R}$.
2. $f(x)=x^4$, 2$I=[-2;1]$.
3. $f(x)=x^3-5x$, 2$[-10;10]$.
4. $f(x)=x\sqrt{x^2+1}$, 2$I=\mathbb{R}$.

Partie A
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$. On donne leur représentation graphique dans le repère ci-dessous.

1. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersections entre les deux courbes.
2. Déterminer graphiquement leur position relative.

Partie B
Pour tout réel $x$ nous avons que $f(x)=x^3-2x+1$ et $g(x)=4x^2-2x+1$.

1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersections entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
2. Déterminer par le calcul leur position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+3x+4$. On considère de plus la fonction affine $g$ constante égale à $4$.
Déterminer la position relative des courbes de ces deux fonctions dans un repère du plan :

1. Conjecturer la position relative des courbes de ces deux fonctions à l'aide de la calculatrice.
2. Démontrer cette conjecture par le calcul.